Table Of ContentINTEGRALTAFEL
ZWEITER TEIL
BESTIMMTE INTEGRALE
HERAUSGEGEBEN
VON
WOLFGANG GRÖBNER UND NIKOLAUS HOFREITER
O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT INNSBRUCK O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT WIEN
Vierte, verbesserte Auflage
1966
Springer-Verlag Wien GmbH
ISBN 978-3-211-80759-0 ISBN 978-3-7091-3341-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-3341-5
ALLE RECHTE. INSBESONDERE DAS DER üBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN. VORBEHALTEN
OHNE AUSDRüCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES
IST ES AUCH NICHT GESTATTET. DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE. MIKROKOPIE)
ODER SONSTWIE ZU VERVIELFÄLTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG WIEN 1950. 1958. 1961. AND 1966
URSPRÜNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER VIENNA 1966.
LIBRARY OF CONGRESS CATALOG CARD NO. 66-15846
TITEL-NR. 8269
Vorwort.
Der zweite Teil der Integraltafel, welcher die bestimmten Integrale umfaßt, gleicht in seinem
Aufbau dem ersten Teil. Er enthält vor allem solche Integrale, die im ersten Teil nicht vorkommen,
weil die betreffenden Integralfunktionen nicht näher bekannt oder nicht tabelliert sind, so daß nur
bei speziellen Grenzen bekannte Zahlwerte oder bekannteParameterfunktionen auftreten. Um jedoch
praktischen Bedürfnissen entgegenzukommen, wurden auch viele Integrale, die schon im ersten
Teil verzeichnet sind, für spezielle, besonders häufig auftretende Grenzen berechnet und in den
zweiten Teil mit aufgenommen.
Noch mehr als im ersten war im zweiten Teil die Frage der richtigen Abgrenzung des Stoffes
schwer zu lösen; es ist kaum möglich, hier allen Ansprüchen gerecht zu werden, ohne den Umfang
der Tafel über Gebühr anschwellen zu lassen. Wir haben uns daher in allen Fällen bemüht, durch
Einführung von Parametern möglichst viele gleichartige Integrale zusammenzufassen; das erleichtert
zugleich die Übersicht, zieht andererseits aber die Unbequemlichkeit mit sich, daß der gerade ge
suchte Integralwert nicht unmittelbar abgelesen werden kann, sondern erst durch Einsetzen der
passenden Parameterwerte ermittelt werden muß. In einzelnen wichtigeren Fällen haben wir jedoch
zur allgemeinen Formel noch eine Reihe von speziellen für besondere Parameterwerte hinzugefügt.
Die Einteilung und Anordnung der Integralformeln ist analog derjenigen des ersten Teiles
nach den Integranden, wie aus dem Inhaltsverzeichnis unmittelbar ersichtlich ist. Bei Hinweisen wird
jede Formel durch die Nummer ihres Abschnittes und durch die Nummer, die sie in diesem Ab
schnitt trägt, gekennzeichnet; so bedeutet z. B. 221.2 a die in Abschnitt 221 (Elliptische Integrale
in der Legendreschen kanonischen Form) enthaltene Formel 2 a. Wird aber auf eine Formel des
selben Abschnittes verwiesen, so bleibt die Abschnittsnummer weg. Bei Rückverweisungen auf
Formeln des ersten Teiles tritt eine I voran; z. B. bedeutet 116.11 b die Formel 11 b im Ab
schnitt 16 des ersten Teiles unserer Integraltafel.
Während die Überprüfung der Formeln des ersten Teiles einfach durch Differenzieren erfolgen
kann, ist dasselbe im zweiten Teil nicht mehr möglich. Wir geben daher zu jeder IntegralfOrmel
hier einen Weg an, der zu ihrer Berechnung dient oder dienen kann. Damit soll auch der Zweck
erreicht werden, eine Anleitung zur Berechnung gleichartiger Integrale zu geben, die in die Tafel nicht
aufgenommen wurden. Meistens führen verschiedene Wege zum selben Ziel; wir haben jeweils einen
Weg gewählt, der sich im Rahmen unserer Tafel kurz angeben läßt, wollen aber damit keineswegs
behaupten, daß dieser auch immer der kürzeste und eleganteste Weg sei.
Die wichtigsten allgemeinen Methoden und allgemeinen Integralformeln sind in den einleitenden
Abschnitten 021 und 031 kurz aufgezählt. Es bedeuten demnach z. B. die der Formel 333.51 a in
Klammern angefügten Hinweise (322.9 a, 021.3), daß diese Formel aus der Formel 322.9 a durch
die Methode 021.3, d. h. durch partielle Integration gewonnen werden kann.
Besondere Sorgfalt wurde auch im zweiten Teil auf die Zuverlässigkeit und Fehlerfreiheit der
Formeln verwandt; sämtliche Formeln wurden unabhängig durchgerechnet und überprüft. Dabei
wurde auch darauf geachtet, den Geltungsbereich der Formeln sowie der in ihnen auftretenden
Variablen und Parameter genau festzulegen.
IV Vorwort
Wir danken allen unseren Mitarbeitern in Braunschweig, die in der ersten Zeit wertvolle
Kontrollrechnungen durchgeführt haben, besonders aber Frau Dr. M. Ho/reiter, die all die Jahre
hindurch keine Mühe gescheut hat, um die schwierigsten Formeln sorgfältig zu überprüfen. Unser
herzlichster Dank gebührt auch Herrn W. Körperth, der die vorbildliche Reinschrift hergestellt hat,
sowie dem Springer-Verlag für die Herausgabe der Tafel.
