Kohomologie endlicher Gruppen, FS 2009

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by  Karin Baur

Kohomologie endlicher Gruppen, FS 2009
Karin Baur
Juni 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Vorbemerkungen 3
2 Definitionen, erste Kohomologiegruppen 8
3 Produkte in Kohomologie 29
4 Beispiele, Diagramme 44
5 Projektive unzerlegbare Moduln 49
6 p-au߬osbare Gruppen 53
7 Kompositionsfaktoren von JP/J2P 57
8 Zentralisatoren der Kompositionsfaktoren von P/J2P 62
9 Formationen 67
10 Tate-Kohomologie 71
11 Der Zentralisator von P/J2P 73
12 Kohomologie treuer einfacher Moduln 78
13 Die Fong-Reduktionen und Kohomologie 83
14 Lyndon-Hochschild-Serre Spektralsequenz 84
15 Eigenschaften von Gruppen 89
1
Einleitung
Gruppenkohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das urspru¨nglich der
Untersuchung von Gruppen diente, sp¨ater aber auch insbesondere in der Topologie und
Zahlentheorie Anwendungen fand. Gruppenkohomologie ist eine Methode, Gruppen zu
studieren, indem man gewisse Funktoren Hn benutzt. Eine der Motivationen ist dabei die
Untersuchung der Fixpunkte einer Gruppeauf einem Modul. Es gibt auch die duale Theo-
rie der Homologiegruppen. Gruppenkohomologie wurde in den 20er Jahren eingefu¨hrt, sie
ist bis heute ein aktives Gebiet der Forschung.
In der Gruppentheorie studiert man eine Gruppe G oft via ihre Darstellungen. Anders
gesagt, man studiert die Kategorie der endlich dimensionalen (links-)kG-Moduln (mit
den kG-Modulhomomorphismen als die Morphismen der Kategorie, i.e die Gruppenho-
momorphismen f mit f(gx) = g(f(x)), fu¨r alle g ∈ G, x im Modul). Dabei ist kG die
Gruppenalgebra von G, siehe Abschnitt 2.1.
In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns speziell auf den Fall, wo G eine endliche
Gruppeistundk einK¨orpervonpositiver Charakteristik.HatmaneinenkG-ModulM,so
stellt sich die Frage, wie die Untergruppe der G-invarianten Element von M aussehen. Im
folgenden werden wir immer mit endlich dimensionalen Moduln arbeiten. Und unter einer
Gruppe werden wir immer, wenn nicht anders gesagt, eine endliche Gruppe verstehen.
Definition als abgeleiteter Funktor
Haben wir eine kurze exakte Folge
0 → N → M → M/N → 0,
so k¨onnen wir davon G-Invarianten nehmen. Dies ist jedoch nicht exakt (nur links exakt),
die Invarianten von M/N sind i.a. nicht der Quotient der Invarianten von M durch N.
Die erste Gruppenkohomologie H1(G,N) von G mit Koeffizienten im kG-Modul N misst
diese Differenz. Allgemein gesagt,messen die Gruppenkohomologiefunktoren Hn,wie weit
Invarianten nehmen von der Exaktheit ist, sie k¨onnen aufgefasst werden als die rechts
derivierten Funktoren vom Invarianten nehmen.
Beziehung zu Ext
Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:
Hn(G,A) = Extn(k,A)
G
dabei ist kG die Gruppenalgebra von G und k mit der trivialen G-Operation versehen.
Notation. Seien A, A′ links kG-Moduln, B,B′ rechts kG-Moduln.
Extn (A′,A) wird oft abgeku¨rzt mit Extn(A′,A), analog steht Hom (A′,A) oft fu¨r
kG G G
Hom (A′,A), und TorG(B′,B) fu¨r TorkG(B′,B). Es wird auch A⊗ B benutzt fu¨r das
kG n n G
Tensorprodukt A⊗ B.
kG
2
1 Vorbemerkungen
Im einleitenden ersten Abschnitt stellen wir die wesentlichsten Grundlagen der Koho-
mologietheorie der Gruppen zusammen, ohne Details. Im Kapitel 2 werden diese Details
dann besprochen.
Fu¨r Grundlagen (wie z.B. die Definition einer projektiven Aufl¨osung) kann man das
Skript [Bau08] verwenden.
