Knotengruppe und Homologieinvarianten

18 Pages·1949·0.825 MB·German

by  William Threlfall (auth.)

Sitzungsberichte der Heidelberger
Akademie der Wissenschaiten
Mathematisch·naturwissenschaitliche Klasse
Die Jahrgange bis 1921 einschliefJlich erschienen im Verlag von Carl Winter, Universitats
buchhandlung in Heidelberg, die Jahrgange 1922-1933 im Verlag Walter de Gruyter & Co.
in Berlin, die Jahrgange 1934--1944 bei der WeifJ'8chen Universitatsbuchhandlung in
Heidelberg. 1945, 1946 und 1947 sind keine Sitzungsberichte erschienen.
Jahrgang 1938.
1. K. FREUDENBERG und O. WESTPHAL. Uber die gruppenspezifische Substanz A
(Untersuchungen tiber die Blutgruppe A des Menschen) ...D Mark 1.20.
2. Studien im Gneisgebirge des Schwarzwaldes. VIII. O. H. ERDMANNSDORFFER.
Gneise im Linachtal. DMark 1.-.
3. J. D. ACHELIS. Die Ernahrungsphysiologie des 17. Jahrhunderts. DMark 0.60.
4. Studien im Gneisgebirge des Schwarzwaldes. IX. R. WAGER. Uber die Kinzigit
gneise von Schenkenzell und die Syenite vom Typ Erzenbach. DMark 2.50.
5. Studien im Gneisgebirge des Schwarzwaldes. X. R. WAGER. Zur Kenntnis der
Schapbachgneise, Primartrtimer und Granulite. Dl'.'fark 1.75.
6. E. HOEN und K. APPEL. Der EinfluB der Uberventilation auf die willkiirliche Apnoe.
DMark 0.80.
7. Beitrage zur Geologie und Palaontologie des Tertiars und des Diluviums in der Um
gebung von Heidelberg. Heft 3: F. HELLER. Die Ba.renzahne aus den Ablagerungen
der ehemaligen Neckarschlinge bei Eberbach im Odenwald. DMark 2.25.
8. K. GOERTTLER. Die Differenzierungsbreite tierischer Gewebe im Lichte neuer
experimenteller Untersuchungen. DMark 1.40.
9. J. D. ACHELIS. Uber die Syphilisschriften Theophrasts von Hohenheim. I. Die
Pathologie der Syphilis. Mit einem Anhang: Zur Frage der Echtheit des dritten
Buches der GroBen Wundarznei. DMark 1.-.
10. E. MARX. Die Entwicklung der Reflexlehre seit Albrecht von Haller bis in die zweite
Halite des 19. Jahrhunderts. Mit einem Geleitwort von Viktor v. Weizsa.cker.
DMark 3.20.
Jahrgang 1939.
1. A. SEYBOLD und K. EGLE. Untersuchungen tiber Chlorophylle. DMark 1.10.
2. E. RODENWALDT. Friihzeitige Erkennung und Bekampfung der Heeresseuchen.
DMark 0.70.
3. K. GOERTTLER. Der Bau der Muscularis mucosae des Magens. DMark 0.60.
4. 1. HAUSSER. Ultrakurzwellen. Physik, Technik und Anwendungsgebiete. DMark 1.70.
5. K. KRAMER und K. E. SCHAFER. Der EinfluB des Adrenalins auf den Ruheumsatz
des Skeletmuskels .. DMark 2.30.
6. Beitrage zur Geologie und Pala.ontologie des Tertia.rs und des Diluviums in der Um
gebung von Heidelberg. Heft 2: E. BECKSMANN und W. RICHTER. Die ehemalige
Neckarschlinge am Ohrsberg bei Eberbach in der oberplioza.nen Entwicklung des
stidlichen Odenwaldes. (Mit Beitragen von A. 6TRIGEL, E. HOFMANN und E. OBER
DORFER.) DMark 3.40.
7. Studien im Gneisgebirge des Schwarzwaldes. XI. O. H. ERDMANNSDORFFER. Die
Rolle der Anatexis. DMark 3.20.
