Table Of ContentProbleme und Resultate der Wissenschaftstheorie
und Analytischen Philosophie, Band III
W. StegmiillerjM. Varga von Kibed:
Strukturtypen der Logik
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo
Berichtigungen
S.18, Z.7 v.u.: Vor dem letzten Absatz ist folgender Absatz einzufligen: Die
beiden folgenden Kapitel, Kap. 14 und Kap. 15, folgen der
Darstellung von H. D. EBBINGHAUS, J. FWM und W. THOMAS
in ihrer 'Einfiihrung in die Mathematische Logik' (EBBING
HAUS et al. [I]).
Zu ersetzender Ausdruck Neuer Ausdruck
S. 34, Z. II v.u.: .) (fiir aile M,N?;,K).)
S.36,Z.I: (a" ... ,an) '(a" ... , an)'
S. 58, Z. 14/15: eine Formel ein Satz
S. 58, Z. 2 v.u.: Die Negation einer Die Negation eines
p-Formel ist aber eine Satzes vom Typ P ist aber
a-Forme!! ein Satz vom Typ ad
S. 59, Z. 3/4: eine Formel ein Satz
S. 78, Z. 8 der Anmerkung: Pradikat' 'Pradikat'
S. 79, Z. 9, sowie drei
Zeilen oberhalb (2), sowie
Z. 9 v.u.:
S. 79, zwei Zeilen
unterhalb (1): eine Formel ein Satz
S. 121, Z. 3 v.u.: Satz 23 Th.4.2.1
S. 125, Z. 2: 11-B f-B
S. 138, Z. 10 V.u.: (#J (A.)
S. 139, dritter Abs. von
4.3.4, letzte Zeile: fasch falsch
S. 140, Z. 8 unterhalb
der Tabelle: Dem Leser 1m Leser
S. 215, Z. 3/4: Der Beginn von Z. 4 gehort noch zur Behauptung (b), so daB
diese also mit 'von q>(u).' schlieBt. Die Begriindung in Z.4
beginnt mit: 'Denn nach Def.'
S. 233, Z. 7: 6(A*) 6(A*)
S. 233, Z. 10: b(-,B) b(-,B)
S. 244, Z. I v.u. (in (1')): Vi
S. 245, Z. 7:
~ ~
S. 301, Z. 10: Hier und gelegentlich im weiteren Text von Kap. 9-11 wird
'FormeI' verwendet, obwohl 'Satz' praziser ware; so z.B. auf
S. 316, Z. 2 v.U., S. 319, Z. I von (I) und (2), S. 320, Z. 19 v.u.
und S. 321. Z. 7
S. 308, Z. 7 v.u.: Th.9 Th.9.1
S. 315: Zu Beginn der ersten Zeile des dritten Absatzes ist folgender
Satz einzufiigen:
Reine Formeln bzw. reine Siitze sind solche ohne Objektpara
meter.
S. 318, Z. 10: von Siitzen von reinen Siitzen
S. 320, Z. 5: <5-Formeln ii-Siitzen
S. 320, Z. 18 V.u.: <5-Formeln Siitze vom Typ D
S. 336, Z. 8: Der Ausdruck 'von B6' ist zu streichen!
S. 357, Z. 7 v.u.: V V
S. 368, Z. 2: Ax[a] r Ax[ar
S. 368, Z. 1 v.u.: {nI-TA'o[k:]} {nII-TAz1Jk:]}
S. 381, R2., Z. 2: NE, rNE,'
S. 383, Z. 1: Th. l3.1 Th. l3.2
S. 384, Z. 24: nach Def. von 'erfiillt' nach I.V.
S. 386, Z. 20: r --, H' definiert M.) E erfiillt r --, H' ;
also gilt:
r --, H' definiert M.)
S. 386, Z. 7 v.u.: ¢W ¢p
S. 392, Z. 10 v.u.: t, und t2 t, noch t2
S. 393, Z. 15: Variablen freien Variablen
S. 394, Z. 5 oberhalb
Hilfssatz 2: (=g(Eg(E))!) (=g(Eg(E))!)
