Table Of ContentIntroduction aux espaces quotients
Marc SAGE
7 fØvrier 2005
Table des matiŁres
1 Introduction 2
1.1 Quotient d(cid:146)un groupe abØlien par un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 IntØrŒt du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Structures quotients 4
2.1 Quotient d(cid:146)un groupe par un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Quotient d(cid:146)un anneau par un idØal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Quotient d(cid:146)un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Quotient d(cid:146)une algŁbre unitaire par un idØal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Factorisation canonique des morphismes, thØorŁmes d(cid:146)isomorphismes 10
3.1 Factorisation canonique d(cid:146)une application quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Factorisation canonique d(cid:146)un morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Factorisation canonique d(cid:146)un morphisme d(cid:146)anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Factorisation canonique d(cid:146)une application linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Factorisation canonique d(cid:146)un morphisme d(cid:146)algŁbres unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Un exemple important : quotient d(cid:146)anneaux de polyn(cid:244)mes 15
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Quotient par un polyn(cid:244)me, thØorŁmes de plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.1 RØduction (cid:150)existence de valeur propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.2 Extensions de corps par ajout d(cid:146)ØlØments "(cid:224) la main" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.3 DØtermination des corps (cid:133)nis de petit cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
1 Introduction
1.1 Quotient d(cid:146)un groupe abØlien par un sous-groupe
On considŁre dans cette partie un groupe abØlien (G;+) et H un sous-groupe de G.
ConsidØrons la relation d(cid:146)Øquivalence suivante sur G, appelØe relation de congruence modulo H :
x y y x H.
(cid:17) () (cid:0) 2
Onlira"xestcongru(cid:224)y moduloH",etoninterprŁtedanslelangagecourantcomme"xvauty (cid:224)unØlØment
de H prŁs" (l(cid:146)ØlØment en question Øtant la di⁄Ørence y x, qui est dans H si x y). L(cid:146)usage a voulu que cette
(cid:0) (cid:17)
derniŁre expression se transforme en "x est Øgal (cid:224) y modulo un ØlØment de H", comme on dirait "tout entier
relatif se dØcompose en produit de nombres premiers modulo un facteur 1", ou bien "modulo un coe¢ cient
scalaire, tout polyn(cid:244)me non nul sur C s(cid:146)Øcrit di=1(X (cid:0)(cid:21)i)", ou encore (cid:6)"modulo une astuce introuvable, cet
exercie est une trivialitØ". Il convient donc de considØrer le terme modulo comme du vocabulaire courant, et
Q
ainsi la relation de congruence modulo un ensemble devrait parler d(cid:146)elle-mŒme.
VØri(cid:133)er que est une relation d(cid:146)Øquivalence est immØdiat car H contient le neutre 0 (rØ(cid:135)exivitØ), est stable
(cid:17)
par passage (cid:224) l(cid:146)opposØ (symØtrie) et par addition (transitivitØ). On notera x la classe d(cid:146)Øquivalence de x pour
la relation . Remarquons dŁs maintenant que
(cid:17)
y x y =x y x H y x+H
2 () () (cid:0) 2 () 2
oø l(cid:146)on note
x+H := x+h ; h H .
f 2 g
Ainsi, la classe d(cid:146)un ØlØment x de G peut d(cid:146)Øcrire explicitement comme
x=x+H.
Par analogie avec le cas G=Z et H =nZ (oø l(cid:146)on retrouve la congruence modulo n, les classes a=a+nZ,
et l(cid:146)ensemble Z(cid:30)nZ), on notera
G(cid:30)H := x ; x G = x+H ; x G
f 2 g f 2 g
l(cid:146)ensemble quotient G(cid:30) .
(cid:17)
Cherchons (cid:224) prØsent (cid:224) munir l(cid:146)ensemble quotient G(cid:30)H d(cid:146)une structure de groupe. Soient X et Y deux
ØlØments de G(cid:30)H, x un reprØsentant de X et y un reprØsentant de Y. On peut essayer de dØ(cid:133)nir une loi + sur
G(cid:30)H qui dØcoulerait de celle de G, par exemple :
X+Y :=x+y
(on utilise volontairement le mŒme symbole + pour dØsigner les lois de G et de G(cid:30)H, car la seconde dØcoule de
la premiŁre au vu de la dØ(cid:133)nition, mais il faut garder (cid:224) l(cid:146)esprit qu(cid:146)elle n(cid:146)agissent pas sur les mŒmes objets (cid:150)la
premiŁre sur des ØlØments de G, la seconde sur des classes d(cid:146)Ølements de G).
CettedØ(cid:133)nitionn(cid:146)aaucuneraisond(cid:146)enŒtreune,encelaquelemembredegauchex+y dØpenda priori des
reprØsentants x et y choisis. VØri(cid:133)ons qu(cid:146)il n(cid:146)en est rien. Si x est un autre reprØsentant de X, on a x=X =x,
0 0
donc x x, et la di⁄Ørence (x x) est un ØlØment h de H. De mŒme, si y est un autre reprØsentant de Y,
0 0 x 0
(cid:17) (cid:0)
on a (y y)=h ØlØment de H. On en dØduit
0 y
(cid:0)
(x +y ) (x+y)=(x x)+(y y)=h +h H
0 0 0 0 x y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2
car H stable par +, i.e. x+y x +y , ou encore x +y =x+y.