Bemerkung. EingrosserTeildesSkriptesben¨otigtdie5-Term-SequenzinderKohomologie
einer Gruppenerweiterung. Diese Sequenz ist in der homologischen Algebra als Korollar
der Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralreihe wohlbekannt. Wegen ihrer zentralen Stellung
ist aber ein elementarer Beweis durchaus erwu¨nscht; wir beschreiben aus diesem Grunde
einen einfachen Zugang dazu im Kapitel 2 (Abschnitt 2.9). Ausserdem erkl¨aren wir im
Kapitel 14, wie die Lyndon-Hochschild-Serre Spektralreihe hergeleitet wird.
Es sei G eine endliche Gruppe, und k ein K¨orper der Charakteristik p > 0. Wir
nehmen an, dass p die Gruppenordnung |G| teilt. Die F¨alle p ∤ |G| (und auch char k = 0)
sind fu¨r uns weniger interessant, wie wir etwas sp¨ater sehen werden. Wir betrachten
die Gruppenalgebra kG. Die endlich-dimensionalen Moduln u¨ber kG entsprechen den
Darstellungen von G u¨ber k. Der endlichen Gruppe G und dem kG-Modul M werden in
der homologische Algebra die Kohomologiegruppen Hn(G,M), n ≥ 0 zugeordnet. Das
Verfahren besteht darin, dass man sich zum trivialen kG-Modul k eine kG-projektive
Aufl¨osung P• → k → 0 konstruiert, d.h. eine exakte Sequenz
··· → Pn → Pn−1 → ··· → P1 → P0 → k → 0,
wobei die Pn projektive kG-Moduln sind, dann den Komplex Hom (P•,M) bildet und
G
davon die Kohomologie berechnet.
Nun ist es so, dass es im konkreten Fall sehr schwierig ist, alle Kohomologiegruppen
zu berechnen. Teilweise k¨onnen Computerprogramme weiterhelfen (ein Problem besteht
jedoch darin, dass die Pi in der projektiven Au߬osung mit wachsendem i sehr rasch an
Gr¨osse zunehmen k¨onnen).
Man kann hier den K¨orper k durch irgend einen (kommutativen) Ring ersetzen: U¨bli-
cherweise wird in Texten u¨ber die Kohomologie der Gruppen als Grundring der Ring
Z der ganzen Zahlen verwendet; da wir uns fu¨r modulare Darstellungstheorie interessie-
ren, beschr¨anken wir uns meistens auf den K¨orper k und auf kG-Moduln. Wir werden
in diesem Kapitel kurz die niedrig dimensionalen Kohomologiegruppen betrachten. Auch
werden wir einige grundlegenden Tatsachen aus der homologischen Algebra erw¨ahnen,
die wir sp¨ater gebrauchen werden. Im n¨achsten Kapitel werden wir dann die Details zu
den niedrig dimensionalen Kohomologiegruppen erk¨aren und einige wichtige Definitionen
anfu¨hren, wie sie auch in [HS97, Chapter VI] gefunden werden k¨onnen.
Meistens werden wir in der Vorlesung mit A, B, C, etc. kG-Moduln bezeichnen.
1. Es gilt H0(G,A) = AG = {a ∈ A | xa = a fu¨r alle x ∈ G} (siehe U¨bungen, Serie 1).
3
2. Es gilt H1(G,A) = Der(G,A)/Ider(G,A) (siehe [HS97], Chapter VI, Section 4).
Dabei ist Der(G,A) die abelsche Gruppe der Derivationen d : G → A,d(xy) =
d(x)+xd(y), x,y ∈ G. Ider(G,A) bezeichnet die Untergruppe der inneren Deriva-
tionen, d.h. der Derivationen der Art d (x) = xa−a, a ∈ A. Im Spezialfall, wo A ein
a
trivialer kG-Modul ist, ist eine Derivation nichts anderes als ein Homomorphismus
der (multiplikativen) Gruppe G in die (additive) Gruppe A; wegen Ider(G,A) = 0
gilt in diesem Fall also Der(G,A) = Hom(G,A) = Hom(G/G′,A)
(mit G′ die Untergruppe der Kommutatoren, G′ = [G,G]).
