Table Of Content2A ediçÀo
revista c ampliada
Introdução à Teoria de Grupos
aplicada em moléculas e sólidos
Adalberto Fazzio
Kazunori VVátari
editoraufsm
O propósito desta obra é introduzir Teoria de
Grupos a estudantes interessados em Física
Molecular e Física da Matéria Condensada, assim
como guiá-los até um nível adequado que os
tornem aptos a entender a grande variedade de
suas aplicações na natureza, particularmente, em
sólidos e moléculas.
Trata-se de um texto completo, conjugando o
tratamento simples (quando possível) da
complexidade inerente ao tema à necessidade de
preparar adequadamente os estudantes de nosso
tempo às inúmeras aplicações da Teoria de
Grupos. A leitura atenta permite ao estudante
seguir em frente ao que é proposto pelo livro,
construindo suas próprias aplicações de Teoria de
Grupos em outras áreas do conhecimento.
Este livro é resultado de uma larga experiência
dos professores Adalberto Fazzio e Kazunori
Watari, tanto na utilização de Teoria de Grupos
na pesquisa científica em Física de Materiais,
quanto nas disciplinas por eles ministradas na
graduação e na pós-graduação do Instituto de
Física da Universidade de São Paulo. Os autores
foram extremamente felizesp or desenvolver um
texto muito bem fundamentado do ponto de
vista teórico, associando as aplicações da Teoria
de Grupos a problemas de interesse geral em
Física, Química e Matemática.
Enquanto produto final,o btém-se um raro
instrumento, capaz de propiciar aos estudantes,
de graduação e pós-graduação, de Física
Molecular, Física do Estado Sólido, Nanociências
e Ciência dos Materiais, um domínio seguro das
técnicas matemáticas de Teoria de Grupos,
habilidade fundamental em qualquer pesquisador
ou iniciante na área de Ciências Exatas e Naturais.
O presente livro,p ortanto, preenche uma
importante lacuna no ensino de Teoria de Grupos
aplicada, sem similar na língua portuguesa, e, no
que tange à sua particular apresentação e
aplicações sugeridas, em qualquer outro idioma.
A excelente recepção da primeira edição deste
livro, dez anos atrás, justificava uma reedição.
Para a UFSM,t rata-se de um privilégio poder
reeditar esta obra, à qual foi acrescentado um
novo capítulo e reestruturados outros.
Acrescentando a seu acervo esta nova edição, a
Editora da UFSMr eitera seu compromisso com a
publicação de textos que agregam rigor científico
e qualidade à produção acadêmica atual.
RonaldoM ota
2a edição
revista e ampliada
Introdução à Teoria de Grupos
aplicada em moléculas e sólidos
Adalberto Fazzio
Kazunori Watari
editoraufsm
Santa Maria, 2009
FEDERAL DE SANTA MARIA
UNIVERSIDADE
Clovis Silva Lima
Reitor
Felipe Martins Miiller
Vicc-Reitor
Honório Rosa Nascimento
Diretor da Editora
Bernardo Sayáo Penna e Souza
Conselho Editorial
Daniela Lopes dos Santos
Eduardo Furtado Flores
Honório Rosa Nascimento
Leandro Cantorski da Rosa
Marcos Martins Neto
Maristela Bürger Rodrigues
Reinoldo Marquezan
Ronai Pires da Rocha
Silvia Carneiro Lobato Paraense
Maristela Bürger Rodrigues
Coordenação editorial
Maristela Bürger Rodrigues
Análise e revisão do texto
Carolina Isabel Gehlen
Capa
Kazunori Watari
Projeto gráfico
F287i Fazzio, Adalberto
Introdução à teoria de grupos aplicada em
moléculas e sólidos / Adalberto Fazzio, Kazunori
Watari. —2 . ed.. —S anta Maria : Ed. da UFSM, 2009.
298 p. : ii. ; 16x23 cm.