(cid:17) 0 0 0 0
On peut donc e⁄ectivement munir G(cid:30)H d(cid:146)une loi + dØ(cid:133)nie par
x+y =x+y.
Il est alors immØdiat que le magma G(cid:30)H;+ est un groupe : observer que l(cid:146)associativitØ dans G(cid:30)H dØcoule
de l(cid:146)associativitØ dans G et que le neutre ainsi que l(cid:146)inverse dans G(cid:30)H sont donnØs par
(cid:0) (cid:1)
0 =0 et x= x.
(G(cid:30)H) G (cid:0) (cid:0)
2
Le groupe G(cid:30)H;+ est alors appelØ groupe quotient de G par H, ou plus simplement quotient de G par
H, voire carrØment quotient par H.
(cid:0) (cid:1)
De fa(cid:231)on plus gØnØrale, si est un loi quelconque sur un ensemble E non vide muni d(cid:146)une relation d(cid:146)Øqui-
(cid:3)
valence , on dit que la relation est compatible avec la loi si
(cid:24) (cid:24) (cid:3)
x x
y (cid:24)y00 entraine (x(cid:3)y)(cid:24)(x0(cid:3)y0).
(cid:26) (cid:24)
On peut alors dØ(cid:133)nir une loi quotient sur E(cid:30) par
(cid:3)(cid:24) (cid:24)
x y =x y
(cid:3)(cid:24) (cid:3)
etl(cid:146)onvoitquetouteslespropriØtØsdelaloi (associativitØ,commutativitØ...)sonttransportØesdanslequotient
(cid:3)
et sont vØri(cid:133)Øes par .
C(cid:146)estexactement(cid:3)c(cid:24)equenousavonsfaitau-dessusenconsidØrantlarelation decongruencemoduloH sur
(cid:17)
l(cid:146)ensemble G muni de la loi + et en montrant que Øtait compatible avec +.
(cid:17)
Remarque. Lorsqu(cid:146)une relation d(cid:146)Øquivalence est compatible avec une loi, on parle plut(cid:244)t de relation
de congruence et on la note gØnØralement . On peut donc mener des calculs avec la loi considØrer, la prØsence
(cid:17)
d(cid:146)un troisiŁme trait sur le signe = rappelant qu(cid:146)on travaille dans le quotient. Penser aux congruences d(cid:146)entiers
dans Z!
Petit complØment.
RØciproquement, si l(cid:146)on se donne une relation d(cid:146)Øquivalence sur G compatible avec la loi +, cherchons un
(cid:24)
sous-groupe H tel que G(cid:30) = G(cid:30)H, i.e. tel que soit la relation de congruence modulo H. Par dØ(cid:133)nition de
celle-ci, un tel H doit vØrif(cid:24)er x y si et seulement(cid:24)si y x H, donc la seule possibilitØ est
(cid:24) (cid:0) 2
H = y x ; x y .
f (cid:0) (cid:24) g
H est bien un sous-groupe de G, car :
en prenant un x dans G, on a (par rØ(cid:135)ØxivitØ de ) x x, donc 0=x x H;
(cid:15) (cid:24) (cid:24) (cid:0) 2
si h H, on a h=y x avec x y, donc (par symØtrie de la relation ) y x , d(cid:146)oø h=x y H;
(cid:15) 2 (cid:0) (cid:24) (cid:24) (cid:24) (cid:0) (cid:0) 2
h =x x avec x x
(cid:15)sihx ethy sontdansH,ona hxy =y00(cid:0)y avec y (cid:24)y00 ,donc(parcompatibilitØde(cid:24)avec+)(x+y)(cid:24)
(cid:26) (cid:0) (cid:24)
(x +y ), i.e. (x +y ) (x+y) H, on encore h +h H.
0 0 0 0 x y
(cid:0) 2 2
De plus, on a bien x y si et seulement si y x H comme on le souhaitait.
(cid:24) (cid:0) 2
En conclusion, un sous-groupe et une relation d(cid:146)Øquivalence compatible avec la loi de groupe, c(cid:146)est pareil.
1.2 IntØrŒt du quotient
IlestcommunenmathØmatiquesd(cid:146)avoir(cid:224)Øtudierdesstruturesoøl(cid:146)onnes(cid:146)intØressequ(cid:146)(cid:224)quelquespropriØtØs
bien spØci(cid:133)ques des ØlØments ØtudiØs. Par exemple :
l(cid:146)Øtude des entiers relatifs oø l(cid:146)on ne s(cid:146)intØresse qu(cid:146)(cid:224) la divisibilitØ par un entier naturel donnØ;
(cid:15)
l(cid:146)Øtuded(cid:146)unespacevectoriela¢ nisØoøl(cid:146)onnes(cid:146)intØressequ(cid:146)(cid:224)ladirectiondeladroitejoignantdeuxpoints
(cid:15)
donnØs;
l(cid:146)Øtude d(cid:146)un groupe muni d(cid:146)un endomorphisme oø l(cid:146)on ne s(cid:146)intØresse qu(cid:146)(cid:224) l(cid:146)image des ØlØments par ce
(cid:15)
morphisme.