S. 394, Z. 12 v.u.: g(Eg(E)) g(Eg(E))
S. 396, Z. 11: der jeder
S. 396, Z. 11 v.u.: r(Il)(TIi)j(Il)), r(Il)«TIi)j(Il)),
S. 396, Z. 3 im Bew. von
Hilfssa tz 4: F(g(Et)) F(g(Et))
S. 408, Z. 11 V.u.: wobei S wobei So
S. 459, Z. 9 v.u.: Funktion L Funktion L
S. 489, Z. 12: und Schritt 1 und Teill
S. 505, einfiigen: Dummett, N., Elements of Intuitionism, Oxford 1977.
AufSeite 343 ist ein sachlicher Fehler zu korrigieren, auf den uns dankenswerterweise Karl
Popper aufinerksam gemacht hat. Die folgenden vier Anweisungen beziehen sich alle auf diese
Seite.
Auf Zeile 18 und Zeile 19 von oben ist der Satz zu streichen: 'Godel ist bei der Beweisskizze
... von Bernays entdeckt wurde.'
AufZeile 14 bis Zeile 12 von unten ist der Satz zu streichen: '(Der fragliche Beweis ... Godels
Arbeit.)'
AufZeile 20 und 21 von oben ist der Satz:· ... der Ableitbarkeit einer bestimmten Formel .. .'
zu ersetzen durch: •... der Ableitbarkeit bestimmter Formeln .. .'.
AufZeile22 von oben ist ·§5.2' zu ersetzen durch: ·§5.1c'.
S 372, Z. 10 v.u.}
zu ergiinzen: sofern n = r A'
S. 372. Z. 1 v.u.
Wolfgang Stegmiiller
Matthias Varga von Kib6d
Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie
und Analytischen Philosophie, Band III
Strukturtypen der Logik
Studienausgabe, Teil A
Junktoren und Quantoren. Baumverfahren. Sequenzenlogik.
Dialogspiele. Axiomatik. Natiirliches SchlieBen.
Kalkiil der Positiv-und Negativteile. Spielarten der Semantik
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo
1984
Professor Dr. Dr. Wolfgang Stegmiiller
Dr. Matthias Varga von Kibed
Seminar fUr Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie
Universitiit Miinchen
LudwigstraBe 31, D-8000 Miinchen 22
Dieser Band enthiilt die Einleitung und die Kapitel Ibis 5 der unter dem Titel
"Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und Analytischen Philosophie,
Band III, Strukturtypen der Logik" erschienenen gebundenen Gesamtausgabe
ISBN-13: 978-3-540-12211-1 e-ISBN-\3: 978-3-642-61724-9
001: I 0.1 007/978-3-642-61724-9
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo
Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Stegmiiller, Wolfgang: Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und analytischen
. Philosophie/Wolfgang Stegmiiller; Matthias Varga von Killed. - Studienausg. -
Berlin; Heidelberg; New York: Springer
Teilw. verf. von Wolfgang Stegmiiller
NE: Varga von Kibed, Matthias:
Bd.3 -+ Stegmiiller, Wolfgang: Strukturtypen der Logik
Stegmiiller, Wolfgang: Strukturtypen der LogikjWolfgang Stegmiiller; Matthias Varga von Killed. -
Studienausg. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer
(probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und analytischen Philosophie j
Wolfgang Stegmiiller; Matthias Varga von Killed; Bd.3)
NE: Varga von Killed, Matthias:
Teil A (]9R4).
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des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem
oder iihnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser
Verwertung, vorbehalten. Die Vergiitungsanspriiche des § 54, Abs.2 UrhG werden durch die "Verwertungs-
gesellschaft Wort", Miinchen, wahrgenommen.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984
Herstellung: Briihlsche Universitatsdruckerei, Giellen
2142/3140-543210
Inhaltsverzeichnis
Einleitung: Inhaltsiibersicht .
