Table Of ContentA Ina,Rachel, eAaron
·I N D I C E
Prefa·cioa(cid:30) PrimeiraEdic‚a(cid:152)o xi
Ao(A(cid:30))estudante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Ao(A(cid:30))educador(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Aprimeiraedic‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Realimentac‚a(cid:152)oparaoautor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
Prefa·cioa(cid:30) SegundaEdic‚a(cid:152)o xvii
0 Introduc‚a(cid:152)o 1
0.1 Auto(cid:136)matos,Computabilidade,eComplexidade . . . . . . . . . . 1
Teoriadacomplexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Teoriadacomputabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Teoriadosauto(cid:136)matos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Noc‚o(cid:152)eseTerminologiaMatema·ticas . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sequ¤e(cid:136)nciaseuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Func‚o(cid:152)eserelac‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cadeiaselinguagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Lo·gicabooleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Resumodostermosmatema·ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3 De(cid:2)nic‚o(cid:152)es,Teoremas,eProvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Encontrandoprovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.4 TiposdeProva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Provaporconstruc‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Provaporcontradic‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Provaporinduc‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
v
vi ·INDICE
Parte Um: Auto(cid:136)matos e Linguagens 31
1 LinguagensRegulares 33
1.1 Auto(cid:136)matosFinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Descric‚a(cid:152)oformaldeumauto(cid:136)mato(cid:2)nito . . . . . . . . . . . . . 37
Exemplosdeauto(cid:136)matos(cid:2)nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformaldecomputac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Projetandoauto(cid:136)matos(cid:2)nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Asoperac‚o(cid:152)esregulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2 Na(cid:152)o-determinismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformaldeumauto(cid:136)mato(cid:2)nitona(cid:152)o-determin·(cid:17)stico . . 57
Equivale(cid:136)nciadeAFNseAFDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Fechosobasoperac‚o(cid:152)esregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3 Expresso(cid:152)esRegulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformaldeumaexpressa(cid:152)oregular . . . . . . . . . . . 69
Equivale(cid:136)nciacomauto(cid:136)matos(cid:2)nitos . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.4 LinguagensNa(cid:152)o-regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Olemadobombeamentoparalinguagensregulares. . . . . . . 82
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 LinguagensLivres-do-Contexto 105
2.1 Grama·ticasLivres-do-Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformaldeumagrama·ticalivre-do-contexto . . . . . 108
Exemplosdegrama·ticaslivres-do-contexto . . . . . . . . . . . 109
Projetandograma·ticaslivres-do-contexto . . . . . . . . . . . . 110
Ambigu¤idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
FormanormaldeChomsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2 Auto(cid:136)matocomPilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformaldeumauto(cid:136)matocompilha . . . . . . . . . . 117
Exemplosdeauto(cid:136)matoscompilha . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Equivale(cid:136)nciacomgrama·ticaslivres-do-contexto. . . . . . . . . 121
2.3 LinguagensNa(cid:152)o-livres-do-contexto. . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Olemadobombeamentoparalinguagenslivres-do-contexto . 131
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Parte Dois: Teoria da Computabilidade 143
3 ATesedeChurch(cid:150)Turing 145
3.1 Ma·quinasdeTuring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformaldeumama·quinadeTuring . . . . . . . . . . 148
Exemplosdema·quinasdeTuring . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.2 VariantesdeMa·quinasdeTuring . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ma·quinasdeTuringmulti(cid:2)tas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ma·quinasdeTuringna(cid:152)o-determin·(cid:17)sticas . . . . . . . . . . . . . 159
Enumeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
·INDICE vii
Equivale(cid:136)nciacomoutrosmodelos . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.3 ADe(cid:2)nic‚a(cid:152)odeAlgoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
OsproblemasdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Terminologiaparadescreverma·quinasdeTuring . . . . . . . . 166
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 Decidibilidade 175
4.1 LinguagensDecid·(cid:17)veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Problemasdecid·(cid:17)veisconcernentesalinguagensregulares . . . 176
Problemas decid·(cid:17)veis concernentes a linguagens livres-do-
contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2 OProblemadaParada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Ome·tododadiagonalizac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Oproblemadaparadae· indecid·(cid:17)vel . . . . . . . . . . . . . . . 190
UmalinguagemTuring-irreconhec·(cid:17)vel . . . . . . . . . . . . . . 193
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5 Redutibilidade 199
5.1 ProblemasIndecid·(cid:17)veisdaTeoriadeLinguagens . . . . . . . . . . 200
Reduc‚o(cid:152)esviahisto·riasdecomputac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2 UmProblemaIndecid·(cid:17)velSimples . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3 RedutibilidadeporMapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Func‚o(cid:152)esComputa·veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
De(cid:2)nic‚a(cid:152)oformalderedutibilidadepormapeamento . . . . . . 220
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6 To·p.Avanc‚adosemTeoriadaComputabilidade 231