Dans tous ces exemples, le fait que deux ØlØments x et y aient la propriØtØ ØtudiØe (en d(cid:146)autres termes, le
fait qu(cid:146)ils soient Øquivalents pour la propriØtØ ØtudiØe) peut se traduire par une relation compatible avec les lois
qui nous intØressent. Pour reprendre les exemples ci-dessus :
a et b sont mŒme reste dans la division euclidienne par un entier n si et seulement si leur di⁄Ørence est
(cid:15)
dans nZ, i.e. a b [n], ce qui est bien une relation compatible avec les loi + et qui servent (cid:224) Øtudier la
(cid:17) (cid:2)
divisibilitØ des entiers;
3
si l(cid:146)on se (cid:133)xe un direction x (i.e. un vecteur) dans un K-espace vectoriel, le fait que deux points a et
0
(cid:15)
b soient alignØs selon cette direction se traduit par (cid:0)!ab x , i.e. a b Kx . On vØri(cid:133)e facilement que cette
0 0
k (cid:0) 2
relation d(cid:146)Øquivalence, qui consiste (cid:224) quotienter l(cid:146)espace par le sous-espace vectoriel Kx , est compatible avec
0
les lois vectorielles;
si f est un morphisme d(cid:146)un groupe G abØlien dans un groupe H, le fait que deux ØlØments x et y aient
(cid:15)
mŒme image s(cid:146)Øcrit f(x) = f(y), i.e. f(x y) = 0, ou encore x y Kerf, ce qui revient (cid:224) considØrer le
(cid:0) (cid:0) 2
quotient G(cid:30)Kerf.
Dans les trois cas, on regroupe tous les ØlØments Øquivalents pour la propriØtØ ØudiØe, on met les paquets
obtenus dans des sacs (les ØlØments d(cid:146)un mŒme sac sont tous Øquivalents), puis on travaille sur les sacs (sur
l(cid:146)ensemble quotient) avec la mŒme structure que sur l(cid:146)ensemble de dØpart.
On a gagnØ (cid:224) n(cid:146)Øtudier que des objects distincts vis(cid:150)vis de la propriØtØ ØtudiØe, mŒme si en apparence ces
objets sont plus compliquØs. En apparence seulement car avec l(cid:146)habitude on oublie leur dØ(cid:133)nition ensembliste
pour n(cid:146)en garder que les propriØtØs essentielles. Par exemple, on peut construire R en quotientant l(cid:146)ensemble
des suites de Cauchy de Q par la relation "la di⁄Ørence tend vers 0"; mais personne n(cid:146)utilise le fait qu(cid:146)un rØel
peut se reprØsenter comme un ensemble de suites de Cauchy rationnelles; seulent comptent les propriØtØs de
l(cid:146)ordre, de la complØtude, et de la borne supØrieure (essentiellement).
2 Structures quotients
2.1 Quotient d(cid:146)un groupe par un sous-groupe
On considŁre cette fois un groupe multiplicatif (G; ) non nØcessairement abØlien et H un sous-groupe de G.
(cid:1)
Par analogie avec le cas abØlien, on dØ(cid:133)nit une relation sur G par
(cid:17)
x y x 1y H.
(cid:0)
(cid:17) () 2
On vØri(cid:133)e immØdiatement qu(cid:146)il s(cid:146)agit bien d(cid:146)une relation d(cid:146)Øquivalence. De plus, les Øquivalences
y x y =x x 1y H y xH
(cid:0)
2 () () 2 () 2
assurent que la classe d(cid:146)un ØlØment x de G est donnØe par
x=xH = xh ; h H .
f 2 g
On peut dŁs (cid:224) prØsent noter les propriØtØs :
(xy)H =x(yH)
h H; hH =H.
(cid:26) 8 2
La premiŁre est triviale en vØri(cid:133)ant les deux inclusions (et ne nØcessite pas que H soit un sous-groupe de G,
toute partie de G convient), la seconde rØsulte de ce que H est stable par la loi (d(cid:146)oø hH H) et par passage
(cid:1) (cid:26)
(cid:224) l(cid:146)inverse (tout h de H peut s(cid:146)Øcrire h h 1h , d(cid:146)oø H hH). On a Øgalement de fa(cid:231)on immØdiate que pour
0 (cid:0) 0
(cid:26)
toutes parties A et B de G :
(cid:0) (cid:1)
xA xB
A B = (cid:26) .
(cid:26) ) Ax Bx
(cid:26) (cid:26)
On considŁre ensuite l(cid:146)ensemble quotient G(cid:30) = x ; x G , gØnØralement notØ
(cid:17) f 2 g
G(cid:30)H := xH ; x G .
f 2 g
Petit commentaire : les classes xH ici obtenues sont appelØes classes (cid:224) gauche de H : le x dans le "xH" est
"(cid:224) gauche" de H (cid:150)on dit aussi parfois que xH est le translatØ (cid:224) gauche de H par x. On peut Øgalement dØ(cid:133)nir
une relation x y par xy 1 H, auquel cas les classes d(cid:146)Øquivalence sont donnnØes par x = Hx et sont alors
(cid:0)
(cid:17) 2
appelØes classes (cid:224) droite de H (Hx est Øgalement appelØ translatØ (cid:224) droite de H par x), l(cid:146)ensemble quotient se
notant dans ce cas
H(cid:31)G := Hx ; x G .
f 2 g
4
Pour ne pas se mØlanger les pinceaux, on pourra retenir que, dans les notations G(cid:30)H =fxH ; x2Gg , ce
H(cid:31)G = Hx ; x G
(cid:26) f 2 g
par quoi on translate (les ØlØments x de G) est du bon c(cid:244)tØ de H : pour les classes (cid:224) gauche, le "x" de xH (cid:224) est
(cid:224) gauche de H, et le "G" de G(cid:30)H est aussi (cid:224) gauche de H. (cid:201)videmment, dans le cas abØlien, tout commute et
il n(cid:146)y a pas lieu de diگrencier classe (cid:224) gauche de classe (cid:224) droite.
