Introduction à la théorie de Galois

167 Pages·2012·2.97 MB·French

by  David Hernàndez

David Hernandez et Yves Laszlo
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INTRODUCTION A LA THEORIE
DE GALOIS
David Hernandez et Yves Laszlo
David Hernandez : Universit´e Paris-Diderot, D´epartement de Math´ematiques,
175, rue du Chevaleret 75013 Paris, France.
E-mail : [email protected]
Yves Laszlo : Universit´e Paris-Sud, D´epartement de Math´ematiques,
91405 Orsay Cedex, France.
E-mail : [email protected]
12 f´evrier 2012
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INTRODUCTION A LA THEORIE DE GALOIS
David Hernandez et Yves Laszlo

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La th´eorie de Galois est n´ee au XIX `eme si`ecle pour ´etudier l’existence de formules pour
les solutions d’une ´equation polynomiale (en fonction des coefficients de l’´equation). Cette
th´eorie, `a la fois puissante et ´el´egante, fut `a l’origine d’un pan entier de l’alg`ebre moderne,
et a depuis connu un d´eveloppement consid´erable. Elle demeure un sujet de recherche
extrˆemement actif.
L’objet de ce cours est dans un premier temps d’introduire les bases et outils d’alg`ebre
g´en´erale (groupes, anneaux, alg`ebres, quotients, extensions de corps...) qui permettront
dans un deuxi`eme temps de d´evelopper la th´eorie de Galois, ainsi que certaines de ses
applications les plus remarquables.
Au del`a de l’int´erˆet propre du sujet, le cours se veut ˆetre une bonne introduction `a l’alg`ebre
et `a ses diverses applications, tant en math´ematiques que dans d’autres disciplines (infor-
matique avec les corps finis, physique ou chimie avec la th´eorie des groupes par exemple).
Ainsi, aucun pr´erequis n’est n´ecessaire.
Galois theory appeared in the XIXth century to study the existence of formulas for solu-
tions of polynomial equations (in terms of the coefficients of the equation). This extremely
powerful and efficient theory gave birth to an extensive part of modern algebra theory.
Nowadays it is a very active research area.
We will first introduce basics of Algebra (groups, rings, algebras, quotients, field exten-
sions...) so that we can explain and prove fundamental results of Galois theory, as well as
some of its most striking applications.
Beyond the importance of the subject, the course is a good introduction to Algebra and its
applications in various domains, certainly in mathematics, but also in Computer Science
(finite fields), Physics or Chemistry (group theory) for instance.
No prerequisite is necessary.
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Fig. 1. E´variste Galois
Dans la nuit du 29 Mai 1832 , E´variste Galois(1) sait sa mort proche. Il ´ecrit une lettre-
testament(2) adress´ee `a son ami Auguste Chevalier dont voici un fac-simil´e.
(1)1811-1832
(2)Voir [Ga].
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Voici la transcription de la fin. [...]Je me suis souvent hasard´e dans ma vie `a avancer
des propositions dont je n’´etais pas suˆr. Mais tout ce que j’ai ´ecrit l`a est depuis bientˆot
un an dans ma tˆete, et il est trop de mon int´erˆet de ne pas me tromper pour qu’on me
soup¸conne d’avoir ´enonc´e des th´eor`emes dont je n’aurais pas la d´emonstration compl`ete.
Tu prieras publiquement Jacobi et Gauss de donner leur avis, non sur la v´erit´e, mais sur
l’importance des th´eor`emes. Je t’embrasse avec effusion.
Le premier feuillet de la lettre pr´ecit´ee commence comme suit. Mˆeme si le style paraˆıt
un peu abscons, le lecteur reconnaˆıtra d’abord la d´efinition d’un sous-groupe distingu´e
(1.2.1) puis le th´eor`eme de r´esolubilit´e 7.4.2 des ´equations alg´ebriques.
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