8. Beitrage zur Geologie und Palaontologie des Tertiars und des Diluviumsin der Um
gebung von Heidelberg. Heft 4: F. HELLER. Neue Sa.ugetierfunde aus den alt
diluvialen Sanden von Mauer a. d. Elsenz. DMark 0.90.
9. K. FREUDENBERG und H. MOLTER. Uber die gruppenspezifische Substanz A aus
Harn (4. Mitteilung tiber die Blutgruppe A des Menschen). DMark 0.70.
10. I. VON HATTINGBERG. Sensibilitatsuntersuchungen an Kranken mit Schwellenver·
fahren. DMark 4.40.
Si tzungsberich te
der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
lahrgang 1949, 8. Ahhandlung ========
Knotengruppe
und Homologieinvarianten
Von
William Threlfall
Mit 10 Textabbildungen
Vorgelegt in der Sitzung vom 26. Februar 1949
Heidelberg 1949
Springer-Verlag
Aile Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten.
Copyright 1949 by Springer-Verlag OHG. in Berlin, Gottingen and
Heidelberg.
ISBN-13: 978-3-540-01424-9 e-ISBN-13: 978-3-642-99823-2
DOl: 10.1007/978-3-642-99823-2
Knotengruppe und Homologieinvarianten.
Von
William Threifall,
t 4. April 1949.
Mit 10 Textabbildungen.
Die Bestimmung der Homologiegruppen der g-fachen zyklischen
m-
Oberlagerungsmannigfaltigkeiten des KnotenauBenraumes k
eines Knotens k erfordert die Berechnung der Elementarteiler
einer g(n - 1)-reihigen Matrix, wenn n die Anzahl der Doppel
punkte der benutzten Knotenprojektion ist. Es wird hier gezeigt,
daB man die Homologieinvarianten einschlieBlich des L-Polynoms
von k aIle aus ein und derselben (n - 1)-reihigen Matrix ableiten
kann. - Wir erinnern zuvor an die bekannten Grundtatsachen der
Knotentheorie.
Eine der starksten Knoteninvarianten ist die Knotengruppe,
das ist die Fundamentalgruppe oder Wegegruppe des Komplemen
m- m,
tarraumes k des Knotens, d. h. des euklidischen Raumes
aus dem der Knoten k entfernt ist.
Wir erinnern kurz an die Bedeutung der Knotengruppe. AIle
geschlossenen, von einem festgewahlten Punkt 0 ausgehenden
m-
orientierten Wege von k werden in Klassen homo toper ein
geteilt. Zwei Wege heiBen homotop, wenn sie sich mit zugelassener
Selbstiiberschneidung, aber ohne Oberschreitung des Knotens k
ineinander iiberfiihren lassen. Die Knotengruppe des Kreises ist
die freie zyklische Gruppe. Ihr Einselement wird von einem auf
einen Punkt zusammenziehbaren Wege gegeben. Die Erzeugende
ist ein Weg, der den Kreis einmal in bestimmtem Sinne umschlingt.
Allgemein kann man, wenn ein Knoten durch seine Projektion
gegeben ist, seine Gruppe folgendermaBen durch Erzeugende und
Relationen darstellen. Einem Doppelpunkte der Projektion ent
sprechen zwei Punkte des Knotens, von denen der eine auf dem
iiberkreuzenden, der andere auf dem unterkreuzenden Ast liegt.
Den letzteren nennen wir einen Unterkreuzungspunkt. Hat die
Projektion n Doppelpunkte, so gibt es also auf dem Knoten n
26* - 357-
4 WILLIAM THRELFALL:
Unterkreuzungspunkte, die wir mit Dl , ... , Dn bezeichnen, und
zwar in der Reihenfolge, wie sie bei einer bestimmten, willkiirlich
gewahlten Durchlaufung des Knotens aufeinander folgen. Der
Knoten zerfallt durch die Unterkreuzungspunkte in n orientierte
Strecken SI' ... , Sn' und zwar solI Sv von Dv_ 1 bis Dv laufen (Indizes
sind dabei mod n zu reduzieren, so daB Do dasselbe bedeutet wie Dn).