En pratique, on utilise la plupart du temps les classes (cid:224) gauche et le quotient G(cid:30)H.
Cherchons (cid:224) prØsent (cid:224) munir le quotient G(cid:30)H d(cid:146)une structure de groupe, toujours par analogie avec le cas
abØlien. Un bon candidat serait la loi quotient dØ(cid:133)nie par
x y =x y.
(cid:1) (cid:1)
On a dØj(cid:224) vu que, pour que la dØ(cid:133)nition ci-dessus en soit vraiment une, i.e. que la classe xy ne dØpende pas des
reprØsentants choisis, il faut que la relation soit compatible avec la loi de G. Regardons ce que cela implique
(cid:17)
sur le sous-groupe H.
Soient g quelconque dans G, h quelconque dans H. On a
h=hH =H =1
,
gh=(gh)H =g(hH)=gH =g
(cid:26)
donc, dans le cas oø la relation est compatible avec la loi , on doit avoir
(cid:17) (cid:1)
1 h
(cid:17) = (1) (gh) (h) (g) = gh hg = (gh)(cid:0)1(hg) H
gh g ) (cid:1) (cid:17) (cid:1) ) (cid:17) ) 2
(cid:26) (cid:17)
= h 1g 1hg H = h h 1g 1hg hH = g 1hg H.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
) 2 ) 2 ) 2
Ceci tenant pour tout h dans H, on doit avoir (cid:0) (cid:1)
g G, g 1Hg H.
(cid:0)
8 2 (cid:26)
Un tel sous-groupe stable par les applications i : x g 1xg (appelØes conjugaisons ou automorphismes
g (cid:0)
7!
intØrieurs), est dit distinguØ dans G (ou tout simplement distinguØ), et on note alors H C G. Attention au
symboleCquifaitpenser(cid:224)unerelationd(cid:146)ordre,engØnØrallarelation"ŒtredistinguØdans"n(cid:146)estpastransitive!
Noter que dans le cas abØlien, tous les sous-groupes de G sont distinguØs dans G.
Montrons tout de suite deux caractØrisations des sous-groupes distinguØs.
Lemme.
Les trois propositions suivantes sont Øquivalentes :
H CG;
(cid:15)
g G, gH =Hg;
(cid:15) 8 2
g G, g 1Hg =H.
(cid:0)
(cid:15) 8 2
DØmonstration.
g 1Hg H
(cid:15) Supposons H C G, et soit g 2 G. En appliquant la dØ(cid:133)nition (cid:224) g et (cid:224) g(cid:0)1, on obtient g(cid:0)Hg(cid:0)1 (cid:26)H ,
(cid:26) (cid:26)
g g 1Hg gH Hg gH
d(cid:146)oø (cid:0) (cid:26) , i.e. (cid:26) , ou encore Hg =gH.
gHg 1 g Hg gH Hg
(cid:0)
(cid:26) (cid:0) (cid:1)(cid:26) (cid:26) (cid:26)
Supposons g G, gH =Hg. Pour g dans G, on vØri(cid:133)e que
(cid:15) (cid:0) (cid:1)8 2
g 1Hg = g 1H g = Hg 1 g =H g 1g =H.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Supposons g G, g(cid:0)1Hg =H. A(cid:0)fortior(cid:1)i on a(cid:0) g G(cid:1) , g(cid:0)1H(cid:0)g H(cid:1), d(cid:146)oø H CG.
(cid:15) 8 2 8 2 (cid:26)
OnadoncmontrØquesil(cid:146)onpeutmunirlequotientG(cid:30)H d(cid:146)uneloi vØri(cid:133)antx y =x y,alorsnØcØssairement
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
le sous-goupe H est distinguØ dans G (i.e. que H est stable par conjugaison), ce qui revient (cid:224) dire (d(cid:146)aprŁs le
lemme) que les classes (cid:224) gauche co(cid:239)ncident avec les classes (cid:224) droite.
RØciproquement, vØri(cid:133)ons que la condition H CG su¢ t (cid:224) montrer la compatibilitØ de la relation avec la
(cid:17)
x x
loi . Pour (cid:17) 0 , on a
(cid:1) y y0
(cid:26) (cid:17)
xy = (xy)H =x(yH)=x(y H)=x(Hy )=(xH)y
0 0 0
= (xH)y =(Hx)y =H(xy )=(xy )H =xy , CQFD.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5
Il reste juste (cid:224) vØri(cid:133)er l(cid:146)associativitØ de la loi quotient, mais elle dØcoule naturellement de l(cid:146)associativiØ de
la loi dans G :
x (y z)=x (yz)=x(yz)=(xy)z =(x y) z.
