Table Of ContentN I N O Z A N G H Ì
I N T R O D U Z I O N E A I
M E T O D I M AT E M AT I C I
D E L L A F I S I C A
UNIVERSITÀ DI GENOVA
Indice
1 Geometriaearitmeticacomplessa 1
1.1 Introduzionestorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Terminologia,notazioniepratica . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Traslazionierotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 LaformuladiEulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Operazionivettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Funzionicomplessecometrasformazioni . . . . . . . . . 7
1.7 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Visualizzazionedellefunzionicomplesse . . . . . . . . . 9
1.9 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Successionieserie 13
2.1 Successionieserieinfinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Condizionifondamentaliperleserieconvergenti . . . . 15
2.3 Ilmisterodelleseriedipotenzereali . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Successionieserieinspazivettorialimetrici* . . . . . . . 20
2.5 Successionieserienelpianocomplesso . . . . . . . . . . 23
2.6 Lanozionediserieassolutamenteconvergente . . . . . . 23
2.7 Seriedipotenzenelpianocomplesso . . . . . . . . . . . 24
2.8 Checosasuccedesulcerchiodiconvergenza . . . . . . 27
∗
2.9 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10.1 Geometriadelleseriedipotenze . . . . . . . . . . . . 30
2.10.2 RegolarizzazionediAbel . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Convergenzauniformeeseriedipotenze 35
3.1 Convergenzauniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Criteriodiconvergenzauniforme. . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Approssimareunaseriedipotenzeconunpolinomio . . 37
3.4 Unicitàdelleseriedipotenze . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Manipolazionedelleseriedipotenze . . . . . . . . . . . 39
3.6 Cometrovareilraggiodiconvergenza . . . . . . . . . . . 40
3.7 Lafunzioneesponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Funzionitrigonometricheeiperboliche . . . . . . . . . . 43
4
3.9 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Puntididiramazioneepuntoall’infinito 45
4.1 Multifunzioni,puntididiramazioneerami . . . . . . . . 45
4.2 Qualcheesempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Rilevanzaperleseriedipotenze . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Lafunzionelogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 LasferadiRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6 Singolaritàepuntididiramazioneall’infinito . . . . . . 56
4.7 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.8 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.8.1 Laseriedellogaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.8.2 SeriedipotenzeeseriediFourier . . . . . . . . . . . 58
5 Funzionianalitiche 61
5.1 Descrizionelocaleditrasformazionidelpiano . . . . . . 61
5.2 Geometriadelletrasformazionianalitiche . . . . . . . . . 63
5.3 LeequazionidiCauchy-Riemann. . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Questionidianalisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Conforme=analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6 Funzioniarmoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.7 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.8 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.8.1 Proprietàgeneralidellefunzioniarmoniche . . . . . . 70
5.8.2 Inversionegeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8.3 IlgruppodelletrasformazionidiMöbius . . . . . . . 74
6 TeoremadiCauchy 77
6.1 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Campovettorialeassociatoadunafunzionecomplessa . 78
6.3 CircuitazioneeFlusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Significatofisicodellefunzionianalitiche . . . . . . . . . 81
6.5 TeoremadiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.6 FormuladiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.7 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.8 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.8.1 Dipoliequadrupoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Teoremadeiresidui 87
7.1 Antiderivatadiunafunzioneanalitica . . . . . . . . . . 87
7.2 Qualcheesempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3 Calcolodiintegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.4 Teoremadeiresidui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.5 Funzionimeromorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.6 Singolaritàessenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5
7.7 Cisonomodi“veloci”percalcolareiresidui? . . . . . . 94
7.8 Residuoall’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.9 Tabellariassuntivadellesingolaritàdiunafunzione . . . 97
7.10 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.11 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.11.1 Campiall’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 Calcolodiintegrali 103
