Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la Finance

254 Pages·2012·13.02 MB·French

by  Damien Lamberton

INTRODUCTION
AU CALCUL
STOCHASTIQUE
,
APPLIQUE
'
A LA FINANCE

INTRODUCTION
AU CALCUL STOCHASTIQUE
APPLIQUÉ À LA FINANCE
Damien Lamberton Bernard Lapeyre
Université Paris-Est, Université Paris-Est,
Professeur à l'Université Paris-Est Professeur à l'École
Marne-la-Vallée, France des Ponts ParisTech, France
®
ISBN 978-2-7298-71987 DANGER
©Ellipses Édition Marketing S.A., 2012 PHOJOCOPlltAGE
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 TUE LE LIVRE
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5.2° et
3°a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé
du copiste et non destinées à une utilisation collective», et d'autre part, que les analyses
et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, «toute représentation ou
reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayants
droit ou ayants cause est illicite» (art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une
contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété
intellectuelle.
www.editions-ellipses.fr
Avant-propos
Les mathématiques financières se sont beaucoup développées depuis la première
édition de ce livre. Pour cette nouvelle édition, nous n'avons pas cherché à être ex
haustifs sur toutes les contributions récentes mais nous avons choisi quelques tech
niques ou concepts qui pouvaient être inclus sans exiger de longs développements
mathématiques. Ceci a été fait, en partie, par l'addition de nouveaux exercices. Les
principales modifications concernent :
- des compléments bibliographiques, en particulier sur les marchés incomplets
- des compléments sur les modèles discrets (approche de Rogers pour le
Théorème Fondamental de !'Evaluation des Actifs Financiers, sur-réplication
en marché incomplet, voir chapitre 1 exercices 1 et 2),
- la notion de volatilité locale et la formule de Dupire (voir chapitre 4),
- les techniques de changement de numéraire et de mesure "forward" (voir cha-
pitres 1 et 6),
- le modèle "forward LIBOR" (ou modèle BGM, voir chapitre 6),
- un nouveau chapitre sur la modélisation du risque de crédit,
- une extension du chapitre traitant de la simulation incluant des illustrations
numériques des techniques de couvertures, de réduction de variance, etc.
Nous souhaitons remercier, outre les personnes citées dans l'introduction, un cer
tain nombre de collègues dont les suggestions ont été utiles à cette nouvelle édition.
Nous sommes, tout particulièrement, reconnaissants à Marie-Claire Quenez, Benja
min Jourdain, Philip Protter, Marc Yor (qui nous a inspiré l'exercice 18 lié à une
erreur de la première édition) et, pour le chapitre sur le risque de crédit, à Monique
Jeanblanc et Rama Cont (dont les cours nous ont introduits à ce nouveau sujet) et à
Aurélien Alfonsi.
Nous remercions enfin les collègues qui nous ont signalé des erreurs et des co
quilles. Il en reste hélas sûrement et nous espérons que les lecteurs de cette nouvelle
édition voudront bien nous les signaler.