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
Conclusion gØnØrale.
Soit H un sous-groupe de G. La loi quotient x y =x y sur G(cid:30)H est bien dØ(cid:133)nie si et seulement si H est
(cid:1) (cid:1)
distinguØ dans G, et alors la projection canonique
(cid:25) : (G;(cid:1)) (cid:0)! G(cid:30)H;(cid:1)
g g =gH
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:0) (cid:1)
est un morphisme de groupes (cid:150)ce qui fournit au passage le neutre 1 =1 et l(cid:146)inverse x 1 =x 1.
G(cid:30)H G (cid:0) (cid:0)
Juste un point pour (cid:133)nir concernant le terme de projection canonique : si E est un ensemble non vide muni
d(cid:146)une relation d(cid:146)Øquivalence pour laquelle on note x la classe d(cid:146)un ØlØment x de E, l(cid:146)application
(cid:24)
E E(cid:30)
(cid:25) : x (cid:0)! x(cid:24)
(cid:26) 7(cid:0)!
est usuellement appelØe projection canonique. Le terme projection (qui signi(cid:133)e surjection) vient du caractŁre
surjectif de (cid:25) (tout x a un antØcØdent x), et l(cid:146)adjectif canonique dØcoule de la dØ(cid:133)nition simplissime de (cid:25)
(comment dØ(cid:133)nir de maniŁre moins compliquØe une application de E dans le quotient E(cid:30) ?). Ici, l(cid:146)ensemble
E considØrØ est notre groupe G, et on quotiente par la relation de congruence modulo H. (cid:24)
2.2 Quotient d(cid:146)un anneau par un idØal
ConsidØrons un anneau (A;+; ), et I un sous-groupe de (A;+). Puisque (A;+) est abØlien, il est distinguØ
(cid:2)
dans A et on peut donc considØrer le groupe quotient
A(cid:30)I = a=a+I ; a A
f 2 g
muni de la loi a+b=a+b.
On aimerait rajouter une loi multiplicative de fa(cid:231)on (cid:224) ce que A(cid:30)I;+; devienne un anneau. Autant
(cid:2) (cid:2)
le faire sans se fatiguer, et poser a b = a b. Se pose (cid:224) nouveau le problŁme de l(cid:146)indØpendance de a b par
(cid:2) (cid:2) (cid:0) (cid:1) (cid:2)
rapport aux reprØsentants a et b. Cherchons les conditions que cela implique sur le sous-groupe I considØrØ.
a+i=a
Soit a quelconque dans A, i quelconque dans I. Puisque , on devrait avoir (a+i) 0=a i,
0=i (cid:2) (cid:2)
(cid:26)
i.e. ai=0=I, ou encore ai I, et de mŒme ia I. Ceci tenant pour tout i dans I, on doit donc avoir
2 2
aI I
a A, (cid:26) ,
8 2 Ia I
(cid:26) (cid:26)
que l(cid:146)on Øcrira de maniŁre plus concise
AI I
(cid:26) .
IA I
(cid:26) (cid:26)
Un tel sous-groupe stable par multiplication scalaire (cid:224) droite et (cid:224) gauche est appelØ idØal bilatŁre de A. On
parle Øgalement d(cid:146)idØal (cid:224) gauche si AI I, et d(cid:146)idØal (cid:224) droite si IA I. Un idØal bilatŁre est donc un idØal
(cid:26) (cid:26)
(cid:224) droite et (cid:224) gauche, i.e. un idØal des deux c(cid:244)tØs, d(cid:146)oø son nom. (cid:201)videmment, si l(cid:146)anneau A est commutatif,
les trois notions co(cid:239)ncident, et on parle alors d(cid:146)idØal tout court. Donnons immØdiatement une caractØrisation
"vectorielle" (ou "linØaire") des idØaux dans le cas oø A est commutatif (le plus frØquent).
Lemme.
Soit A un anneau commutatif et I une partie de A. Les deux propositions suivantes sont Øquivalentes :
I est un idØal de A;
(cid:15)
6
I contient 0 et est stable par combinaisons linØaires (cid:224) coe¢ cients dans A.
A
(cid:15)
DØmonstration.
SupposonsqueI soitunidØaldeA.(I;+)estdoncunsous-groupede(A;+),doncilcontient0 .Deplus,
A
(cid:15)
pour i;j dans I et a;b dans A, par dØ(cid:133)nition d(cid:146)un idØal, ai et bj sont dans I, donc leur somme aussi (puisque
I est stable par +), donc I est stable par combinaisons linØaires.
SupposonsqueI contienne0 etsoitstableparcombinaisonslinØaires.Pourtouti;j deI,lescombinaisons
A
(cid:15)
linØraires i+j et i restent donc dans I, donc I est stable par + et par passage (cid:224) l(cid:146)opposØ, donc (I;+) est un
(cid:0)
groupe. De plus, pour tout a dans A, la combinaison linØaire ai reste dans I. Il en rØsulte que I est un idØal.
Remarquer que cette caractØrisation vectorielle des idØaux reste valable si A n(cid:146)est plus supposØ commutatif,
(cid:224) condition de remplacer "idØal" par "idØal (cid:224) droite" et "combinaisons linØaires" par "combinaisons linØaires (cid:224)
droite" (idem (cid:224) gauche, bien sßr).