3. DieGruppeH2(G,A)klassifiziert Erweiterungen A ֒→ G˜ ։ G(siehe Abschnitt 2.10
und [HS97], Chapter VI, Section 10). Dem Nullelement entspricht dabei die A¨qui-
valenzklasse der zerfallenden Erweiterung A ֒→ A⋊G ։ G.
µ ε
4. Zu einer kurzen exakten Folge A ֒→ B ։ C geh¨ort eine natu¨rliche lange exakte
Kohomologiesequenz
··· → Hn(G,A) →µ∗ Hn(G,B) →ε∗ Hn(G,C) →θ Hn+1(G,A) → ...
(siehe [HS97], Chapter VI, p. 189). Dies ist eine elementare homologische Aussa-
ge, welche in ¨ahnlicher Weise fu¨r jede Kohomologietheorie gilt. Die lange exakte
Kohomologiesequenz beinhaltet auch die Additivit¨at der Kohomologie. Es gilt
Hn(G,A⊕B) = Hn(G,A)⊕Hn(G,B).
5. Zu einer Gruppenerweiterung N ֒→ G ։ Q und einem kG-Modul A geh¨ort eine
natu¨rliche exakte Sequenz von fu¨nf Termen
0 → H1(Q,AN) → H1(G,A) → (H1(N,A))Q → H2(Q,AN) → H2(G,A).
Diese Folge ist in der homologischen Algebra bekannt als ein Korollar der Lyndon-
Hochschild-Serre-Spektralreihe. Sie spielt in den nachfolgenden Abschnitten eine
zentraleRolle.AusdiesemGrundfindetsichimAbschnitt2.9einelementarerBeweis
dieser Folge. Man beachte, dass AN in offensichtlicher Weise ein kQ-Modul ist. Die
Operationvon Qin H1(N,A) setzt sich aus der Konjugationvon G in N zusammen,
n 7→ xnx−1, und der zugeh¨origen Abbildung a 7→ xa von A. Im Fall, wo N in A
trivial operiert, wo also A als ein kQ-Modul angesehen werden kann, spezialisiert
sich die 5-Term-Sequenz zu (siehe [HS97], Chapter VI, Section 8)
0 → H1(Q,A) → H1(G,A) → Hom (N,A) → H2(Q,A) → H2(G,A).
Q
6. Diese letztere Sequenz kann dazu benu¨tzt werden, um den Zusammenhang zwischen
H2(Q,A) und den Erweiterungen von Q durch A zu beschreiben (siehe (3)). Ist
4
A ֒→ G ։ Q eine derartige Erweiterung, so ist ihr das Element ξ ∈ H2(Q,A)
zugeordnet, das in der 5-Term-Sequenz
0 → H1(Q,A) → H1(G,A) → Hom (A,A) →∆ H2(Q,A).
Q
als Bild der Identit¨at 1 : A → A unter ∆ erhalten wird (siehe [HS97], Chapter VI,
A
Section 10). Die Operation von Q in der Gruppe H1(A,A) = Hom(A,A) ist dabei
die “u¨bliche”, d.h. die Diagonaloperation. Die Fixelemente (H1(A,A))Q sind dann
gerade die kQ-Modulhomomorphismen.
7. Fu¨r die zerfallende Erweiterung A ֒→ A ⋊ Q ։ Q liefert die 5-Term-Sequenz die
kurze exakte Folge
0 → H1(Q,A) → H1(A⋊Q,A) → Hom (A,A) → 0.
Q
Die (Projektions-)Abbildung d : A ⋊ Q → A, definiert durch d(q,a) = a, ist eine
Derivation; sie wird unter H1(A ⋊ Q,A) → Hom (A,A) auf die Identit¨at von A
Q
abgebildet (siehe [HS97], Chapter VI, Section 5). W¨ahlt man ein zu Q konjugiertes
Komplement in A ⋊ Q, so beschreibt die zugeh¨orige (Projektions-)Abbildung das
gleiche Element in H1(A ⋊ Q,A), w¨ahrend verschiedene Konjugationsklassen von
Komplementen zu verschiedenen Elementen in H1(A⋊Q,A) Anlass geben. Es folgt,
dass H1(Q,A) die Anzahl verschiedener Konjugationsklassen von Komplementen in
A⋊Q misst. Insbesondere ergibt sich aus H1(Q,A) = 0, dass es nur eine Konjuga-
tionsklasse von Komplementen gibt.
