Klausurentrainer Technische Mechanik: Aufgaben und ausführliche Lösungen zu Statik, Festigkeitslehre und Dynamik

419 Pages·2008·2.661 MB·German

by  Joachim Berger (auth.)

Joachim Berger
Klausurentrainer Technische Mechanik
Joachim Berger
Klausurentrainer
Technische Mechanik
Aufgaben und ausführliche Lösungen zu Statik,
Festigkeitslehre und Dynamik
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 336 Abbildungen
STUDIUM
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1. Auflage 2005
2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2008
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Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander
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Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden
Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0360-3
V
Vorwort
„Grau, teurer Freund, ist alle Theorie und grün des Lebens goldner Baum.“
Dieses Zitat aus dem Faust von Goethe gilt insbesondere auch für die Technische Mechanik.
Erst durch die Anwendungen der theoretischen Formeln auf praxisorientierte Probleme im
täglichen Leben wird die Mechanik anschaulich, interessant und lebendig.
Beim Lösen von Aufgaben zeigt sich, ob man die Zusammenhänge richtig erkannt und begrif-
fen hat und wie weit noch Klärungsbedarf besteht. Manchmal hat man sich nur an eine Vorge-
hensweise gewöhnt und es fehlt der tiefere Einblick und die Übersicht. Mit jedem bewältigten
Problem lernt man hinzu und gewinnt an Sicherheit. Der Weg bis zum vollen Verständnis ist
jedoch lang und mitunter steinig. Mit jeder Erkenntnis kommen wieder neue Ideen, aber auch
Fragen und Zweifel. Viel Geduld und reges Interesse müssen aufgebracht werden, um die
Probleme gründlich zu erfassen und zu beherrschen.
Hinweise und Tipps
Heute im Zeitalter des Computers werden technische Probleme meist rechnerisch gelöst und
die Schnelligkeit sowie die enorme Speicherfähigkeit des Rechners ausgenutzt. Daher soll bei
der Behandlung von Aufgaben der Technischen Mechanik der rechnerischen Lösung der Vor-
zug gegeben werden. Die benötigten Formeln und deren Ableitungen sind der einschlägigen
Literatur zu entnehmen.
Sind neue Probleme zu bewältigen und steht der Ingenieur erst im Entwicklungsstadium, so
erleichtern zeichnerische Lösungen wegen ihrer Kürze und Übersichtlichkeit, vor allem in der
ebenen Statik und Kinematik, den Zugang zu technischen Problemen. Auch die Auswirkungen
von konstruktiven Varianten zwecks Optimierung lassen sich in Verbindung mit zeichneri-
schen Untersuchungen besser verfolgen. Hat man die wesentlichen Zusammenhänge erst ein-
mal erkannt und ist man sich im Klaren z. B. über die Wirkung und Verteilung der Kräfte, über
den Kraftfluss sowie über die Spannungen und Verformungen, so wird man eine rechnerische
Lösung mit höherer Genauigkeit anstreben. Dabei sollte man allerdings mit zugehörigen Be-
freiungsskizzen (meist genügen unmaßstäbliche Handskizzen)nicht sparen. Eine zeichnerische
Lösung kann dann als Kontrolle und zur Verbesserung der Vorstellung dienen.
Die Skizzen sind zur besseren Übersicht und Platzeinteilung meist nicht maßstäblich, sondern
nur qualitativ und teilweise auch plakativ dargestellt, damit die wesentlichen Merkmale mög-
lichst deutlich erkennbar sind. Braucht man konkrete zeichnerische Ergebnisse, so muss eine
eigene maßstäbliche Zeichnung angefertigt werden.
Die rechnerische Lösung hat weiterhin den wesentlichen Vorteil, dass sie programmierbar ist
und dadurch für ähnliche Aufgaben in der Zukunft erhebliche Erleichterungen (z. B. mit einem
FEM-Programm) schafft.
In den Klausuren werden teilweise auch Aufgaben gestellt, deren rechnerische Auflösung
relativ aufwendig ist. Meist wird dann aber nur die Aufstellung der notwendigen Ansätze und
Gleichungen für die Unbekannten ohne deren Ausrechnung verlangt.