Den Anfangspunkt 0 der geschlossenen Wege denken wir uns
oberhalb der Zeichenebene gelegen, und wir lassen die n Strecken
SI' ••. , Sn n Elementen 51' ... , 51!
der Knotengruppe entsprechen,
die die ganze Knotengruppe er
zeugen. Das sind also Wegeklassen
von ~ - k; und zwar wird die
Wegeklasse 5. von einem Wege
reprasentiert der von 0 ausgeht,
s. einmal im positiven Sinne um
schlingt und nach 0 zuriickkehrt.
1m positiven Sinne umschlingen,
d. h.der Drehsinn des orientierten
Weges solI zusammen mit der
Abb.l.
Orientierung von Sv eine Rechts-
schraube bilden. Einen solchen
Weg deuten wir in der Projektion einfach durch einen Pfeil an,
der das den Knoten unterkreuzende Stiick des Weges angibt. Ohne
die Wegeklasse zu andern, kann man den Weg langs der iiber
kreuzenden Strecke iiber einen Doppelpunkt hinwegziehen. In
Abb. 1 sind immer zwei so einander entsprechende Wege der
Klasse eingezeichnet.
Je dem Doppelpunkte Dv entspricht nun eine definierende Re
lation. Urn das einzusehen, betrachten wir in den Abb. 2 und 3,
die die beiden m6g1ichen Arten von Uberkreuzungen darstellen
(Uberkreuzung von rechts nach links bzw. von links nach rechts),
den in der Projektion angedeuteten geschlossenen Weg A BCDA.
Er ist offenbar in ~ - k nullhomotop, da er ganz unterhalb des
Knotens verlauft. Wenn wir nun die Punkte A, B, C, D nach dem
iiber der Zeichenebene zu denkenden Anfangspunkt 0 bewegen, so
geht A BCDA in ein Produkt von vier erzeugenden Wegen 5JL
iiber, namlich im FaIle der Abb. 2 in das Produkt
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Knotengruppe und Homologieinvarianten. 5
im Falle der Abb. 3 in das Produkt
Sv SA S;+\ SA
1 •
v v
Wir haben so bzw. die Relationen
Rv. SA Sv SA 1 S;+\ = 1, (1 a)
• v
Rv = 5. 5 Av 5;)1 5;: 1 = 1. (1 b)
Abb.2. Abb.3.
Diese n Relationen (fUr 'V = 1, ... , n) bilden, wie man beweisen
I
kann, ein System von definierenden Relationen der Knotengruppe.
1m Faile der Kleeblattschlinge (Abb. 1) lautet es:
RJ = 53515;15;1 = 1
Rz - 51 52 51-1 5; 1 = 1 (2)
R3 == 52 53 521 5;:-1 = 1 .
Ubrigens sind die n Relationen (1) nicht alle wesentlich. Eine
beliebige von ihnen ist Folge der tibrigen und kann weggelassen
werden. Beweis: Man schlieBt die Knotenprojektion in ein Recht
eck ein und zerlegt dieses durch Ziehen von Parallelen zu den Seiten
in kleinere Rechtecke, so daB in jedem Teilrechteck hochstens ein
Doppelpunkt liegt. Einer Umlaufung eines Teilrechtecks entspricht
eine bestimmte Relation, und zwar eine triviale. Relation, wenn in
dem Teilrechteck kein Doppelpunkt liegt, sonst gerade die zu dem
Doppelpunkt gehorige Relation, eventuell noch urn triviale Rela
tionen erweitert. Man kann nun das Rechteck, ausgehend von einem
beliebigen Teilrechteck, durch Ansetzen von neuen Teilrechtecken
aufbauen, so daB bei jedem Schritt ein Elementarflachensttick ent
steht. Dem Ansetzen eines Teilrechtecks entspricht das Ansetzen
einer Relation bis schlieBlich die Relation entsteht, die clem Umlauf
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6
WILLIAM THRELFALL:
urn das ganze Rechteck entspricht. Da des sen Rand aber die
Knotenprojektion nicht trifft, so ist sie leer. Man kann also die
linke Seite Rv einer beliebigen Relation durch Anwendung der
ubrigen Relationen und trivialer Relationen in das leere Wort
u berfiihren.