Kapitell. Vorbereitungen . 24
1.1 Logische und semiotische Praliminarien . 24
1.2 Zur Bezeichnungsweise und Symbolik. . 28
1.3 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . 29
1.3.1 Mengen und mengentheoretische Operationen 29
1.3.2 Relationen, Funktionen, Folgen . . . . .. 35
1.3.3 Kardinalzahlen. Cantorsches Diagonalverfahren 40
1.3.4 Induktionsbeweise. . . . . . . . . . . . . 43
Teil I. Logik
Kapitel 2. Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
2.1 Die Sprache der lunktorenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
2.2 Bivalenzprinzip, lunktorenregein, Wahrheitsannahmen, Boolesche Bewer-
tungen (j-Bewertungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Semantische Eigenschaften und Beziehungen der lunktorenlogik 59
2.4 Wahrheitstafeln und andere Entscheidungsverfahren 60
2.5 Satzschemata. Substitutionen. Umbenennungen 65
2.6 Semantische Vollstandigkeit der lunktoren 69
Kapitel 3. Quantoren . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 Die Sprache der Quantorenlogik . . . . . 73
3.2 Quantorenregeln. Wahrheitsannahmen. Quantorenlogische Bewertungen
(q-Bewertungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Semantische Eigenschaften und Beziehungen der Quantorenlogik 84
3.4 Logisch giiltige Aussagen iiber Satze mit Quantoren 86
3.5 Substitutionen. Alphabetische Umbenennungen. Varianten. 89
Kapitel 4. Kalkiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.0 Intuitive Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Formale Beweise. Formale Ableitungen. Semantische Adaquatheit von
Kalkiilen . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Adjunktiver Baumkalkiil ("Beth-Kalkiil") 106
4.2.1 Baumstrukturen. Das Lemma von KONIG 106
4.2.2 Beschreibung des Kalkiils B. . . . . . 109
4.2.3 Semantische Adaquatheit (q-Folgerungskorrektheit und q-Folgerungs-
vollstandigkeit) von B. Das Hintikka-Lemma 116
4.2.4 Kompaktheitstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
IV Inhaltsverzeichnis
4.2.5 Priinexer Baumkalkiil. . . . . . . 127
4.3 Sequenzenkalkiil ("Gentzen-Kalkiil") 130
4.3.1 Beschreibung des Kalkiils S . . . 130
4.3.2 Semantische Korrektheit von S 134
4.3.3 Semantische Vollstiindigkeit von S 135
4.3.4 Ein direkter Nachweis der Aquivalenz von Sequenzen- und Baumkalkiil:
Der Sequenzenkalkiil als "auf den Kopf gestellter Baumkalkiil" 139
4.4 Dialogkalkiil ("Lorenzen-Kalkiil") . . . . . . . . . . 149
4.4.1 LogikkalkiiI als Dialogspiel. Intuitive Vorbetrachtungen. . . . 149
4.4.2 Dialoge und Gewinnstrategien. . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4.3 Erste Hiilfte des Aquivalenzbeweises: Uberfiihrung von D-Gewinnstrategien
in S-Beweise. . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... 159
4.4.4 Zweite Hiilfte des Aquivalenzbeweises: Uberfiihrung von S-Beweisen in
D-Gewinnstrategien . . . . . . . . . 171
4.5 Axiomatischer Kalkiil ("Hilbert-Kalkiil") 178
4.5.1 Beschreibung des Kalkiils A. . . . . . 178
4.5.2 Semantische Adiiquatheit von A . . . . 182
4.6 Kalkiil des natiirIichen SchlieBens ("Gentzen-Quine-KalkiiI"). 183
4.6.1 Beschreibung des Kalkiils N. . . 183