1. Teoria dos grupos 2. Álgebra 3. Mecânica
quântica 4. Ciência dos materiais 5. Física dos
materiais 6. Física molecular 7. Física do estado
sólido I. Watari, Kazumori II. Título.
ISBN 978.85.7391.111-4
CDU: 512.54
530.145
538.9
ficha catalográficae laborada por Maristela Eckhardt CRB-10/737
Biblioteca Central - UFSM
Direitos reservados à
Editora da Universidade Federal de Santa Maria
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Camobi - 97119-900- Santa Maria - RS
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www.ufsm.br/editora
Sumário
Prefácio da Segunda Edição 13
Prefácio 15
1 Definições e Teoremas 17
1.1 Conjuntos e Operações . . . . . . . . 17
1.2 Aplicações. . . . . . . . . . . . . . . '25
1.2.1 Tipos de Aplicação Regular 27
2 Grupo 29
2.1 Grupo Abstrato. . . . . . . . 29
2.1.1 Exemplos de Grupos . 31
2.1.2 Tabela de Multiplicação 32
2.1.3 Grupos Cíclicos . . . 33
2.1.4 Propriedades dos Grupos Finitos . 34
2.2 Subgrupos . 35
2.3 Elementos Conjugados e Classes 37
3 Simetria e Grupos de Simetria 41
3.1 Operações de Simetria . 41
3.2 Planos de Simetria e Reflexões 42
44
3.3 Centro de Inversão
3.4 Eixos Próprios e Rotações Próprias . . . . . . . . . .
3.5 Eixos Impróprios e Rotações Impróprias . 48
3.6 Relações Gerais entre Operações e Elementos de Simetria 51
3.7 Grupos Pontuais Cristalográficos . 53
3.7.1 Grupos Pontuais .
3.7.2 Grupo das Moléculasd e Alta Simetria . 58
3.7.3 Sistemas Cristalinos 60
3.8 Procedimento Sistemático para Classificar as Moléculas 60
3.9 Exemplos Ilustrativos 62
Introduçño h Toorin do Grupos
6
4 Grupos e suas Representações 65
4.1 Conceitos Básicos de Álgebra Linear 65
4.1.1 Definições Básicas 66
4.1.2 Operadores Lineares . 70
4.2 Operadores Lineares e Matrizes . 71
4.3 Representaçãod e um Grupo . 75
4.4 Redutibilidade de uma Representação 78
4.5 Teoremas Fundamentais . 81
4.6 Caracteres de uma Representação . 87
4.7 O Produto Direto . . . . . . 91
4.8 Decomposição de uma Representação . 95
5 Tabela de Caracteres 99
5.1 Construção de uma Tabela de Caracteres 99
5.2 Estrutura das Tabelas de Caracteres . 106
5.3 Tabela de Caracteres de um Grupo Cíclico . . . . . 108
5.4 As Tabelas de Caracteres . 111
6 O grupo da Equação de Schrõdinger: Sistemas Eletrônicos 123
6.1 0 Grupo da Equação de Schrõdinger . . 124
6.2 Gerador de Funções de Base . 131
6.3 Desdobramentod e Níveis Atómicos em Um Campo Cristalino 141
6.4 Fatoração da Equação Secular . 147
6.5 Simetria das Ligações Covalentes . 154
6.6 Fatoração de uma Matriz Secular 158
7 Moléculas Lineares
161
7.1 Grupo Contínuo 161
7.2 Grupo de Simetria Axial
168
7.2.1 0 Grupo Coov . 171
7.2.2 0 Grupo L).oh .