Mit der Aufstellung der Knotengruppe ist freilich fur die Unter
scheidung der Knoten zunachst noch nicht viel gewonnen, da die
Erzeugenden und definierenden Relationen von der gegebenen
Abb.4.
Projektion abhangen und man kein Verfahren kennt, urn von zwei
durch Erzeugende und Relationen gegebenen Gruppen festzustellen,
ob sie ubereinstimmen oder nicht. Das Isomorphieproblem der
Gruppen ist ebenso ungelost wie das Aquivalenzproblem der Kno
ten. Zum Beispiel kann die Knotengruppe der Kleeblattschlinge,
die durch (2) gegeben wird, auch durch zwei Erzeugende A, B und
eine definierende Relation
A2=B3
dargestellt werden, und es ist nicht unmittelbar zu sehen, wie sich
die Erzeugenden A, B durch Sl' S2' S3 ausdriicken.
Konnte man aber auch das Isomorphieproblem der Knoten
gruppen lOsen, so ware damit das Aquivalenzproblem der Knoten
noch nicht gelOst, da die Ubereinstimmung der Knotengruppe
zweier Knoten nur eine notwendige, nicht eine hinreichende Be
dingung fUr ihre Aquivalenz ist. So z. B. hat die Summe zweier
Linkskleeblattschlingen (Abb. 4) dieselbe Knotengruppe wie die
Summe aus einer Links- und einer Rechtskleeblattschlinge (Abb. 5),
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Knotengruppe und Homologieinvarianten. 7
wahrend man die Verschiedenheit der Knoten mit Hilfe anderer
Invarianten, der sog. Verschlingungsinvarianten nachweisen kann.
Trotzdem ist die Knotengruppe eine der wichtigsten Knoten
invarianten, da sie den Ausgangspunkt fur andere berechenbare
Invarianten bildet. Wenn man feststeIlen will, ob zwei durch Er
zeugende und Relationen gegebene Gruppen isomorph sind, so macht
man sie zunachst abelsch. Die abelschen Gruppen beherrscht man
v611ig .. Jede abelsche Gruppe von endlich vielen Erzeugenden ist,
Abb. S.
wie man in der Elementarteilertheorie beweist, direktes Produkt aus
einer Anzahl freier zyklischer Gruppen und gewissen zyklischen
Gruppen endlicher Ordnung. Tut man dies im FaIle der Knoter:
gruppe, so kommt immer die freie Gruppe von einer Erzeugenden
heraus. Das Iiegt an den Relationen (1), die sich beim Abelsch
s.
machen auf S. = + 1 reduzieren. (Der Querstrich soIl den Ubergang
zur abelschen Gruppe andeuten; S. ist also die Restklasse der
Kommutatorgruppe, in der Sv liegt.) Die Erzeugenden der abel
schen Gruppe, S1' ... , Sn' sind also aIle einander gleich, etwa = 5,
und die abelsch gemachte Gruppe ist die freie zyklische Gruppe
mit der Erzeugenden S. Sie kann also nicht zur Unterscheidung
der Knoten benutzt werden.
Dagegen gewinnt man neue Invarianten durch Betrachtung
gewisser Normalteiler der Knotengruppe. Es bilden namlich die
Elemente der Knotengruppe iY, die sich beim Abelschmachen in
die von sg erzeugte Untergruppe abbilden, einen Normalteiler iYg.
Insbesondere ist iY1 = iY, und iYo ist die Kommutatorgruppe von iY,
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8
WILLIAM THRELFALL:
Man wird so zu der Aufgabe gefiihrt, den Normalteiler ~g
durch Erzeugende und Relationen darzustellen, wenn ~ bereits
bekannt ist. Diese Aufgabe wird durch das Verfahren von REIDE
MEISTER gelost. \Vir gehen von der Bemerkung aus, daB man jede
Gruppe ~ von endlich vielen Erzeugenden 5 i, ... , 5n und Relationen
R1, ... , Rm, also insbesondere die Rnotengruppe, als Fundamental
gruppe eines Romplexes. und zwar sogar eines FHichenkomplexes
auffassen kann: Man ordnet jeder Erzeugenden 5.(v= 1, ... , n)
Abb.6. Abb.7.