6.1 OTeoremadaRecursa(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Auto-refere(cid:136)ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Terminologiaparaoteoremadarecursa(cid:152)o . . . . . . . . . . . . 236
Aplicac‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2 Decidibilidadedeteoriaslo·gicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Umateoriadecid·(cid:17)vel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Umateoriaindecid·(cid:17)vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3 Turing-Redutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4 UmaDe(cid:2)nic‚a(cid:152)odeInformac‚a(cid:152)o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Descric‚o(cid:152)esdecomprimentom·(cid:17)inimo . . . . . . . . . . . . . . 250
Otimalidadedade(cid:2)nic‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Cadeiasincompress·(cid:17)veisealeatoriedade . . . . . . . . . . . . . 254
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Parte Tre(cid:136)s: Teoria da Complexidade 261
7 ComplexidadedeTempo 263
7.1 MedindoComplexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
viii ·INDICE
Notac‚a(cid:152)oO-grandeeo-pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Analisandoalgoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Relacionamentosdecomplexidadeentremodelos . . . . . . . . 270
7.2 AClasseP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Tempopolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
ExemplosdeproblemasemP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.3 AClasseNP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
ExemplosdeproblemasemNP. . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Aquesta(cid:152) PversusNP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.4 NP-completetude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Redutibilidadeemtempopolinomial . . . . . . . . . . . . . . . 290
De(cid:2)nic‚a(cid:152)odeNP-completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
OTeoremadeCook(cid:150)Levin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.5 ProblemasNP-completosAdicionais . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Oproblemadacoberturadeve·rtices . . . . . . . . . . . . . . . 302
Oproblemadocaminhohamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . 305
Oproblemadasomadesubconjuntos . . . . . . . . . . . . . . 312
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8 ComplexidadedeEspac‚o 323
8.1 TeoremadeSavitch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.2 AClassePSPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.3 PSPACE-completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
OproblemaTQBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Estrate·giasvencedorasparajogos . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Geogra(cid:2)ageneralizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.4 AsClassesLeNL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.5 NL-completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Buscaemgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.6 NLe· igualacoNL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9 Intratabilidade 357
9.1 TeoremasdeHierarquia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Completudedeespac‚oexponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.2 Relativizac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Limitesdome·tododadiagonalizac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . 373
9.3 ComplexidadedeCircuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10 To·p.Avanc‚adosemTeoriadaComplexidade 389
10.1 AlgoritmosdeAproximac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.2 AlgoritmosProbabil·(cid:17)sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
AclasseBPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Primalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Programasrami(cid:2)cantesle(cid:136)-uma-vez. . . . . . . . . . . . . . . . 400
·INDICE ix
10.3 Alternac‚a(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Tempoeespac‚oalternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
AhierarquiadetempoPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . 412
10.4 SistemasdeProvaInterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Na(cid:152)o-isomor(cid:2)smodegrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
De(cid:2)nic‚a(cid:152)odomodelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
IP=PSPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
10.5 Computac‚a(cid:152)oParalela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
Circuitosbooleanosuniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
AclasseNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
P-completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
10.6 Criptogra(cid:2)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Chavessecretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Criptossistemasdechave-pu·blica . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Func‚o(cid:152)esunidirecionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Func‚o(cid:152)esalc‚apa(cid:152)o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Exerc(cid:17)·cios,Problemas,eSoluc‚o(cid:152)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
Bibliogra(cid:2)aSelecionada 443
I·ndiceRemissivo 449
P R E F A· C I O A(cid:30)
P R I M E I R A E D I C‚ A(cid:152) O
AO(A(cid:30)) ESTUDANTE
Bem-vindo(a)!
Voce(cid:136)esta· prestesaembarcarnoestudodeumassuntofascinanteeimportante:a
teoriadacomputac‚a(cid:152)o.Elacompreendeaspropriedadesmatema·ticasfundamen-
taisdohardware,dosoftware,edasaplicac‚o(cid:152)esdecomputadores.Estudandoesse
assuntobuscamosdeterminaroquepodeeoquena(cid:152)opodesercomputado,qua(cid:152)o
rapidamente,comquantodememo·ria, esobrequetipodemodelocomputaci-
onal. Oassuntotem conexo(cid:152)es o·bviascomapra·ticadaengenharia, e,comoem
muitascie(cid:136)ncias,eletambe·mtemaspectospuramente(cid:2)loso·(cid:2)cos.
Seiquemuitosdevoce(cid:136)sesta(cid:152)oansiososparaestudarestematerialmasalguns
podena(cid:152)oestaraquiporsuapro·priaescolha. Voce(cid:136)podequererobterumgrauem
cie(cid:136)nciaouengenhariadacomputac‚a(cid:152)o,eumcursoemteoriae· requerido(cid:151)Deus
sabepor que. A(cid:2)nal de contas,teoria na(cid:152)o e· coisavelha, enjoada,e, pior ainda,
irrelevante?