VI Vorwort
Aufschlussreich und anschaulich ist es, am Ende einer Rechnung nochmals alle Einzelteile
eines Systems in Form einer „Explosionsskizze“ mit sämtlichen wirksamen Kräften und Mo-
menten von Hand herauszuzeichnen. Dann kann man die Funktion der Konstruktion besser
erkennen und die Beanspruchung der Bauteile leichter erfassen. Man achte besonders darauf,
dass jedes einzelne Bauteil für sich im Gleichgewicht sein muss. Durch das nochmalige Über-
denken der Problematik möglichst in Begleitung mit Handskizzen und durch den Vergleich mit
ähnlichen technischen Erfahrungen wird das ingenieurmäßige Denken geschult und auch das
so wichtige Skizzieren geübt.
Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen werden bei den Aufgaben oft zweckmäßig
gleich nach der gesuchten Größe umgestellt formuliert, wenn es die Übersichtlichkeit zulässt.
Bei einer aufgelösten Kräftegleichung z. B. stehen auf der anderen Gleichungsseite die gegen-
sinnigen (belastenden) Kräfte mit dem Pluszeichen, die gleichsinnigen (entlastenden) Kräfte
mit dem Minuszeichen. Bei einer Momentengleichung sind die gegensinnig drehenden Mo-
mente mit plus, die gleichsinnig drehenden Momente mit minus auf die Gegenseite zu stellen.
Die Formulierungen werden dadurch kürzer (die Umstellung der Größen auf die andere Seite
und die Vorzeichenänderungen entfallen), übersichtlicher und nach kurzer Eingewöhnung
auch weniger anfällig für Rechenfehler. Wenn nicht anders angegeben, soll bei ebenen Prob-
lemen ein kartesisches Koordinatensystem angenommen werden, bei dem die positive x-Achse
horizontal nach rechts, die positive y-Achse vertikal nach oben zeigt.
Die Zahlenrechnungen werden zur Vereinfachung meist (wenn keine Zweifel bestehen) ohne
Einheiten durchgeführt und auf 2 Stellen nach dem Komma beschränkt. Sollen Vergleichs-
rechnungen weitestgehend übereinstimmen, sind manchmal mehr Stellen zur Vermeidung bzw.
Reduzierung von Rundungsfehlern nötig. Erst beim Endergebnis wird die Einheit mit dem
Zahlenwert angegeben. Um den Einfluss der einzelnen Größen besser zu erkennen und um aus
den Endformeln Schlussfolgerungen für die Praxis ziehen zu können, soll die Rechnung mög-
lichst mit allgemeinen Zahlensymbolen (Buchstaben) durchgeführt werden und konkrete Zah-
len erst am Schluss eingesetzt werden.
Gewichtskräfte sind nur bei den Körpern zu berücksichtigen, bei denen eigens ein Gewicht
angegeben ist. Alle anderen Körper sind als gewichtslos bzw. als vergleichsweise von vernach-
lässigbarem Gewicht anzusehen. Mit Reibungs- bzw. Haftungskräften in den Berührungsflä-
chen von Körpern soll nur dann gerechnet werden, wenn die entsprechenden Koeffizienten
angegeben sind. Andernfalls sollen die Flächen als glatt, d. h. reibungslos angenommen wer-
den.
Der Leser strebe an, die Aufgaben erst einmal selbständig zu bewältigen, ohne Lösungshilfen
in Anspruch zu nehmen. Nur am Schluss sollen die Lösungswege und die Ergebnisse vergli-
chen werden. Da ja bekanntlich „viele Wege nach Rom führen“, gibt es eventuell noch eine
bessere Idee, einen kürzeren Lösungsweg oder eine interessante Alternative, die zum besseren
Verständnis der Problematik und zur Vertiefung des Wissens beitragen. So lassen sich z. B.
statisch unbestimmte Systeme mit Grundlastfällen, mit der Föppl-Klammer, mit dem Prinzip
der virtuellen Arbeit oder mit dem Satz von Menabrea / Castigliano lösen. Auch die Formulie-
rungen können oft treffender gewählt werden und die Skizzen lassen sich meist noch über-
sichtlicher gestalten.