4.6.2 Semantische Korrektheit von N . . . . . 189
4.6.3 Semantische Vollstiindigkeit von N . . . . 191
4.7 Positiv/Negativ-Kalkiil ("Schiitte-KalkiiI"). 194
4.7.1 Beschreibung des Kalkiils P. . . . . . . 194
4.7.2 Semantische Korrektheit von P . . . . . 196
4.7.3 Zuliissige Regeln von P. Vollstiindigkeit von P . 198
Kapitel 5. Semantiken: Spielarten der denotationellen und nicht-denotationellen
Semantik . . . . . . . . . . . . . 205
5.1 q-Interpretation........ 205
5.2 I-Bewertung und I-Interpretation. 210
5.3 I-Interpretation mit Objektnamen 213
5.4 I-Interpretation mit Variablenbelegung. Referentielle und substitutionelle
Quantifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5 I-semantische Grundresultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.6 Vergleichende Betrachtung von Zielsetzungen und Miiglichkeiten der denota
tionellen und nicht-denotationellen Semantik. . . . . . . . . . . . . . 224
Von der gebundenen Ausgabe des Bandes "Probleme und Resultate der Wissenschafts
theorie und Analytischen Philosophie, Band III, Strukturtypen der Logik" sind folgende
weitere Teilbiinde erschienen:
Studienausgabe Teil B: Normalformen. Identitiit und Kennzeichnung. Theorien und defini
torische Theorie-Erweiterungen. Kompaktheit. Magische Mengen. Fundamentaltheorem.
Analytische und synthetische Konsistenz. Unvollstiindigkeit und Unentscheidbarkeit
Studienausgabe Teil C: Selbstreferenz, Tarski-Siitze und die Undefinierbarkeit der
arithmetischen Wahrheit. Abstrakte Semantik und algebraische Behandlung der Logik.
Die beiden Siitze von LINDSTROM
Einleitung: Inhaltsiibersicht
Teil I
1m ersten Teil dieses Buches wird versucht, aIle wichtigen bekannten
Kalktilisierungen der modernen Logik sowie im wesentlichen aIle seman
tischen Deutungen von Logiksystemen systematisch zu behandeln. Der
zweite Teil des Buches ist einer DarsteIlung aIler bedeutsamen, auf
Logiksysteme bezogenen metatheoretischen Resultate gewidmet. Diese
Unterscheidung zwischen Logik und Metalogik gilt nur cum grana salis.
Denn aIle grundlegenden metalogischen Begriffe, wie die Begriffe der
logischen Gtiltigkeit, der ErftiIlbarkeit und der logischen Folgerung,
werden bereits im ersten Teil eingeftihrt. Ebenso wird das auf die sechs
Typen von Logikkalktilen bezogene Resultat ihrer semantischen Ad
aquatheit, namlich deren semantische Korrektheit und semantische Voll
standigkeit, bereits im ersten Teil bewiesen. 1m zweiten Teil werden also
nur die dartiber hinausgehenden metalogischen Ergebnisse aufgezeigt
und diskutiert.
Kapitel 1 enthalt einige vorbereitende Betrachtungen. Von diesen
sollte man gleich bei der ersten Lektiire die logisch~n und semiotischen
Praliminarien sowie die Bemerkungen zur Symbolik genauer zur Kennt
nis nehmen. Auf die Liste der mengentheoretischen Grundbegriffe hinge
gen kann der Leser jeweils im Bedarfsfall zurtickgreifen.
In Kap.2 und Kap.3 werden die Aussagen- oder lunktorenlogik
sowie die Quantorenlogik auf semantischer Grundlage, namlich tiber die
Einftihrung geeigneter formaler Sprachen J (Sprache der lunktorenlogik)
und Q (Sprache der Quantorenlogik) und deren Deutung, behandelt.