Die 5-Term-Sequenz beschreibt den Einfluss der Kohomologiegruppen von Q und N
auf die Kohomologie der Gruppenerweiterung G in niedrigen Dimensionen. Die entspre-
chenden Kohomologiegruppen von G werden dadurch natu¨rlich nicht vollst¨andig festlegt.
Fu¨r h¨ohere Dimensionen ist der Zusammenhang noch etwas weniger direkt. Es gibt eine
sogenannte Spektralreihe (Lyndon-Hochschild-Serre, siehe Kapitel 14 und [HS97], Seite
303)
Hl(Q,Hm(N,A)) =⇒ Hn(G,A).
Diese erlaubt es, die Kohomologie von G durch die Kohomologien von Q und N - in
einem genau umschriebenen Sinn - zu “approximieren”. Die folgende Tatsachen ergeben
sich ohne gr¨ossere Schwierigkeiten aus dieser Theorie, wir werden sie in diesem Text frei
benu¨tzen:
• Sind die Gruppen auf der linken Seite der Spektralreihe fu¨r alle Indizes l,m ≥ 0
trivial, so folgt Hn(G,A) = 0 fu¨r alle n ≥ 0.
• Gilt Hm(N,A) = 0 fu¨r m ≥ 1, so “kollabiert” die Spektralreihe, und man erh¨alt
einen Isomorphismus
Hn(G,A) = Hn(G/N,H0(N,A)) = Hn(G/N,AN).
5
Wie erw¨ahnt lassen sich die Kohomologiegruppen Hn(G,A) als spezielle Ext-Gruppen
auffassen; es gilt
Hn(G,A) = Extn(k,A).
G
Man beachte, dass kurze exakte Folgen, eingesetzt an die erste bzw. zweite Stelle
des Bifunktors Ext, lange exakte Folgen der Ext-Gruppen induzieren. Die lange exakte
Ext-Folge in der zweiten Variablen entspricht dabei der oben erw¨ahnten langen exakten
Kohomologiefolge (siehe 4.).
Kann man die Kohomologiegruppen als Ext-Gruppen auffassen, so kann man ande-
rerseits u¨ber dem K¨orper k die Ext-Gruppen auch als spezielle Kohomologiegruppen auf-
fassen. Es gilt
Extn(B,A) = Hn(G,Hom (B,A)) = Hn(G,B∗ ⊗ A).
G k k
Dabeibezeichnet B∗ den zu B dualen Modul, B∗ := Hom (B,k),die Moduln Hom (B,A)
k k
und B∗ ⊗ A tragen die diagonale kG-Modulstruktur.
k
Aus der Definition der Ext-Gruppen in der homologischen Algebra folgt unmittelbar,
dassfu¨reinenRingΛdieGruppenExt (B,A) = 0sindfu¨rallen ≥ 1,fallsAinjektiv oder
Λ
B projektiv ist. Nun ist insbesondere die Gruppenalgebra kG eine Frobeniusalgebra, d.h.
es giltkG∗ ∼= kG (siehe [Bau08],§4.2).Darausergibt sich, dass diebeiden Begriffeinjektiv
und projektiv gleichbedeutend sind (siehe [Bau08], §4.2). Damit gilt Extn(B,A) = 0 fu¨r
G
n ≥ 1, falls B oder A projektiv ist. Insbesondere verschwinden fu¨r projektive (oder in-
jektive) kG-Koeffizientenmoduln A die Kohomologiegruppen Hn(G,A) in allen positiven
Dimensionen.
Der Fall chark ∤ |G|
Nun diskutieren wir noch den Fall, wo p (die Charakteristik von k) die Gruppenordnung
|G| nicht teilt. Darunter verstehen wir auch den Fall char k = 0. Dann ist nach dem Satz
von Maschke die Gruppenalgebra kG halbeinfach. Das heisst, dass fu¨r jeden kG-Modul
A jeder Untermodul A einen direkten Summanden besitzt, A = A ⊕A . Damit zerf¨allt
1 1 2
jede kurze exakte Folge
0 → A′ → A → A′′ → 0
von kG-Moduln (betrachte A′ als Untermodul von A, etc.). Und insbesondere ist jeder
kG-Modul projektiv. Also verschwinden alle Ext-Gruppen, Exti(A,B) = 0 fu¨r alle i ≥ 1,
fu¨r allekG-ModulnA,B.Insbesondere verschwinden alle Kohomologiegruppeninh¨oherer
Ordnung, also haben wir:
Satz 1.1. Es sei A ein kG-Modul, und char k sei kein Teiler der Gruppenordung |G|.