eine von ein und derselben "Ecke" 0 ausgehende und nach 0 zu
rtickkehrende orientierte Rante zu, die ebenfalls mit 5. bezeichnet
wird, jeder Relation Rp. (5.) = 1 aber ein ElementariHichensttick,
des sen Rand der geschlossene Weg Rp. (5.) (fl = 1, ... , m) ist. Ab
gesehen von gemeinsamen Rarrdkanten sollen diese Elementar
michensti.icke punktfremd sein. Man wird also den so entstehenden
FHichenkomplex Sf im allgemeinen nicht im ffi:3 realisieren konnen.
sr
hat aJs Fundamentalgruppe gerade die Gruppe ~.Es ist nun
aus der Theorie der Ubedagerungskomplexe bekannt, daB jedem
Normalteiler Sj von ~ ein bestimmter unverzweigter Ubedagerungs
sr
komplex ~ von entspricht. ~ hat die folgenden Eigenschaften:
1st (5 ein tiber 0 liegender Punkt von Sti und iii ein von (5 ausgehender
sr
geschlossener Weg in ~, so entspricht ihm im Grundkomplexe
ein von 0 ausgehender geschlossener Weg w, der zu Sj gehort, und
sr
so erhalt man aIle Wege von Sj. Die BHitterzahl von ~ tiber ist
gleich dem Index von Sj in~. 1st insbesondere ~ eine Rnotengruppe
und tyg der erwahnte Normalteiler vom Index gin ty (g = 2,3, ... j,
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Knotengruppe und Homologieinvarianten. 9
so entspricht ihm also ein g-bHittriger Uberlagerungskomplex
i = seg. seg hat g Ecken O}, ... , 0g ' wahrend j ede Kan te Sp von
g Kanten Sv.1' ... , S.,g tiberlagert wird. Die Bezeichnung denken
wir uns dabei so vorgenommen, daB S.,y von 01' ausgeht. S.,y ist
kein geschlossener Weg, da 5. nicht zu tyg gehort (denn S. geht
beim Abelschmachen in S tiber, und S ist keine Potenz von sg).
Dagegen fiihren aIle 5.,1' (y fest, v = 1, ... , n) von 01' zu derselben
von 01' verschiedenen Ecke, da S.S;; das sich ja beim Abelsch
1,
machen von ty in S S-1 abbildet, zu tyg gehOrt. Da tiberdies 5;
die niedrigste zu tyg gehorende Potenz von S. ist, so kann man die
Numerierung in der Weise vornehmen, daB S.,y von 01' nach 01'+1
fiihrt (v = 1, ... , n; y = 1, ... , g). Damit ist der Kantenkomplex
von i vollstandig beschrieben (Abb. 6 und 7).
g
Was schlieBlich die Flachenstticke betrifft, so entsprechen.jedem
sr
Flachensttick von wiederum g Flachenstticke von S¥g. Genauer:
Dem Flachensttick mit dem Rand
(4a)
bzw.
(4b)
entsprechen die g Flachenstticke mit den Randern
S-\,yS-"y+1S~-,y1+ 1S;--+11, y (y=1, ... ,g) (Sa)
bzw.
(Sa) ist namlich derjenige geschlossene, (4a) tiberlagernde Weg,
der in 01' beginnt, analog (5 b). Damit ist i vollstandig beschrie
g
ben. Die Fundamentalgruppe von S¥g, also die Gruppe tyg kann
man nun sofort ablesen. Wir gehen zunachst von S¥g zu einem
Flachenkomplex S¥~ mit nur einer Ecke 0 tiber, indem wir in S¥g
1
die Kanten 511,1 , ... , Sn, g-l in Punkte zusammenschrumpfen lassen,
wobei sich die Fundamentalgruppe von i nicht andert. Die
g
Kante SV,y von i geht dabei in einen geschlossenen Weg S.,y von
g
~~ tiber, Sn,1' ... , Sn,g_l insbesondere in den "NuIlweg". St~ besitzt
ebenso viele Flachenstticke wie i und deren Rander sind gegeben
g,
durch die linken Seiten von (Sa) bzw. (Sb), in denen man nur die
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