Und zwar ist es genauer die sog. Bewertungssemantik, die hier als
Ausgangspunkt gewahlt wird. Die junktorenlogischen Verkntipfungen,
d. h. die formalsprachlichen Gegenstiicke zu ,nichl', ,und', ,oder', ,wenn ...
dann - - -' sowie , ... dann und nur dann wenn - - -', werden dabei
durch die Booleschen Bewertungen oder j-Bewertungen mit einer festen
Bedeutung versehen. Die Bedeutungen der Quantoren, d. h. der formal
sprachlichen Gegenstticke zu ,ftir aile' und ,es gibt', werden mit Hilfe von
Verallgemeinerungen der Booleschen Bewertungen, namlich den quanto
renlogischen Bewertungen oder q-Bewertungen, charakterisiert. In einem
2 Einleitung: Inhaltsiibersicht
Vorgriff auf Kap. 5 wird dann gezeigt, daB die Verwendung der beiden
Wahrheitswerte wahr und falsch nicht wesentlich ist, da die Bewertungs
semantik durch eine mit ihr gleichwertige Semantik der Wahrheitsmen
gen ersetzbar ist, die jegliche Bezugnahme auf Wahrheitswerte vermeidet.
In 2.3 und 3.3 werden die grundlegenden semantischen Eigenschaften
und Beziehungen zunachst fUr die lunktorenlogik (wie z. B. j-Gtiltigkeit,
j-Ungtiltigkeit, j-ErfUIlbarkeit, j-Folgerung) und dann fUr die Quantoren
logik (z. B. q-Gtiltigkeit, q-Ungtiltigkeit, q-ErfUllbarkeit, q-Folgerung)
eingefUhrt. Auf diese Begriffe wird spater immer wieder zurtickgegriffen
und zwar sowohl bei der Weiterentwicklung der Semantik von lunkto
ren- und Quantorenlogik als auch in Kap. 4 bei den Adaquatheitsbewei
sen der dort behandelten Kalktile.
In diesen seman tisch grundlegenden Teil sind auch alle wichtigen
Lehrsatze tiber Substitutionen (von Pradikaten und Satzen) sowie tiber
alphabetische Umbenennungen (von gebundenen Variablen, von Para
metern und von Pradikaten) einbezogen worden. Urn diese Theoreme
exakt formulieren zu konnen, muBten zunachst die formalen Gegen
stticke zu den umgangssprachlichen Benennungen von Funktionen ("na
tursprachlichen Funktionsbezeichnungen") sowie zu den umgangs- oder
natursprachlichen Pradikaten eingefUhrt werden. Als ein fUr diese Prazi
sierung besonders geeignetes Hilfsmittel wurde der Begriff der n-stelligen
Nennform von K. SCHUTTE bentitzt, in welchem auBer auf die eigentli
chen Symbole der formalen Sprache auf zusatzliche Hilfssymbole, die
sog. Markierungszeichen, Bezug genommen wird.
Ublicherweise werden die erwahnten Lehrsatze in Logikbtichern als
auf einen bestimmten Kalktil bezogene Theoreme bewiesen. Dies hat den
Nachteil, daB die generelle Gtiltigkeit dieser Lehrsatze erst indirekt
erkennbar wird, namlich tiber den Nachweis der seman tisch en Adaquat
heit des fraglichen Kalktils. Durch die rein semantischen BeweisfUhrun
gen konnten hier diese Lehrsatze den Untersuchungen von Kalktilisierun
gen der Logik vorangestellt werden, wobei sich ihre Gtiltigkeit spater
auto rna tisch fUr alle Kalktile ergibt, die seman tisch korrekt und vollstan
dig sind.
Kapitel4 ist das bei weitem umfangreichste Kapitel des ersten Teiles.