Para ver que teoria na(cid:152)o e· nem coisa velha nem enjoada, mas ao contra·rio
bastantecompreens·(cid:17)veleate· interessante,continueleia. Cie(cid:136)nciadacomputac‚a(cid:152)o
teo·ricadefatotemmuitaside·iasgrandesefascinantes,maselatambe·mtemmui-
tos detalhes pequenos e a(cid:30)s vezes tediosos que podem ser cansativos. Aprender
qualquerassunto e· trabalho a·rduo, mas (cid:2)ca mais fa·cil e mais divertido se o as-
suntoe· devidamente apresentado. Meuobjetivoprincipalaoescreverestelivro
e· exporvoce(cid:136) aosaspectosgenuinamenteexcitantesdateoriadacomputac‚a(cid:152)o,sem
xi
xii PREFA·CIOA(cid:30) PRIMEIRAEDIC‚A(cid:152)O
se perder em detalhes cansativos. Claro que a u·nica maneira de determinar se
teorialheinteressae· tentaraprende(cid:136)-la.
Teoria e· relevante para a pra·tica. Ela prove(cid:136) ferramentas conceituais que os
praticantes usam em engenharia da computac‚a(cid:152)o. Projetar uma nova lingua-
gem de programac‚a(cid:152)o para uma aplicac‚a(cid:152)o especializada? O que voce(cid:136) aprendeu
sobre grama·ticas neste curso vem bem a calhar. Lidar com busca por cadeias
e casamento de padro(cid:152)es? Lembre-se de auto(cid:136)matos (cid:2)nitos e expresso(cid:152)es regulares.
Confrontadocomumproblemaqueparecerequerermaistempodecomputador
doquevoce(cid:136) podesuportar? Pense noquevoce(cid:136) aprendeu sobreNP-completude.
Va·riasa·reasdeaplicac‚a(cid:152)otaiscomoprotocoloscriptogra·(cid:2)cosmodernos,sesus-
tentamemprinc·(cid:17)piosteo·ricosquevoce(cid:136) vaiaprenderaqui.
Teoria tambe·m e· relevante para voce(cid:136) porque ela lhe mostra um lado mais
simples, e mais elegante, dos computadores, os quais normalmente considera-
mos como sendo ma·quinascomplicadas. Os melhores projetose aplicac‚o(cid:152)es de
computadoressa(cid:152)oconcebidoscomelega(cid:136)nciaemmente. Umcursoteo·ricopode
elevarseusentidoeste·ticoeajuda·-loaconstruirsistemasmaisbonitos.
Finalmente,teoriae·bomparavoce(cid:136)porqueestuda·-laexpandesuamente. Tec-
nologiadecomputadoresmudarapidamente. Conhecimentote·cnicoespec·(cid:17)(cid:2)co,
emborau·tilhoje,(cid:2)cadesatualizadoemapenasunspoucosanos. Considerepor
outroladoashabilidadesdepensar,exprimir-seclaramenteeprecisamente,para
resolverproblemas,esaberquandovoce(cid:136) na(cid:152)oresolveuumproblema.Essashabi-
lidadeste(cid:136)mvalorduradouro.Estudarteoriatreinavoce(cid:136) nessasa·reas.
Considerac‚o(cid:152)espra·ticasa(cid:30) parte,quasetodomundotrabalhandocomcompu-
tadorestemcuriosidadesobreessascriac‚o(cid:152)esimpressionantes,suascapacidades,e
suaslimitac‚o(cid:152)es. Umnovoramodamatema·ticacresceunosu·ltimos30anospara
responderacertasquesto(cid:152)esba·sicas. Aquiesta· umaquepermanecesemsoluc‚a(cid:152)o:
Seeulhederumnu·merogrande,digamos,com500d·(cid:17)gitos,voce(cid:136)podeencontrar
seusfatores(osnu·merosqueodividem),emumaquantidadedetemporazoa·vel?
Mesmousandoumsupercomputador,ningue·matualmenteconhececomofazer
issoemtodososcasossemotempodevidadouniverso! Oproblemadafatorac‚a(cid:152)o
esta· relacionadoacertosco·digossecretosemcriptossistemasmodernos. Encon-
treummaneirara·pidadefatorareafamae· todasua!
AO(A(cid:30)) EDUCADOR(A)
Este livro pretende ser um texto para o (cid:2)nal da graduac‚a(cid:152)o ou o in·(cid:17)cio da po·s-
graduac‚a(cid:152)o em teoria da computac‚a(cid:152)o. Ele conte·m um tratamento do assunto
desenhado em torno de teoremas e provas. Fiz algum esforc‚o para acomodar
estudantescompoucaexperie(cid:136)nciapre·viaemprovarteoremas,emboraestudantes
maisexperientestera(cid:152)oumavidamaisfa·cil.
Meu objetivo principal ao apresentar o material tem sido torna·-lo claro e
interessante. Ao fazer isso, tenho enfatizado a intuic‚a(cid:152)o e (cid:147)a grande (cid:2)gura(cid:148) no
assuntoemdetrimentodealgunsdetalhesdemaisbaixon·(cid:17)vel.
Por exemplo, muito embora apresente o me·todo de prova por induc‚a(cid:152)o no
Cap·(cid:17)tulo0juntamentecomoutrospreliminaresmatema·ticos,elana(cid:152)odesempe-
nhaumpapelimportantesubsequ¤entemente.Geralmentena(cid:152)oapresentoaspro-