8.1 Ilmetododeiresidui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Qualcheesempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3 Qualchemorale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.4 IntegralidiFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.5 Intermezzo: l’equazionedelcalore . . . . . . . . . . . . . 111
8.6 Integralediunafunzioneconpuntididiramazione . . . 113
8.7 TrasformatediLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.8 IlmetodochepiacevaaFeynman. . . . . . . . . . . . . . 116
8.9 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9 AltreconseguenzedelteoremadiCauchy 121
9.1 Miscellaneaditeoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2 InfinitadifferenziabilitàeseriediTaylor . . . . . . . . . 126
9.3 SeriediLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 Espansioneinmultipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5 Prolungamentoanalitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.6 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.7 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.7.1 Espansioneinmultipoli . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.7.2 Notasulprolungamentoanalitico . . . . . . . . . . . 136
9.7.3 Lafunzionegamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.7.4 LafunzionezetadiRiemann . . . . . . . . . . . . . . 137
9.7.5 IlteoremadiLiouvilledellameccanicahamiltoniana . 140
10 Funzionigeneralizzate 143
10.1 LadeltadiDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 Manipolazionidelladelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Funzionigeneralizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11 Ilparadisodell’integralediFourier 153
11.1 TrasformatediFourierdifunzionibuone . . . . . . . . . 153
11.2 LemmadiRiemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.3 IdentitàdiParseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.4 Teoremadiconvoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.5 Ilnucleodelcalore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.6 Osservazioni,notazionieconvenzioni . . . . . . . . . . . 159
11.7 ProprietàdelletrasformatediFourier . . . . . . . . . . . 160
6
11.8 TrasformatediFourierdifunzioninonbuone . . . . . . 163
11.9 TrasformatediFourierdifunzionigeneralizzate . . . . . 163
11.10 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.11 Complementi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.11.1Analisidimensionaleenucleodelcalore . . . . . . . . 167
11.11.2Leggedeigrandinumerielimitecentrale . . . . . . . 168
12 L’equazionedelleondeinunadimensione 171
12.1 L’equazioneomogeneadelleonde . . . . . . . . . . . . . 171
12.2 Soluzionegeneraledid’Alembert . . . . . . . . . . . . . 171
12.3 SoluzionedelproblemadiCauchy . . . . . . . . . . . . . 172
12.4 Conservazionedell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.5 L’equazionenonomogeneadelleonde. . . . . . . . . . . 175
12.6 RisoluzionemedianteanalisidiFourier . . . . . . . . . . 176
13 Polilungoilcamminoefunzionicausali 181
13.1 ParteprincipalediCauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2 TeoremaeformuladiCauchygeneralizzate . . . . . . . 183
13.3 FormuleintegralidiPoissonperilsemipiano . . . . . . 184
13.4 FormuleintegralidiPoissonperilcerchio . . . . . . . . 186
13.5 IntegralediFourierdifunzionicausali . . . . . . . . . . 186
13.6 RelazionididispersionediKramerseKronig. . . . . . . 187
14 TrasformatediLaplace 191
14.1 RelazionetraletrasformatediLaplaceeFourier . . . . 191
14.2 ProprietàdellatrasformatadiLaplace . . . . . . . . . . . 192
14.3 NozioneusualeditrasformatadiLaplace . . . . . . . . . 194
14.4 Formuladiinversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
14.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15 ProblemadiDirichletnelpiano 199
15.1 Complementisullerappresentazioniconformi . . . . . . 199
15.2 Distribuzioneditemperaturainunapiastracircolare . . 201
15.3 IlproblemadiDirichletperl’equazionediLaplace . . . 203
15.4 IlnucleodiPoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
15.5 Teoremadiconvergenzauniforme . . . . . . . . . . . . . 206
15.6 Complementi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.6.1 Complementisullatrasformazione“swap”diMöbius 208
15.6.2 Dimostrazionedelteoremadiconvergenzauniforme . 209
16 AnalisidiFourier 211
16.1 Ilproblemafondamentaledell’analisidiFourier . . . . . 211
16.2 EsempidiseriediFourierdifunzioniperiodiche . . . . 215
16.3 IlteoremadiDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
16.4 IlfenomenodiGibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7
16.5 RisultaticlassicisulleseriediFourier . . . . . . . . . . . 221
16.6 DalproblemadiDirichletnelpianoall’analisidiFourier 225
16.7 TeoremadiapprossimazionediWeierstrass . . . . . . . . 227
16.8 Approssimazionenelsensodeiminimiquadrati . . . . . 228
16.9 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
16.10 Complementi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
16.10.1LamemoriaoriginalediFourier . . . . . . . . . . . . 231
16.10.2L’oscillatorearmonicosmorzato . . . . . . . . . . . . 232
17 SpazidiHilbert 235
17.1 Spazinormati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
17.2 Spaziconprodottoscalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