Hier werden die bekannten syntaktischen Verfahren oder Kalktilisierun
gen der Logik nach sechs Haupttypen unterschieden. 1m einleitenden
Abschn. 4.0 werden diese Kalktilarten kurz intuitiv beschrieben und
miteinander verglichen. In 4.1 wird das Verfahren zur Definition der
Ableitbarkeit (eines Satzes aus einer Pramissenmenge) sowie des Beweises
und der Beweisbarkeit fUr einen beliebigen Kalktil beschrieben. Den
Ausgangspunkt fUr aIle weiteren Betrachtungen bildet in 4.2 der Baum
kalkill B, nach seinem Entdecker E. W. BETH haufig auch Tableaux
Kalktil genannt. Obwohl darin nicht das direkte, sondern das indirekte
Einleitung: Inhaltsiibersicht 3
Beweisverfahren formalisiert wird, kann dieser Kalkiil als der natiirlich
ste unter allen bekannten Kalkiilisierungen der Logik gel ten ; denn yom
intuitiven Standpunkt sind die Kalkiilregeln nichts anderes als syntakti
sche Umformulierungen der bewertungssemantischen Regeln. Auch die
semantische Adaquatheit laBt sich fUr diesen Kalkiil in verbliiffend
einfacher Weise zeigen, wenn man fUr den Vollstandigkeitsbeweis von
einem auf HINTIKKA zuriickgehenden Begriff ("Hintikka-Menge") und
einem sich darauf stiitzenden Lemma Gebrauch macht. (Derartige
Beweisvereinfachungen beruhen hier wie auch sonst haufig auf der
empfehlenswerten Strategie, bei Theoremen, die den Zusammenhang von
Syntax und Semantik betreffen, bevorzugt nach geeigneten Begriffsbil
dungen zu suchen, die eine Mittelstellung zwischen den beiden Bereichen
einnehmen, wie hier der Begriff der Hintikka-Menge.) Die Darstellung
gewinnt zusatzlich an Ubersichtlichkeit dadurch, daB von einer verein
heitlichenden Symbolik von SMULLYAN Gebrauch gemacht wird, wonach
sich aIle zu betrachtenden Formeln (Satze) ersch6pfend in solche yom
Typ IX, yom Typ {3, yom Typ 11 und yom Typ (j unterteilen lassen.
Die beiden genannten Vorteile des Baumkalkiils miissen mit einem
gewissen technischen Nachteil erkauft werden: Die Formulierung des
Beweisbegriffs fUr diesen Kalkiil ist relativ umstandlich. Es miissen darin
bestimmte baumartige Strukturen, kurz: Baume, exakt beschrieben
werden. Die fUr die vier Satztypen geltenden Regeln sind Regeln zur
Konstruktion von Erweiterungsbaumen aus gegebenen Baumen. SMUL
LYAN gibt in seinem Buch [5] eine verhaltnismaBig einfache Charakteri
sierung von Baumen, worin er die in einem Baum vorkommenden
Formeln mit den Baumpunkten identifiziert. Dieses Vorgehen ist jedoch
nicht exakt, da dann ein und diesel be Formel nicht an verschiedenen
Stellen des Baumes vorkommen k6nnte. Urn diesen Mangel zu beheben,
unterscheiden wir zwischen Baumstrukturen als Mengen und Baumen als
Funktionen mit Baumstrukturen als Argumenten. Wo keine Gefahr eines
MiBverstandnisses besteht, bedienen wir uns der vereinfachenden SMUL
LY ANschen Sprechweise.
Der Baumkalkiil ist das paradigmatische Beispiel eines analytischen
oder schnittfreien Kalkiils: Fiir den Beweis eines quantorenlogischen
Satzes stiitzt man sich in dem Sinne auf eine blol3e Analyse dieses Satzes,
als im Verlauf des Beweises nur Teilsatze des vorgegebenen Satzes oder
Negationen von solchen, also sog. schwache Teilsatze dieses Satzes,
vorkommen.
Der in 4.3 betrachtete zweite Kalkiil ist der Sequenzenkalkul S von
GENTZEN. Dieser Kalkiil wurde vor allem deshalb unmittelbar hinter den
Baumkalkiil gestellt, weil er fUr Vergleichszwecke zwischen Kalkiilen eine
Schliisselstellung einnimmt. 1m iibrigen bildete er urspriinglich eine fUr
beweistheoretische Zwecke modifizierte Fassung des Kalkiils des natiirli-