Die Gleichungen sollte man schon während des Schreibens („quasi mit einem Auge“) ständig
auf ihre Realität kritisch überprüfen und nicht mit Fehlern weiterrechnen. Insbesondere ist bei
der Bildung von Summen auf die einheitliche Dimension der einzelnen Glieder zu achten,
denn bekanntlich „kann man nicht Äpfel und Birnen addieren.“
Vorwort VII
Vorteilhaft ist es, Gleichungen dimensionslos oder teilweise dimensionslos zu formulieren,
damit gleiche Einheiten im Zähler und Nenner herausfallen.
Kommt man bei der Bearbeitung zwischendurch ins Stocken, so hole man sich nur kurze An-
regungen und mache dann wieder selbständig weiter. Auch die Wiederholung von bereits
bekannten Aufgaben ohne Lösungshilfe zu einem späteren Zeitpunkt fördert das Verständnis
und die Routine. Man versuche ebenso ähnliche Aufgaben aus dem Umfeld zu lösen und mit
den bekannten Standardlösungen zu vergleichen.
Klausuraufgaben werden meist erst gestellt, wenn im Unterricht hinreichend viele Gebiete der
Mechanik behandelt worden sind. Sie überspannen möglichst viel vom durchgenommenen
Stoff. Die einzelnen Aufgaben erstrecken sich daher oft über mehrere Themenbereiche und
sind somit nicht immer eindeutig in bestimmte Kategorien einzuordnen. Die Aufgaben werden
in das am besten passende und hauptsächlich zutreffende Grundgebiet eingestuft, können aber
auch zwangsläufig Themen aus anderen Sachgebieten enthalten. Manche Unterfragen können
erst einmal weggelassen werden, wenn sie Schwierigkeiten bereiten oder der Stoff noch nicht
so weit bekannt ist.
Zu den nächsten Klausuren wünsche ich gutes Gelingen und viel Erfolg !
Leider wird man am Schluss wie so oft an den lateinischen Satz erinnert:
„multum dicere possum, sed longum est“
(es gäbe noch Vieles zu sagen, aber es würde zu weit führen).
Die 2. Auflage enthält auf Anregung der Leser vor allem die Erweiterungen:
Statik: räumliche Systeme mit Hilfe der Vektorrechnung.
Dynamik: Schwingungen, Einfluss der Gewichtskräfte, freie und erzwungene Schwingungen
mit und ohne Dämpfung.
Am Ende der Kapitel Statik, Festigkeitslehre, Dynamik stehen je 2 Klausuren mit jeweils 3
Aufgaben zum Selberlösen und zur Selbstkontrolle mit Angabe der Endergebnisse.
Erweiterung insgesamt um 18 durchgerechnete Aufgaben plus 18 Aufgaben zur Selbstkontrol-
le.
Mein Dank gilt dem Vieweg+Teubner Verlag für seine Unterstützung. Insbesondere danke ich
Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner, der mit großem Engagement das Manuskript sorgfältig ü-
berprüfte und mit guten Tipps und Anregungen ein kreativer Gesprächspartner war.
Düsseldorf, im August 2008 Joachim Berger
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Statik.......................................................................................................................................1
1.1 Freimachen, Gleichgewichtsbedingungen.....................................................................1
S 1 Flaschenzug............................................................................................................1
S 2 Differential-Flaschenzug........................................................................................3
S 3 Hängebrücke..........................................................................................................4
S 4 Brückenwaage........................................................................................................6
S 5 Sägebock................................................................................................................8
S 6 Anheben einer Walze...........................................................................................10
S 7 Ziehen eines Wagens über eine Stufe...................................................................12
S 8 Schubkarren in einer Rinne..................................................................................14
S 9 Kraftmessung an einem Drehstahl.......................................................................16
S 10 Belastung einer gelagerten Scheibe durch ein Moment.....................................18
S 11 Unterschiedliche Angriffspunkte einer äußeren Kraft am Gelenk.....................20
1.2 Dreigelenkbogen..........................................................................................................22
S 12 Hubwerk.............................................................................................................22
S 13 Kranausleger......................................................................................................25
S 14 Walze zwischen zwei Balken.............................................................................26
S 15 Greifzange..........................................................................................................28
S 16 Nürnberger Korkenzieher...................................................................................30
S 17 Dreigelenkbogen als Fachwerk..........................................................................31
1.3 Fachwerke....................................................................................................................37
S 18 Fachwerk belastet mit einem Kräftepaar............................................................37
S 19 Fachwerk belastet mit zwei Kräften...................................................................39
S 20 Gerberträger mit Fachwerksunterbau.................................................................42
S 21 K-Fachwerk........................................................................................................44
S 22 Förderanlage als Fachwerk-Konstruktion..........................................................45
1.4 Schwerpunkt................................................................................................................49
S 23 Trapezscheibe an 3 Stäben.................................................................................49
S 24 Halbkreisscheibe................................................................................................52
S 25 Hochspringer......................................................................................................54
1.5 Haftung und Reibung an ebenen Flächen....................................................................56
S 26 Verschiebbare Stange.........................................................................................56