187
7.3 Complemento Matemático . . 195
8 Estados Multieletrônicos 197
8.1 Estados de Multipletos . . 197
8.2 Teoria do Campo Ligante . 205
8.3 Efeito Jahn-Te11er. . 213
9 Regras de Seleção e Simetria 217
9.1 Regras de Seleção . . 217
9.1.1 Excitações Eletrônicas . 220
9.2 Simetrias em MovimentosV ibracionais e Rotacionais . . . . . 222
9.3 Espectro Infravermelho . 227
Sumário 7
9.4 Espectro Raman
229
10 Propriedades de Simetria em Sistemas Cristalinos 231
10.1 Energias Potenciais Periódicas . . 232
10.2 Grupo Espacial . 233
10.2.1 Subgrupo do Grupo Espacial 234
10.3 Grupo de Th•anslaçôese o Teorema de Bloch 237
10.4 Rede Recíproca e Zona de Brillouin . . '238
10.5 Condição de Contorno Cíclico . 240
10.6 Grupo de Ponto . .
241
10.7Classificaçãdoo s EstadosE letrônicos. . . . . . . 242
10.8 Exemplos de Primeira Zona de Brillouin . 243
10.9 Método da Expansão em Ondas Planas . 247
10.1(Estrutura "Zinc Blende" como Exemplo . 258
10.11Simetrização de Função de Onda no Método "Tight Binding" 265
10.11.1 Grafeno . 268
10.11.2D istorção de Peierls 272
11 Exercícios 275
11.1 Exercícios do Capítulo 1 . 275
11.2 Exercícios do Capítulo 2 276
11.3 Exercícios do Capítulo 3 278
11.4 Exercícios do Capítulo 4 279
11.5 Exercícios do Capítulo 5 282
11.6 Exercícios do Capítulo 6 283
11.7 Exercícios do Capítulo 7 . 284
11.8 Exercícios do Capítulo 8 . 286
11.9 Exercícios do Capítulo 9 286
11.10Exercícios do Capítulo 10 287
Bibliografia 291
índice
293
Prefácio da Segunda
Edição
Nesta segunda edição, um novo capítulo, que trata da simetria axial
em moléculas lineares (capítulo 7, "Moléculas Lineares"), foi incluído para
completar o tema que, em geral, os livros didáticos existentes tratam ou
de forma muito superficial ou apresentam uma formulação demasiadamente
complexa que fogem dos objetivos de um curso introdutório. Os professores
que adotaram este livro, para ministrarem curso de Teoria de Grupos, sen-
tiram também a necessidade de incluir este assunto, de forma que grupos
contínuos fossem mais explorados. Além disso, pequenas inclusões foram
feitas no capítulo que trata da simetria translacional, como, por exemplo,
aplicações utilizando o método "Tight-Binding".
Agradecemos aos editores, aos professores e aos muitos alunos pelos in-
centivos para trabalhar nesta segunda edição. Gostaríamos de registrar
também a nossa imensa satisfação ao receber o convite da Editora para a
publicação de uma nova edição.
K. Watari
A. Fazzio
Universidade de São Paulo
Instituto de Física
São Paulo, fevereiro de 2009.
Prefácio
Esta obra é dirigida primordialmente aos estudantes de graduação em
física, química e engenharia de materiais que tenham um conhecimento
de estrutura da matéria ou de mecânica quântica em nível elementar. A
intenção dos autores é que este seja o livro de primeira leitura em teoria de
grupos finitos aplicado aos problemas de ciência dos materiais.
Após ministrar esse curso diversas vezes para estudantes de pós-gradua-
cão do Instituto de Física da Universidade de São Paulo, sentimos a neces-
sidade de escrever um texto acessívelp ara aqueles que pretendem seguir a
carreira de pesquisador, tanto teórico como experimental, na área de Física
dos Nlateriais. Sabemos que existem excelentes livros textos sobre a Teo-
ria de Grupos dirigidos para áreas de Física Molecular e do Estado Sólido•
Entretanto, muitas vezes, as idéias ali apresentadas parecem desconectadas
das aplicações, por exigir do leitor conhecimentos mais avançados da Teoria
Quântica e de Matemática. Isso tem levado estudantes a criar uma aversão
ao estudo da teoria de grupos aplicada. Há também inúmeros livros textos
extremamente elementares sobre a teoria de grupos, deixando o estudante
com a ilusão de ter aprendido após a sua leitura. Contudo, no primeiro
momento em que necessitam desse conhecimento para aplicá-lo a seu pro-
blema específicod e pesquisa ou para entender um artigo científico sentem-se
frustrados, pois percebem o quão incompletos estão os seus conhecimentos
da matéria. Hoje em dia, trabalhos científicosn a área de materiais uti-
lizam conceitos técnicos e notações que integram a "linguagem" da teoria
do grupo. Mas esse vocabulário especializado,q ue parece ser complexo,
não faz parte do dia-a-dia de um estudante de graduação e de ingressantes
na pós-graduação. Nosso objetivo é, portanto, fornecer um conhecimento
básico de teoria de grupos aplicada, para que o aluno tenha os elementos
necessáriosp ara poder utilizá-la de forma independentee m seu campo de
trabalho.