Dann folgt Hi(G,A) = 0 f¨ur alle i ≥ 1.
6
Weitere Beispiele; Zerlegung in Faktoren
Zur Illustration betrachten wir ein weiteres Beispiel. Sei G eine endliche abelsche Gruppe.
Das Theorem von Ku¨nneth (cf. [HS97] VI, §15, und Kapitel 3, Abschnitt 3.1 fu¨r die
Homologie) liefert
H∗(G ×G ,k) ∼= H∗(G ,k)⊗H∗(G ,k).
1 2 1 2
Man kann G also als direktes Produkt von zyklischen Gruppen schreiben, deren Ordnung
Primpotenzen sind. Die Faktoren, die koprim sind zur Charakteristik k¨onnen wir igno-
rieren, dank Satz 1.1. Ist H nun eine zyklische p-Gruppe, so gibt es zwei M¨oglichkeiten:
fu¨r p = 2 und |H| = 2 ist H∗(H,k) = k[T] ein Polynomring in einer Variablen, die Grad
1 hat. Ist p ungerade oder p = 2 und |H| ≥ 4, so ist H∗(H,k) = k[x,y]/(x2), wobei x
Grad 1 hat und y Grad 2. Daraus folgt, dass fu¨r jede endliche abelsche Gruppe der Ko-
homologiering H∗(G,k) ein Tensorprodukt von einem Polynomring und einer (allenfalls
trivialen) ¨ausseren Algebra ist.
Beispiel. Ist G eine endliche elementar abelsche p-Gruppe vom Rang r, i.e. ein Produkt
von r Kopien von Z/p, und k ein K¨orper der Charakteristik p, dann sieht der Kohomolo-
giering wie folgt aus:
H∗((Z/2)r,k) = k[x ,...,x ] p = 2, deg(x ) = 1
1 r i
H∗((Z/p)r,k) = Λ(x ,...,x )⊗k[y ,...,y ] p > 2, deg(x ) = 1, deg(y ) = 2
1 r 1 r i i
Ist nun S ⊂ G eine p-Sylow Untergruppe, dann kann man zeigen, dass die Ein-
schr¨ankung von H∗(G,k) auf H∗(S,k) injektiv ist. Ausserdem kann man mit Hilfe der
Methode der stabilen Elemente von Cartan und Eilenberg ([CE56]) das Bild dieser Ein-
schr¨ankungsabbildung bestimmen. Damit erweist sich als der wichtige Fall derjenige, wo
G eine p-Gruppe ist und k Charakteristik p hat. Abelsche p-Gruppen wurden hier oben
diskutiert, die nicht-abelschen p-Gruppen bleiben also zu betrachten, siehe Kapitel 4.
Zwei aus der Darstellungstheorie wohlbekannte Operationen an Moduln, n¨amlich die
Restriktion und die Induktion, spielen auch im Zusammenhang mit der homologischen
Algebra eine wichtige Rolle. Es sei U eine Untergruppe von G und A ein kU-Modul. Dann
ist der induzierte Modul A↑G gegeben als Hom (kG,A), wobei kG durch Multiplikation
kU
von rechts in kG operiert. In ¨aquivalenter Weise l¨asst sich A↑G als kG⊗ A beschreiben
kU
(siehe[E91],p.36ff).Bezu¨glichderKohomologievonGbzw.U giltdasfolgendeberu¨hmte
Lemma von Eckmann-Shapiro (siehe [E91], p. 36 ff).
Lemma 1.2. Es sei U eine Untergruppe von G und A ein kU-Modul. Dann gilt
Hn(U,A) = Hn(G,A↑G).
Die Restriktion von einem kG-Modul B nach einem kU-Modul erh¨alt man dadurch,
dassmandieOperation“vergisst” undB alskU-Modulansieht.ImFolgendentrittoftder
7
Fall auf, wo N ein Normalteiler von G ist. Betrachtet man einen kN-Modul A, induziert
nach G und restringiert wieder auf kN, betrachtet man also A↑G↓ , so gilt
N
A↑G↓ = x⊗A.