S 27 Monteur auf der Leiter.......................................................................................57
S 28 Verschieben eines Quaders................................................................................60
X Inhaltsverzeichnis
S 29 Rolle in einer Ecke.............................................................................................63
S 30 Abrutschen eines Steigeisens.............................................................................65
S 31 Abrutschen einer Zange......................................................................................67
S 32 Brett auf einer Walze..........................................................................................69
S 33 Papierrolle an der Wand.....................................................................................71
S 34 Verschiebung zweier Keile................................................................................73
S 35 Klotz auf schiefer Ebene mit seitlicher Verschiebekraft....................................76
S 36 Balken auf zwei parallelen Stützen....................................................................77
S 37 Kraftwagen am Hang..........................................................................................79
S 38 Wagen auf schiefer Ebene mit Rollreibung........................................................81
1.6 Haftung und Reibung an gekrümmten Flächen (Seilreibung)......................................83
S 39 Quader auf schiefer Ebene.................................................................................83
S 40 Zwei Quader übereinander auf einer schiefen Ebene.........................................85
S 41 Ladevorrichtung.................................................................................................86
S 42 Riementrieb mit Spannrolle................................................................................89
S 43 Selbstspannender Riementrieb...........................................................................92
S 44 Backenbremse....................................................................................................94
1.7 Schnittgrößen...............................................................................................................97
S 45 Aufzug................................................................................................................97
S 46 Kragträger mit Streckenlast und Einzelkraft......................................................99
S 47 Gerberträger mit Streckenlasten.......................................................................100
S 48 Tragwerk mit Fachwerkstütze..........................................................................103
S 49 Balken auf 2 Stützen.........................................................................................105
1.8 Räumliche Systeme.....................................................................................................107
Hinweise und Tipps...................................................................................................107
Vektorrechnung.........................................................................................................107
Vektorielle Bestimmung von Momenten...................................................................108
Aufgaben...................................................................................................................111
S 50 Moment einer Kraft im Raum..........................................................................111
S 51 Räumlich gebogener Rohrstrang......................................................................113
S 52 Fahrrad-Kettentrieb..........................................................................................117
S 53 Quader auf 6 Stützen........................................................................................119
S 54 Hebewinde........................................................................................................121
S 55 Rechteckige Konsole........................................................................................123
S 56 Einstufiges, geradverzahntes Getriebe.............................................................125
S 57 Getriebewelle...................................................................................................127
S 58 Vorgelegewelle.................................................................................................129
S 59 Stabilität eines dreibeinigen Tisches................................................................132
Inhaltsverzeichnis XI
1.9 Virtuelle Arbeit..........................................................................................................134
Erläuterungen............................................................................................................134
S 60 Bestimmung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen................................136
1.10 Stabilität von Gleichgewichtslagen..........................................................................139
S 61 Brief- oder Paketwaage....................................................................................139
Aufgaben zur Selbstkontrolle........................................................................................144
Hinweise und Tipps...................................................................................................144
SA 1-1 Hydraulische Hebebühne.............................................................................144
SA 1-2 Gelenkträger mit Stabwerk-Unterbau..........................................................145
SA 1-3 Balken über einer Rinne...............................................................................145
SA 2-1 Förderanlage als Fachwerk..........................................................................147
SA 2-2 Eingespannter Gerberträger.........................................................................147
SA 2-3 Absetzen eines Trägers................................................................................148
2 Festigkeitslehre..................................................................................................................150
2.1 Spannung und Verformung bei Längsbeanspruchung, Hookesches Gesetz...............150