Table des matières
1 Modèles discrets 15
1.1 Le formalisme des modèles discrets 15
1.2 Martingales et arbitrages . . . . . . 18
1.3 Marchés complets et évaluation des options 23
1.4 Problème corrigé : le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 27
1.5 Exercices ........................ . 32
2 Problème d'arrêt optimal et options américaines 37
2.1 Notion de temps d'arrêt ...... . 37
2.2 Enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Décomposition des sur-martingales . . . . 41
2.4 Enveloppe de Snell et chaînes de Markov 42
2.5 Application aux options américaines 43
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques 49
3.1 Généralités sur les processus à temps continu 50
3.2 Le mouvement brownien . . . . . . 51
3.3 Martingales à temps continu . . . . . 52
3.4 Intégrale stochastique et calcul d'Itô . 55
3.5 Équations différentielles stochastiques 69
3.6 Exercices ..... . 77
4 Modèle de Black-Scholes 83
4.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Changement de probabilité. Théorème de représentation des martin-
gales ................................. . 86
4.3 Évaluation et couverture des options dans le modèle de Black-Scholes 88
4.4 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Volatilité implicite et modèles à volatilité locale . . . . . . . . 97
4.6 Modèle de Black-Scholes avec dividendes et symétrie call/put 99
4.7 Exercices 100
4.8 Problèmes . . . . . . . . . . 103
7
8 Table des matières
5 Évaluation des options et équations aux dérivées partielles 119
5 .1 Calculs de prix d'options européennes pour les modèles de diffusion 120
5.2 Résolution numérique des équations paraboliques 128
5.3 Les options américaines . 134
5.4 Exercices . . . . . . 141
6 Modèles de taux d'intérêt 145
6.1 Principes de la modélisation 145
6.2 Quelques modèles classiques 154
6.3 Exercices . . . . . . . 165
7 Modèles d'actifs avec sauts 169
7.l Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2 Évolutiondel'actifrisqué . . . . . . . . . . . . . 171
7 .3 Martingales dans un modèle de diffusion avec sauts 173
7.4 Évaluation des options dans un modèle de diffusion avec sauts 178
7 .5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8 Modèles de risque de crédit 191
8.l Modèles structurels 191
8.2 Modèles à intensité 192
8.3 Copules . 198
8.4 Exercices . . . . . 201
9 Simulation et algorithmes pour les modèles financiers 203
9. l Simulation et modèles financiers . . . . . . . . . . 203
9.2 Introduction aux méthodes de réduction de variance . 211
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . 221
9.4 Expérimentations informatiques 222
Appendice 233
A.1 Variables aléatoires gaussiennes 233
A.2 Espérance conditionnelle . . . . 235
A.3 Théorème de séparation des convexes 239
Bibliographie 241
Index 249
Introduction
Le but de ce livre est de fournir une introduction aux techniques probabi
listes nécessaires à la compréhension des modèles financiers les plus courants.
Les spécialistes de la finance ont en effet recours, depuis des années, à des outils
mathématiques de plus en plus sophistiqués (martingales, intégrale stochastique,. .. )
pour la description de phénomènes et la mise au point de méthodes de calcul.
En réalité, l'intervention du calcul des probabilités en modélisation financière
n'est pas récente : c'est en tentant de bâtir une "théorie de la spéculation" que Ba
chelier ( 1900) a découvert, au début du siècle dernier, !'objet mathématique appelé
aujourd'hui "mouvement brownien". Mais elle a pris une dimension nouvelle à par
tir de 1973, avec les travaux de Black-Scholes et Merton (Black et Scholes (1973),
Merton (1973)) sur l'évaluation (pricing en anglais) et la couverture (hedging) des
options. Depuis, tandis que se développaient les marchés d'options, les méthodes de
Black, Scholes et Merton ont été perfectionnées, tant au niveau de la généralité que
de la clarté et de la rigueur mathématique, et la théorie paraît suffisamment avancée
pour tenter de la rendre accessible à des étudiants.
Le problème des options
Notre exposé est principalement centré sur le problème des options, qui a été le
moteur de la théorie et reste 1' exemple le plus frappant de la pertinence des méthodes
de calcul stochastique en finance. Une option est un titre financier donnant à son
détenteur le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre (selon qu'il s'agit d'une
option d'achat ou de vente) une certaine quantité d'un actif financier à une date
convenue et à un prix fixé d'avance. La description précise d'une option se fait à
partir des éléments suivants :
- la nature de !'option : on parle, suivant la terminologie anglo-saxonne, de cal!
pour une option d'achat et de put pour une option de vente;
- !'actif sous-jacent, sur lequel porte !'option : dans la pratique, il peut s'agir
d'une action, d'une obligation, d'une devise etc.
- le montant, c'est-à-dire la quantité d'actif sous-jacent à acheter ou à vendre;
- l'échéance ou date d'expiration, qui limite la durée de vie de l'option : si
l'option peut être exercée à n'importe quel instant avant l'échéance, on parle
d'option américaine, si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, on parle
d'option européenne;
9
10 Introduction
- le prix d'exercice qui est le prix (fixé d'avance) auquel se fait la transaction en
cas d'exercice de l'option.
L'option elle-même a un prix, appelé prime. Lorsque l'option est cotée sur un marché
organisé, la prime est donnée par le marché. En l'absence de cotation, le problème
du calcul de la prime se pose. Et, même pour une option cotée, il peut être intéressant
de disposer d'une formule ou d'un modèle permettant de détecter d'éventuelles ano
malies de marché.
Examinons, pour fixer les idées, le cas d'un call européen, d'échéance T, sur une
action dont le cours à la date test donné par St. Soit K le prix d'exercice. Il est clair
que si, à l'échéance T, le prix K est supérieur au cours Sr, le détenteur de l'option
n'a pas intérêt à exercer. En revanche, si Sr > K, l'exercice de l'option permet à
son détenteur de faire un profit égal à Sr - K en achetant l'action au prix K et en la
revendant sur le marché au cours Sr. On voit qu'à l'échéance, la valeur du call est
donnée par la quantité
(Sr - K)+ =max( Sr - K, 0).
Pour le vendeur de l'option, il s'agit, en cas d'exercice, d'être en mesure de fournir
une action au prix K, et, par conséquent, de pouvoir produire à l'échéance une ri
chesse égale à (Sr - K)+· Au moment de la vente de l'option, que nous prendrons
comme origine des temps, le cours Sr est inconnu et deux questions se posent :
1. Combien faut-il faire payer à l'acheteur de l'option, autrement dit comment
évaluer à l'instant t = 0 une richesse (Sr - K)+ disponible à la date T? c'est
le problème du pricing.
2. Comment le vendeur, qui touche la prime à l'instant 0 parviendra-t-il à pro
duire la richesse (Sr - K)+ à la date T? C'est le problème de la couverture.
La notion d'arbitrage et la relation de parité call-put
La réponse aux deux questions qui précèdent ne peut se faire qu'à partir d'un
minimum d'hypothèses de modélisation. L'hypothèse de base, retenue dans tous les
modèles, est que, dans un marché suffisamment fluide, il n'y a pas d'opportunité
d'arbitrage, c'est-à-dire qu'il est impossible de faire des profits sans prendre des
risques. Nous traduirons cette hypothèse en termes mathématiques dans le chapitre 1.
Pour l'instant, nous nous contenterons de montrer comment, à partir de cette simple
hypothèse, on peut établir des relations entre les prix d'un call et d'un put européen
de même échéance Tet de même prix d'exercice K, sur une action de cours St à
l'instant t. Nous supposerons qu'il est possible d'emprunter ou de placer de l'argent
à un taux constant r.
Désignons par Ct et Pt les prix respectifs du call et du put à l'instant t. En
l'absence d'opportunité d'arbitrage, on a la relation suivante, valable à tout instant
t < Tet appelée "relation de parité call-put",