Attention (cid:224) ne surtout pas dire qu(cid:146)un idØal (bilatŁre, (cid:224) gauche, ou (cid:224) droite) contient le neutre multiplicatif
1 . D(cid:146)une part il faudrait dØj(cid:224) que l(cid:146)anneau A soit unitaire pour avoir l(cid:146)existence de 1 , d(cid:146)autre part un idØal
A A
contenant 1 contient tous les combinaisons linØaires a1 ou 1 a pour a dans A et donc vaut A tout entier.
A A A
En rØsumØ, si I est un idØal (bilatŁre, (cid:224) gauche, ou (cid:224) droite) de A unitaire :
1 I I =A.
A
2 ()
VØri(cid:133)ons maintenant que la condition I idØal bilatŁre de A su¢ t (cid:224) dØ(cid:133)nir une loi multiplicative sur A(cid:30)I
(cid:2)
a a a a=i I
vØri(cid:133)ant a b=a b. Pour (cid:17) 0 , i.e. 0(cid:0) a 2 , on a
(cid:2) (cid:2) b b0 b0 b=ib I
(cid:26) (cid:17) (cid:26) (cid:0) 2
ab =ab +I =(a+i )(b+i )+I =ab+ ai + i b + i i +I =ab+I =ab, CQFD.
0 0 0 0 a b b a a b
I I I
2 2 2
|{z} |{z} |{z}
Il reste en(cid:133)n (cid:224) montrer la distributivitØ de sur + dans le quotient, mais ceci est immØdiat en passant tout
(cid:2)
sous la barre et en utilisant les propriØtØs de de l(cid:146)anneau de dØpart :
(cid:2)
a b+c =a b+c =a (b+c)=a b+a c=a b+a c.
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Conclusion gØnØrale.
Soit I un sous-groupe de (A;+). La loi quotient a b=a b sur A(cid:30)I est bien dØ(cid:133)nie si et seulement si I
(cid:2) (cid:2)
est un idØal bilatŁre de A et alors la projection canonique
(cid:25) : (A;+;(cid:2)) (cid:0)! A(cid:30)I;+;(cid:2)
a a=a+I
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:0) (cid:1)
est un morphisme d(cid:146)anneaux. Si de plus A est unitaire, alors A(cid:30)I est unitaire, et 1(A(cid:30)I) =1A.
2.3 Quotient d(cid:146)un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel
ConsidØrons un espace vectoriel (E;+; ) et F un sous-groupe de (E;+). F Øtant distinguØ dans le groupe
(cid:1)
abØlien (E;+), on peut considØrer le groupe quotient
E(cid:30)F = x=x+F ; x E
f 2 g
muni de la loi x+y =x+y.
Comme pour les anneaux, on aimerait rajouter une loi externe de fa(cid:231)on (cid:224) ce que E(cid:30)F;+; devienne
(cid:1) (cid:1)
un espace vectoriel. Autant le faire sans se fatiguer, et poser (cid:21) x = (cid:21) x. Se pose (cid:224) nouveau le problŁme de
(cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
l(cid:146)indØpendance de (cid:21) x par rapport au reprØsentant x de x.
(cid:1)
7
Si la dØ(cid:133)nition est correcte, on doit avoir pour tout f de F, pour tout scalaire (cid:21) :
f =f +F =F =0 = (cid:21)f =(cid:21)0 = (cid:21)f =(cid:21)0=0 = (cid:21)f F,
) ) ) 2
donc F doit Œtre stable par multiplication scalaire; comme F est dØj(cid:224) par hypothŁse stable par somme, il en
rØsulte que F doit Œtre un sous-espace vectoriel de E.
RØciproquement, on a bien que, pour F sous-espace vectoriel de E,
x=y = x y F = (cid:21)(x y) F = (cid:21)x (cid:21)y F = (cid:21)x=(cid:21)y,
) (cid:0) 2 ) (cid:0) 2 ) (cid:0) 2 )
et donc la loi (cid:21) x=(cid:21) x est bien dØ(cid:133)nie sur E(cid:30)F.
(cid:1) (cid:1)
Les vØri(cid:133)cations d(cid:146)usage que E(cid:30)F;+; est bien un espace vectoriel se font en passant tout sous la barre
(cid:1)
et en utilisant la structure d(cid:146)espace vectoriel de E; par exemple,
(cid:0) (cid:1)
(cid:21) (x+y)=(cid:21) (x+y)=(cid:21) (x+y)=(cid:21) x+(cid:21) y =(cid:21) x+(cid:21) y.
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
En dimension (cid:133)nie, on peut dire des choses concernant la dimension du quotient. On rappelle que si E est
de dimension (cid:133)nie n, la codimension de F est dØ(cid:133)nie par codimF =n dimF.
(cid:0)
PropriØtØ.
Soit E un espace vectoriel de dimension (cid:133)nie, F un sous-espace vectoriel de E. On a alors :
dim E(cid:30)F =codimF.
(cid:0) (cid:1)
DØmonstration.