N
M
x∈G/N
(Insbesondere erh¨alt man nicht einfach A selbst zuru¨ck!) Wir nennen x ⊗A einen zu A
konjugierten kN-Modul.
In diesen Zusammenhang geh¨ort auch der sogenannte Satz von Clifford, den wir hier
nur in einer abgeschw¨achten Form und ohne Beweis zitieren (siehe [Bau08] Satz 3.32).
Satz 1.3. Es sei B ein einfacher kG-Modul, und N sei ein Normalteiler von G. Es sei
A ein einfacher kN-Untermodul von B↓ . Dann ist B↓ eine direkte Summe von zu A
N N
konjugierten Moduln x⊗A. Insbesondere ist B↓ halbeinfach.
N
Schliesslich zitieren wir hier noch ein Resultat der Darstellungstheorie, welches das
Verhalten von einfachen Moduln bei K¨orpererweiterungen betrifft (siehe [HB82], p. 18,
die dort auftretende Voraussetzung u¨ber die K¨orpererweiterung ist u¨berflu¨ssig).
Satz 1.4. Es sei V ein einfacher kG-Modul. Dann existiert ein bis auf Isomorphie ein-
deutig bestimmter FpG-Modul U, so dass V ein direkter Summand von k⊗FpU ist. Ferner
ist VF isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von U.
p
Was die Kohomologie betrifft, so gilt bei K¨orpererweiterungen der einfache Satz
Satz 1.5. Es sei k ⊂ k′ eine K¨orpererweiterung, und U sei ein beliebiger kG-Modul.
Dann gilt
Hn(G,k′ ⊗ U) = k′ ⊗ Hn(G,U).
k k
2 Definitionen, erste Kohomologiegruppen
2.1 Definitionen
Sei G eine endliche Gruppe, R ein kommutativer Ring. Die Gruppenalgebra RG von G ist
wie folgt definiert. Als unterliegende abelsche Gruppe hat RG die freie abelsche Gruppe
u¨ber der Basis bestehend aus den Elementen von G. (RG ist frei vom Rang |G|). Die
Elemente von RG sind formale Linearkombinationen:
r g ,
i i
Xi
mit r ∈ R, g ∈ G.
i i
Die Addition ist gegeben durch r g + r′g = (r +r′)g . Die Multiplikation ist
i i i i i i i i i i
gegeben durch ( irigi)( irj′gj)P= i,jriPrj′(gigj). P
Wir werden Pim folgenPden fast imPmer den Fall R = k betrachten, k ein K¨orper der
Charakteristik p > 0.
8
Definition. Ein (links-)kG-Modul ist eine abelsche Gruppe A mit einer links-Operation
von kG, die mit der Gruppenstruktur vertr¨aglich ist, i.e.
(x+y)a = xa+ya
(xy)a = x(ya)
1a = a
x(a+b) = xa+xb
fu¨r alle x,y ∈ kG, a,b ∈ A.
Wie bereits erw¨ahnt arbeiten wir im allgemeinen mit der Kategorie kG-mod der end-
lich dimensionalen links kG-Moduln arbeiten - die Objekte sind die endlich dimensionalen
links kG-Moduln, die Morphismen sind kG-Modulhomomorphismen.
Bemerkung. Da G eine Gruppe ist, liefert der sogenannte Anti-Automorphismus kG →
kG, g 7→ g−1, einen Isomorphismus zwischen der Kategorie kG-mod und der Kategorie
mod-kG der rechts kG-Moduln. Daher ist es oft nicht wichtig, ob wir links oder rechts
kG-Moduln betrachten.
Definition. Ein kG-Modul A heisst trivial, falls jedes Gruppenelement von G durch die
Identit¨at in A operiert.