Sempre que iniciávamos nossas aulas de teoria de grupo através de defi-
nições e teoremas matemáticos, os mais impacientes sempre perguntavam:
'*Para que serve isso?" ou "Onde iremos chegar?" Nós, então, dedicávamos
uma aula procurando mostrar sua relevância, em áreas de atuação como na
física,n a química, na biologia,n as artes plásticas, na literatura etc. Neste
Introdução h Teoria de Grupos
16
a leitura, o leitor
continuando
livro iniciamosc om definiçõese teoremas;
aplicada.
verá a beleza de uma matemática
Grosso modo, a obra pode ser dividida em duas partes. Nos capítulos 1
necessários para Urna
ao 5 , são apresentados conceitos básicos e teoremas
boa compreensão da teoria de grupos. Nos capítulos 6 ao 9 , encontram-se
algumas aplicações mais importantes.
O capítulo 1 fornece conceitos básicos e teoremas referentes à teoria dos
conjuntos e às estruturas algébricas modernas em nível elementar. Como a
teoria de grupos é uma parte da estrutura da álgebra moderna, as noções
selecionadas são muito úteis, principalmente nas abstrações. O capítulo 2
apresenta definiçõese conceitosd e grupo propriamente dito, do ponto de
vista puramente matemático. No capítulo 3 , são mostrados a associação
das operaçõesd e simetria de moléculasc om os elementos de grupo e o
procedimento sistemático para classificá-lo segundo as simetrias envolvidas.
O capítulo 4 , por sua vez, contém a teoria de representações, na qual os
conceitosd e redutibilidade e irredutibilidade são investigados. Teoremas
referentes a representações irredutíveis são apresentados e demonstrados. A
tabela de caracteres, em que os grupos são classificados, e as representações
irredutíveis de cada um deles é o assunto do capítulo 5 . Discute-se, ainda,
construção de uma tabela de caracteres baseada em teoremas estudados no
capítulo 4 , mostrando uma lista de tabelas de caracteres. Enfatizamos
neste ponto que os capítulos 4 e 5 constituem o cerne do aprendizado
das aplicaçõesd a teoria de grupos. O capítulo 6 é onde começam de fato
as aplicaçõesd a teoria de grupos em problemas da física. Examina-se a
conexãod a teoria de grupos com a mecânica quântica para se estudar os
estados eletrônicos de átomos, moléculas e aglomerados. O capítulo 7 ,
por seu turno, é dedicado à aplicação da teoria de grupos em sistemas
com estados multieletrônicos.J á a aplicação na determinação das regras
de seleção em excitaçõese letrônicas e vibracionais é discutida no capítulo
8. Finalmente, o sistema cristalino é objeto do capítulo 9 , enfatizando-se
noçõesb ásicas de cálculod e faixas de energia de um cristal com a aplicação
da teoria de grupo.
Os autores agradecem aos professorese aos alunos que fizeram leituras
críticas e inúmeras sugestões. Agradecemos também ao professor Luis Vidal
NegreirosG omes e à Editora da Universidade Federal de Santa Maria pela
cedência das figuras e a capa deste livro.
A. Fazzio
Universidade de São Paulo
K. Watari
Instituto de Física
São Paulo, fevereiro de 1998.