17.3 Lospazio (cid:96)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
17.4 LanotazionediDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
17.5 Basiortonormali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
17.6 TeoremadiRiesz-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
17.7 Universalitàdellospazio (cid:96)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.8 Proiezioniortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17.9 Approssimazioneinmediaquadratica . . . . . . . . . . . 245
17.10 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
17.11 Complementi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.11.1Schemariassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.11.2Dimostrazionidialcuniteoremi . . . . . . . . . . . . 250
18 AnalisidiFourierdifunzioni L2 inunintervallolimitato 255
18.1 Lospaziodellefunzioniaquadratointegrabile. . . . . . 255
18.2 Unosguardoaproblemipiùavanzati . . . . . . . . . . . 258
18.3 Ortogonalitàdelsistematrigonometrico . . . . . . . . . . 260
18.4 Significatogeometricodellesommeparziali . . . . . . . 261
18.5 Completezzadelsistematrigonometrico . . . . . . . . . 261
18.6 AnalisidiFourierin L2(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
18.7 Funzioniassolutamenteintegrabili . . . . . . . . . . . . . 263
18.8 Teoremadiconvoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
18.9 AnalisidiFourierinunintervallolimitato . . . . . . . . 265
18.10 SeriediFourieradintervallodimezzato . . . . . . . . . 267
18.11 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.12 Complementi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.12.1Calcolograficodelprodottodiconvoluzione . . . . . . 270
18.12.2Strutturafondamentaledell’analisidiFourier . . . . 270
18.12.3Analisiarmonicaneldiscreto . . . . . . . . . . . . . 272
18.12.4Analisiarmonicainunintervalloinfinito . . . . . . . 275
19 Problemialcontorno 277
19.1 Equazioniallederivateparziali . . . . . . . . . . . . . . . 277
19.2 Problemialcontornosullarettareale . . . . . . . . . . . 278
8
19.3 Problemialcontornosullasemi-rettareale . . . . . . . . 281
19.4 Oscillazioniditemperaturanelsuolo . . . . . . . . . . . 285
19.5 Problemialcontornoinunintervallolimitato . . . . . . 287
19.6 Metododelleseparazionidellevariabili . . . . . . . . . . 288
19.7 DaFourieraSchrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
19.8 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
20 UnitarietàdellatrasformatadiFourier 297
20.1 LatrasformatadiFourierdifunzionibuone . . . . . . . 297
20.2 Operatorisufunzionibuone . . . . . . . . . . . . . . . . 299
20.3 LefunzionidiHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
20.4 CompletezzadelsistemadellefunzionidiHermite . . . 304
20.5 TrasformatadiFourierdifunzioniaquadratointegrabile 305
20.6 L’oscillatorearmonicoquantistico . . . . . . . . . . . . . 306
20.7 LatrasformatadiFourierfrazionaria. . . . . . . . . . . . 307
21 ComplementisullatrasformatadiFourier 309
∗
21.1 ProprietàdianaliticitàdellatrasformatadiFourier . . . 309
21.2 TeoremidiPaley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
21.3 SegnaliabandalimitataeteoremadiWhittaker-Shannon 312
22 Analisiasintotica 315
∗
22.1 Notazionistandarddell’analisiasintotica . . . . . . . . . 315
22.2 IntegralidiFourierelemmadiRiemann-Lebesgue . . . 316
22.3 Metododellafasestazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 316
22.4 Asintoticaaondecorteinmeccanicaquantistica . . . . . 320
22.5 Diffrazioneinottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
22.6 Asintoticaagranditempiinmeccanicaquantistica . . . 324
22.7 IntegralidiLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
22.8 MetododiLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.9 Transizionidifasemagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . 330
22.10 Serieasintoticheeserieconvergenti . . . . . . . . . . . . 334
22.11 Sviluppiasintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Appendici 341
A Soluzionideiproblemi 343
S.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
S.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
S.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
S.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
S.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
S.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
S.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
S.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
1
S.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
S.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
S.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
S.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
S.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
S.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
S.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Description:Cette pièce renferme les véritables équations différentielles de transmission de la chaleur[]; et la nouveauté du sujet, jointe à son importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage, en observant cependant que la manière dont l'Auteur parvient à ses équations n'est pas exempte