Definition. Die Augmentationsabbildung ε = ε von kG ist der Ringhomomorphismus
G
ε : kG → k, der durch a g 7→ a definiert ist.
g∈G g g∈G g
P P
Die Augmentationsabbildung macht k zu einem trivialen kG-Modul: a·1 = ε(a)1 fu¨r
alle a ∈ kG. Der Kern IG der Augmentationsabbildung ε heisst das Augmentierungsideal
von G, es gilt (siehe Abschnitt 4.1 in [Bau08]):
Lemma 2.1. Das Augmentierungsideal IG ist ein kG-Untermodul der Codimension 1 in
kG. IG hat als k-Vektorraumbasis die Elemente (g −1) .
g∈G\{1}
Seien A, B ∈ kG-mod. Dann sind die Gruppe Hom(A,B) := Hom (A,B) der Homo-
k
morphismen und das Tensorprodukt A ⊗ B := A ⊗ B ebenfalls kG-Moduln durch die
k
sogenannte diagonale Operationen:
(gf)(a) = gf(g−1a) fu¨r f ∈ Hom(A,B), a ∈ A, g ∈ G
g(a⊗b) = ga⊗gb fu¨r a ∈ A, b ∈ B, g ∈ G.
Wir bezeichnen mit AG den Untermodul der G-invarianten Elemente in A. Dann ist
Hom(A,B)G = Hom (A,B)
G
Dual dazu gibt es den Begriff der Coinvarianten von A. Sei IG das Augmentierungs-
ideal von kG, IG = { a (g − 1) | a ∈ k}. Dann ist IA ⊂ A (oder [G,A]) der
g6=1 g g
Untermodul, der durchPdie Elemente [g,a] := ga−a erzeugt wird (g ∈ G, a ∈ A).
Damit definiert man die Coinvarianten von A als
A := A/IA.
G
A ist der gr¨osste Faktormodul von A, auf dem G trivial operiert.
G
9
Lemma 2.2. Ist U ⊂ G eine Untergruppe, so ist kG frei als links (oder rechts) kU-Modul.
(Das ist ein Spezialfall von Lemma VI.1.3 in [HS97]). Eine Folge von Lemma 2.2 und
dem Satz u¨ber den Ring-Wechsel-Funktor (Theorem IV.12.5 in [HS97], §IV) ist:
Korollar 2.3. Jeder projektive (injektive) kG-Modul ist ein projektiver (injektiver) kU-
Modul.
2.2 Definition von (Ko-)Homologie
Sei A ∈ kG-mod, M ∈ mod-kG. Bevor wir (Ko-)Homologie definieren, erinnern wir
kurz, wie Ext (und Tor) definiert sind.
1. Sei P• eine projektive Aufl¨osung von B ∈ kG-mod,
··· → Pn → Pn−1 → ··· → P1 → P0 → 0
mit augmentierter exakten Folge
··· → Pn → Pn−1 → ··· → P1 → P0 → B → 0,
kurz ε : P → B und sei Q• eine injektive Aufl¨osung von A in kG-mod, kurz
ν : A → Q•. Dann ist
Extn(B,A) ∼= Hn(Hom (P•,A)) ∼= Hn(Hom (B,Q•)).
G G G
Mit andern Worten Extn(B,A) ist die n-te Kohomologiegruppe Hn(Hom (P•,A))
G G
vom Komplex Hom (P•,A) (analoge Formulierung fu¨r die injektive Aufl¨osung).
G
(DieKohomologiegruppensindunabh¨angigvonderAuswahlderprojektivenAufl¨osung
P und eindeutig durch B bestimmt. Die Zuordnung B Extn(B,A) ist ein kon-
G
travarianter Funktor. Fu¨r Details: siehe z.B. Abschnitt 2.6 in [Bau08]).
2. Ist P• eine projektive Aufl¨osung vom links-kG-Modul A, so ist TorG(M,A) die n-
n
te Homologiegruppe des Kettenkomplexes M ⊗ P•. (Siehe Abschnitte 2.6 und 3.7
in [Bau08]).
(M.a.W.:Ext∗(B,A)ist dieSummeder rechts-derivierten FunktorenvomBifunktor
G
Hom (B,A). Analog ist TorG(M,A) die Summe der links-derivierten Funktoren
G ∗
vom Bifunktor M ⊗ A).
G
Fu¨r den Rest des Abschnitts 2.2 bezeichnen jeweils A, A′, A′′ links kG-Moduln und
B, B′, B′′ rechts kG-Moduln.
Definition. Die n-te Kohomologiegruppe von G mit Werten in A ist definiert als
Hn(G,A) := Extn(k,A),
G
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