Soit (e ;:::;e ) une base de F, que l(cid:146)on complŁte en (e ;:::;e ;e ;:::;e ) base de E. Alors (e ;:::;e ) est
1 p 1 p p+1 n p+1 n
une base de E(cid:30)F. En e⁄et, elle est libre car
n n n
(cid:21) e =0 = (cid:21) e =0 = (cid:21) e F = ((cid:21) )=(0)
i i i i i i i
) ) 2 )
i=p+1 i=p+1 i=p+1
X X X
parlibertØdelabase(e1;:::;en)etelleestgØnØratricecar,pourx E(cid:30)F,xsedØcomposesurlabase(e1;:::;en)
en x= n (cid:21) e , d(cid:146)oø 2
i=1 i i
P n p n n
x= (cid:21) e = (cid:21) e + (cid:21) e =0+ (cid:21) e Vect(e ;:::;e ).
i i i i i i i i p+1 n
2
i=1 i=1 i=p+1 i=p+1
X X X X
F
2
| {z }
Petit complØment.
DanslecasoøE estnormØ,onpeuttransporterlastructured(cid:146)espacevectorielnormØdanslequotientE(cid:30)F,
sous rØserve que le sous-espace vectoriel F par lequel on quotiente soit fermØ. Le cararactŁre complet passe
alors Øgalement au quotient au sens de la proposition suivante.
Proposition.
Soit E un espace vectoriel normØ, F un sous-espace vectoriel fermØ de E. On peut dØ(cid:133)nir une norme
k(cid:1)k
sur E(cid:30)F par
x =d(x;F)= inf x f .
k k f Fk (cid:0) k
2
De plus, si E est complet, alors le quotient E(cid:30)F est complet pour la norme sus-dØcrite.
DØmonstration.
Tout d(cid:146)abord, x = d(x;F) est bien dØ(cid:133)nie : deux reprØsentants x et y d(cid:146)une mŒme classe di⁄Ørant d(cid:146)un
k k
f F, ils vØri(cid:133)ent
2
d(y;F)=d(y;F +f)=d(x+f;F +f)=d(x;F).
8
VØri(cid:133)ons ensuite les trois propriØtØs d(cid:146)une norme :
x =0 = d(x;F)=0 = x F car F est fermØ.
(cid:15) k k ) ) 2
(cid:21)x = (cid:21)x = d((cid:21)x;F) = d((cid:21)x;(cid:21)F) = (cid:21) d(x;F) car F est un sous-espace vectoriel (traiter (cid:224) part le
(cid:15) k k j j
cas (cid:21)=0).
(cid:13) (cid:13)
Pourl(cid:146)in(cid:13)Øgal(cid:13)itØtriangulaire,onvaŒtreunpeuplus(cid:133)n.Soitxety dansE et">0.Onprenddesvecteurs
(cid:15)
x f d(x;F)+"
f et g dans F tels que k (cid:0) k(cid:20) , et on en dØduit
y g d(y;F)+"
(cid:26) k (cid:0) k(cid:20)
x+y = d(x+y;F) (x+y) (f +g) x f + y g
k k (cid:20)k (cid:0) k(cid:20)k (cid:0) k k (cid:0) k
= d(x;F)+"+d(y;F)+"= x + y +2",
k k k k
d(cid:146)oø le rØsultat en faisant tendre " vers 0.
SupposonsmaintenantE completetsoit(xn)unesuitedeCauchydeE(cid:30)F.Onadoncque,pourtoutn N,
2
il existe un rang ’(n) tel que
1
p;q ’(n) = x x .
(cid:21) ) k p(cid:0) qk(cid:20) 2n
Remarquer que l(cid:146)on peut toujours imposer ’ strictement croissante, quitte (cid:224) remplacer ’ par ’ dØ(cid:133)nie par
0
’ (n+1)=max ’(n+1);’ (n)+1 .
0 0
f g
On en dØduit x x 1 pour tout n, i.e.
’(n+1)(cid:0) ’(n) (cid:20) 2n
(cid:13) (cid:13) 1
(cid:13) (cid:13) inf x x f .
f F ’(n+1)(cid:0) ’(n) (cid:0) (cid:20) 2n
2
(cid:13)(cid:0) (cid:1) (cid:13)
Soit maintenant f F tel que cet in(cid:133)(cid:13)mum soit atteint (cid:224) moi(cid:13)ns de 1 , ce a(cid:133)n d(cid:146)avoir
n 2 2n
1 1 1 1
x x f x x + + = ,
’(n+1)(cid:0) ’(n) (cid:0) n (cid:20) ’(n+1)(cid:0) ’(n) 2n (cid:20) 2n 2n 2n 1
(cid:0)
(cid:13)(cid:0) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
et posons (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
n 1
(cid:0)
y =x + f ,
n ’(n) i
i=0
X
de fa(cid:231)on (cid:224) ce que la sØrie (y y ) soit absolument convergente : en e⁄et,
n+1 n
(cid:0)
P n n 1
(cid:0)
y y = x + f x + f
n+1 n ’(n+1) i ’(n) i
k (cid:0) k (cid:13) (cid:0) !(cid:13)
nX(cid:21)0 nX(cid:21)0(cid:13)(cid:13) Xi=0 Xi=01 (cid:13)(cid:13)
(cid:13) (cid:13)
= (cid:13)x’(n+1)(cid:0)x’(n)(cid:0)fn (cid:20) 2n 1 <(cid:13)1,
n 0 n 0 (cid:0)
X(cid:21) (cid:13) (cid:13) X(cid:21)
(cid:13) (cid:13)
et donc la sØrie (y y ) converge simplement par complØtude de E, i.e. y converge dans E vers un
n+1 n n
(cid:0)
certain vecteur a. On en dØduit
P
n 1
(cid:0)
x a = x a = inf x a f x a f = y a
’(n) ’(n) ’(n) ’(n) i n
(cid:0) (cid:0) f F (cid:0) (cid:0) (cid:20)(cid:13) (cid:0) (cid:0) (cid:13) k (cid:0) k
qui tend ve(cid:13)(cid:13)rs 0, i.e. x(cid:13)(cid:13)’(n)(cid:13)(cid:13)converge d(cid:13)(cid:13)ans E2(cid:30)(cid:13)(cid:13)F(cid:0)vers a. O(cid:1)n a tr(cid:13)(cid:13)ouvØ(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:0)une valeur(cid:1)d(cid:146)aXid=h0Øre(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)nce a (cid:224) la suite (xn), et
comme (x ) est de Cauchy, elle converge vers cette valeur d(cid:146)adhØrence.