F 1 Federkräfte.........................................................................................................150
F 2 Lagerung einer starren Platte..............................................................................151
F 3 Abgesetzter Stab zwischen 2 starren Wänden....................................................154
F 4 Einbau eines zu kurzen Fachwerkstabes............................................................156
F 5 Schrauben-Flanschverbindung...........................................................................157
2.2 Mohrscher Spannungskreis, Spannungen infolge Innendrucks..................................162
F 6 Dehnungsmessstreifen an einer Platte................................................................162
F 7 Dünnwandiges Rohr beansprucht auf Innendruck, Biegung und Torsion..........164
F 8 Quader in eine Nut gepresst...............................................................................168
F 9 Zwei konzentrische Rohre..................................................................................171
2.3 Spannung und Verformung bei Biegung und Torsion................................................175
F 10 Verbundsystem.................................................................................................175
F 11 Abgewinkelter Balken......................................................................................177
F 12 Abgewinkeltes Rohr mit Innendruck und äußerer Belastung...........................181
F 13 Halbkreisförmig gebogenes Rohr mit Innendruck und Einzelkraft..................186
F 14 Eingespannter Balken mit parabelförmiger Streckenlast.................................188
F 15 Balken mit abgesetzter Streckenlast.................................................................191
F 16 Balken mit abgesetztem Querschnitt................................................................195
F 17 Balken mit veränderlicher Streckenlast............................................................197
F 18 Überkragender Balken.....................................................................................203
F 19 Eingespannter Gerberträger..............................................................................204
F 20 Verformung eines Hakens................................................................................207
XII Inhaltsverzeichnis
2.4 Einfach statisch unbestimmte Balkensysteme............................................................210
F 21 Gelenkig gelagerter Träger mit elastischer Mittelstütze...................................210
F 22 Doppelpendelstütze als Balkenlager.................................................................212
F 23 Feder zwischen zwei Balken............................................................................215
F 24 Querbalken als Stütze.......................................................................................217
F 25 Zwei aufeinanderliegende Balken....................................................................218
F 26 Abgewinkelter, dreifach gelenkig gelagerter Balken.......................................220
F 27 Eingespannter, abgewinkelter Balken mit Loslager.........................................225
F 28 Balken mit Stabunterbau..................................................................................227
2.5 Flächenträgheitsmomente, Steinerscher Satz, schiefe Biegung..................................231
F 29 Träger aus zwei U-Profilen zusammengesetzt.................................................231
F 30 Träger mit Z-Profil belastet mit Einzelkräften.................................................234
F 31 Träger mit Z -Profil und Streckenlast...............................................................239
F 32 Träger mit Dreiecks-Querschnitt......................................................................241
F 33 Träger belastet in 2 Ebenen..............................................................................245
2.6 Schubspannungen durch Querkräfte bei der Biegung.................................................248
F 34 Träger mit ungleichmäßigem Doppel T-Profil.................................................248
F 35 Genagelter Holzbalken.....................................................................................250
F 36 Biegung eines kurzen, rechteckigen Kastenträgers..........................................252
2.7 Torsion dünnwandiger Profile, Bredtsche Formeln....................................................255
F 37 Torsion eines dünnwandigen Rechteckkastens................................................255
2.8 Knicken von Stäben, Stabilität....................................................................................258
F 38 Schwerer Quader auf zwei Stäben....................................................................258
F 39 Untersuchung der Knickrichtung bei einem rechteckigen Stab.......................260
F 40 Knickbiegung bei einem eingespannten Stab...................................................262
Aufgaben zur Selbstkontrolle........................................................................................265
FA 1-1 Umbau eines Zweistäbeverbandes...............................................................265
FA 1-2 Statisch unbestimmt gelagerter Balken mit Momentenbelastung................266
FA 1-3 Eingespannter, am Seil hängender Balken mit Dreieckslast........................267
FA 2-1 Eingespannter Balken mit Stütze.................................................................268
FA 2-2 Scheibe mit aufgewickeltem Seil.................................................................269
FA 2-3 Allgemeiner Biegefall..................................................................................270
3 Dynamik.............................................................................................................................273
3.1 Kinematik, geradlinige Bewegung..............................................................................273
D 1 Überholvorgang.................................................................................................273
D 2 Dopplereffekt bei einem Raumschiff.................................................................274
D 3 Kinematik eines Seilzugs...................................................................................276