Table Of ContentIntrodução à
Geoinetria Espacial
Paulo Cezar Pinto Carvalho
4ª edição
2005
Rio de Janeiro
ll!SBM
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Introdução à Geometria Espacial
Copyright© 2005-1993, Paulo Cezar Pinto Carvalho
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ISBN 85-85818-73-5
FICHA CATALOGRÁFICA PREPARADA PELA SEÇÃO DE TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO DA BIBLIOTECA PROFESSOR ACHILLE BASSI - ICMC/USP
Carvalho, Paulo Cezar Pinto
C33li Introdução à geometria espacial/ Paulo Cezar Pinto
Carvalho. - 4.ed. - Rio de Janeiro: SBM, 2005.
126 p. (Coleção do Professor de Matemática; 10)
ISBN 85-85818-73-5
1. Geometria espacial. I. Título.
IIISBM
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Logaritmos -E. L. Lima
Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios -
A. C. Morgado, J. B. Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Fernandez
Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Area, Volume e Semelhança) -
E. L. Lima
Meu Professor de lvfatemática e outras Histórias -E. L. Lima
Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios -E. L. Lima com a
colaboração de P. C. P. Carvalho
Trigonometria, Números Complexos -M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner,
Notas Históricas de J. B. Pitombeira
Coordenadas no Espaço -E. L. Lima
Progressões e Matemática Financeira -A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani
Construções Geométricas -E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro
Introdução à Geometria Espacial -P. C. P. Carvalho
Geometria Euclidiana Plana -J. L. M. Barbosa
Isometrias -E. L. Lima
A Matemática do Ensino Médio Vol. 1 -E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 -E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 3- E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
Matemática e Ensino -E. L. Lima
Temas e Problemas -E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Episódios da História Antiga da Matemática -A. Aaboe
Exame de Textos: Análise de livros de Matemática -E. L. Lima
A Matemática do Ensino Medio Vol. 4 -Exercícios e Soluções -E. L. Lima, P. C. P.
Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Construções Geométricas: Exercícios e Soluções -S. Lima Netto
Um Convite à Matemática -D.C de Morais Filho
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 1 -Números Reais -A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2 -Geometria Euclidiana Plana -A.
Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 3 -Introdução à Análise -A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 4 -Combinatória -A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 5 -Teoria dos Números -A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 6 -Polinômios -A. Caminha
Sumário
Prefácio
1 Introdução 1
2 Propriedades iniciais 5
2.1 Construção de pirâmides 11
2.2 Exercícios ..... 14
3 Paralelismo de retas 17
3.1 Construção de um paralelepípedo 19
3.2 Exercícios ........ . 21
4 Paralelismo de reta e plano 23
4.1 Exercícios . . . . . 26
5 Paralelismo de planos 29
SUMÁRIO
5.1 Construção de sistemas de coordenadas para o espaço
tridimensional . . . . . 35
5.2 Construção de prismas 36
5.3 Exercícios ...... . 41
6 Planos paralelos e proporcionalidade 43
6.1 Construção de pirâmides semelhantes 45
6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . 48
7 Perpendicularismo de reta e plano 51
7.1 Construção de um sistema ortogonal de coordenadas 57
7.2 Construção de um prisma reto ... 58
7.3 Construção de pirâmides regulares . 59
7.4 Construção de um tetraedro regular 60
7.5 Construção de um octaedro regular 61
7.6 Exercícios . . . . . . 62
8 Planos perpendiculares 65
8.1 Exercícios . . . . . . 69
9 Aplicações: projeções, ângulos e distâncias 71
9.1 Distância entre dois pontos . 71
9.2 Plano mediador 72
9.3 Distância de ponto a plano . 74
9.4 Distância de ponto a reta . 77
9.5 Distância entre retas reversas 82
9.6 Ângulo entre planos . 85
9.7 Ângulo entre reta e plano 87
9.8 Exercícios 89
10 Esfera 95
10.1 Exercícios 99
SUMÁRIO
11 Noções de Geometria Descritiva 101
11.1 Representação de retas . 103
11.2 Representação de planos 104
11.3 Exercícios 108
Referências 111
Índice Remissivo 113
Prefácio
O principal objetivo deste livro é discutir e esclarecer as dificul
dades encontradas ao se fazer a transição da Geometria Plana para a
Geometria Espacial. Inicialmente, o trabalho foi concebido como uma
introdução ao livro Coordenadas no Espaço, de autoria de Elon Lages
Lima, desta mesma coleção, visando preparar o leitor para a passa
gem de um sistema bidimensional de coordenadas para um sistema
tridimensional. Percebemos, no entanto, que a relevância do material
comportava um volume separado.
Mesmo ao nível do Segundo Grau, a Geometria Espacial costuma
receber um tratamento axiomático. Neste livro, procuramos explicar
que uma das causas para esta abordagem são as dificuldades encontra
das, pelo estudante, na passagem da Geometria Plana para a Espacial.
Na Geometria Plana dispomos de excelentes modelos concretos para
os objetos com que lidamos, já que as superfícies sobre as quais escre
vemos ou desenhamos são bons modelos para o plano da Geometria.
Na Geometria Espacial não temos as mesmas facilidades. Assim, o
desenvolvimento cuidadoso da teoria é essencial para a compreensão
Prefácio
das relações existentes entre objetos no espaço. Com este objetivo em
mente, procuramos conduzir o leitor ao longo do processo de escolha
de um conjunto adequado de axiomas, vistos como um conjunto míni
mo de propriedades capazes de caracterizar as relações entre pontos,
retas e plano no espaço tridimensional.
O restante do livro é dedicado ao estudo de paralelismo e perpen
dicularismo entre retas e planos, sempre com o cuidado de indicar de
que forma os resultados obtidos se relacionam aos axiomas iniciais.
Uma preocupação sempre presente no texto é a de tentar tornar
mais concretos os modelos da Geometria Espacial. Com esta finali
dade, procuramos, a cada novo conceito introduzido, indicar que novos
objetos podem ser construídos a partir dele. Desta forma, pirâmides,
prismas, poliedros regulares, etc, são introduzidos assim que os con
ceitos necessários são apresentados. A mesma preocupação nos levou
a incluir um capítulo sobre Geometria Descritiva, com ênfase nos pro
blemas de interseção envolvendo retas e planos.
Este prefácio não estaria completo sem uma palavra de agradeci
mento a Elon Lages Lima e a Eduardo Wagner, cujas sugestões con
tribuíram em muito para a forma final do texto.
Rio de Janeiro, maio de 1993
Paulo Cezar Pinto Carvalho