n
Conclusion gØnØrale.
Soit F un sous-groupe de (E;+). La loi quotient (cid:21) x=(cid:21) x sur E(cid:30)F est bien dØ(cid:133)nie si et seulement si F
(cid:1) (cid:1)
est un sous-espace vectoriel de E et alors la projection canonique
(cid:25) : (E;+;(cid:1)) (cid:0)! E(cid:30)F;+;(cid:1)
x x=x+F
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:0) (cid:1)
est une application linØaire. Si de plus E est de dimension (cid:133)nie, alors
dim E(cid:30)F =codimF.
(cid:0) (cid:1)
9
Conclusion complØmentaire.
Si E est normØ par et si F est un sous-espace vectoriel fermØ de E, alors E(cid:30)F est normØ pour
k(cid:1)k
x = d(x;F) = inff F x f . Si de surcro(cid:238)t E est un Banach, alors E(cid:30)F est un Banach pour la norme
cki-kdessus. 2 k (cid:0) k
2.4 Quotient d(cid:146)une algŁbre unitaire par un idØal
ConsidØrons une algŁbre (A;+; ; ) unitaire et I un sous-groupe de (A;+). On peut considØrer le quotient
(cid:2) (cid:1)
A(cid:30)I = a=a+I ; a A
f 2 g
muni de la loi a+b=a+b.
On aimerait rajouter une loi et une loi de sorte que A(cid:30)I soit une algŁbre avec les lois agrØables
(cid:2) (cid:1)
(cid:21) a=(cid:21) a
(cid:1) (cid:1) .
a b=ab
(cid:26) (cid:2)
A(cid:30)I devra en particulier Œtre un anneau pour la loi quotient , donc I devra Œtre un idØal bilatŁre de A.
(cid:2)
L(cid:146)algŁbre A Øtant unitaire, tout idØal est stable par multiplication scalaire en vertu de l(cid:146)identitØ :
(cid:21) i=((cid:21) 1) i.
(cid:1) (cid:1) (cid:2)
Ainsi,enutilisantlesrØsultatsdesdeuxparagraphesquiprØcŁdent,onpeutconclure,lespropriØtØsd(cid:146)unealgŁbre
s(cid:146)obtenant en passant tout sous la barre.
Conclusion gØnØrale.
(cid:21) a=(cid:21) a
Soit I unsous-groupede (A;+).Lesloisquotients a(cid:1) b=a(cid:1)b sur A(cid:30)I sontbiendØ(cid:133)niessietseulement
(cid:26) (cid:2)
si I est un idØal de A et alors la projection canonique
(cid:25) : (A;+;(cid:2);(cid:1)) (cid:0)! A(cid:30)I;+;(cid:2);(cid:1)
a a=a+I
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:0) (cid:1)
est un morphisme d(cid:146)algŁbres.
3 Factorisation canonique des morphismes, thØorŁmes d(cid:146)isomorphismes
3.1 Factorisation canonique d(cid:146)une application quelconque
Soitf uneapplicationd(cid:146)unensembleE nonvidedansunensembleF nonvide,cequel(cid:146)onnoteusuellement
E F
f : (cid:0)! .
x f(x)
(cid:26) 7(cid:0)!
GØnØralement, f n(cid:146)a aucune raison d(cid:146)Œtre injective, surjective, a fortiori bijective.
Observer que l(cid:146)on peut toujours la "rendre" surjective en considØrant l(cid:146)application
E Imf
f0 : x (cid:0)! f(x) .
(cid:26) 7(cid:0)!
On n(cid:146)a modi(cid:133)Ø en rien la fa(cid:231)on dont f agit sur E, on a juste changØ l(cid:146)ensemble d(cid:146)arrivØe.
Cependant, il est plus di¢ cile de rendre une application injective. L(cid:146)ennui est qu(cid:146)(cid:224) une image f(x) on
pourraittrouverdeuxantØcØdentsxety (oumŒmeplus)distincts.Lenombred(cid:146)antØcØdentsnousennuie?Qu(cid:146)(cid:224)
10