Innsbruck und Wien, September 1950. W. Gröbner und N. Hofreiter
Vorwort zur vierten Auflage.
Da nur ganz wenige Änderungen wünschenswert waren, wurde auch für die vierte Auflage
dieselbe Reinschrift verwendet, die schon der ersten Auflage gedient hat. Wir danken allen, die seit
Erscheinen der Integraltafel Verbesserungsvorschläge gemacht haben.
Innsbruck und Wien, November 1965. W. Gröbner und N. Hofreiter
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Oll. Symbole und Bezeichnungen. . . . . . . . . . 1
021. Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale. 4
031. Allgemeine Integralformeln . . . . . . . . 6
1. Abschnitt. Rationale Integranden.
111. Potenzen von cxx+ß . .. . ...•.... 10
121. Potenzprodukte von mehreren linearen Ausdrücken. . . . . 11
131. Potenzen eines quadratischen Ausdrucks . . . . . . . . . 13
141. Potenzprodukte von linearen und quadratischen Ausdrücken 15
151. Potenzprodukte von x und axn + b . 18
161. Beliebige Potenzprodukte . . . 20
17. Orthogonale Polynome.
171. Legendresche Polynome für das Intervall -1::;: x::;: 1 23
172. Legendresche Polynome für das Intervall a::;: x::;: b 24
173. J acobische oder hypergeometrische Polynome 26
174. Tschebischeffsche Polynome .... 26
175. Assoziierte Legendresche Funktionen 28
17 fl. Laguerresche Polynome 29
177. Hermitesche Polynome ..... . 30
2. Abschnitt. Algebraisch irrationale Integranden.
n
211. Rationale Funktionen von x und Vax + b ... 31
212. Rationale Funktionen von x, Vax.tb. VOX+d . . . 32
213. Rationale Funktionen von x, Vax2+ 2bx +c. . . . . 34
214. Spezialfall: Rationale Funktionen von x und Vx2 + a2 35
Vx
215. Spezialfall : Rationale Funktionen von x und 2 - a2 36
216. Spezialfall: Rationale Funktionen von x und Vaa - x2 37
221. Elliptische Integrale in der Legendreschen kanonischen Form. 39
222. Elliptische Integrale in der Weierstraßschen kanonischen Form 43
223. Rationale Funktionen von x und Vaox' + 4a1x3 + 6aax2 + 4a3x + a, 47
3. Abschnitt. Elementare transzendente Integranden.
J
311. Integrale der Form R (e""', efLX, ••• ) dx. . . . . . . . 52
J
312. Integrale der Form e-sx f(x) dx (Lapla,cetransformation) 55
J
313. Integrale der Form R (x, e""') dx . 59
J
314. Integrale der Form R [x, ef(x)] dx 64
321. Integrale der Form Jf(log x) dx .. 68
322. Integrale der Form Jlog [g(x)] dx . 69
323. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen 71
J
324. Integrale der Form f(x) lo~x dx . 74
A. f(x) rational .. . . . . 74
B. f(x) algebraisch irrational 79
C. f(x) transzendent . . . . 81
VI Inhaltsverzeichnis
Seite
Jf(X)
325. Integrale der Form log [g(x)] dx .. 83
J
326. Integrale der Form F I x, log [f(x)] I dx 88
327. ExponentiaJintegral, Integrallogarithmus, Integralsinus, IntegralkosinuB und verwandte Funktionen. 90
J
331. Integrale der Form f (sin x, COB x) dx . 94
A. Allgemeine Formeln . . . . . . . . 94
B. Integrale der Form JSinmx cosnx dx. 95
C. Integrand rationaJ gebrochen . . . . 99
D. Allgemeine Integranden . . . . . . 103
Jf
332. Integrale der Form (sin ax, cos bx, ... ) dx 106
If
333. Integrale der Form (x. sin ax, cos bx) dx . 116
J
A. Integrale der Form xksinmax cosn bx dx 116
B. Allgemeine Integranden . . . . . . . . 124
I
334. Integrale der Form F [x, sin f(x), cos g(x), ... ] dx 131
A. f(x), g(x) rational . . . . . . . . . 131
B. Allgemeine Integranden . . . . . . 133
J
335. Integrale der Form F (eaX, sin bx, cos cx) dx 135
J
336. Integrale der Form F (x, eax, sin bx, cos cx) dx 138
J
337. Integrale der Form F [x, ef(X) , sin g(x), cos h(x)] dx .. 143
J
338. Integrale der Form F [x, log f(x), sin g(x), cos h(x)] dx . 146
I
341. Integrale der Form F (x, Arc sin x, Arc cos x) dx 152
JF
342. Integrale der Form (x, Arc tg x, Arc ctg x) dx . 155
J
351. Integrale der Form R (e).x, 6in ax, ~Dfbx) dx 160
JR
352. Integrale der Form (x, 6in ax, ~Dfbx) dx. 163
J
353. Integrale der Form F [f(x) , 6in ax, ~Dfbx] dx. 164
361. Integrale von Area-Funktionen 165
A. 21r 6in x 165
B. 21r~Dfx. 166
C. 21r1,9 x . 166
D. 21r ~t9 x .Jf. ... 167
371. Grenzwerte: Iim (k, x) dx. 168
k----..oo
4. Abschnitt. Eulersche Integrale.
411. Gammafunktion . . . . . . 169
421. Potenzprodukte von linearen Ausdrücken mit allgemeinen Exponenten 174
431. Potenzprodukte von zweigliedrigen Ausdrücken mit allgemeinen Exponenten 179
441. Potenzprodukte von mehrgliedrigen Ausdrücken mit allgemeinen Exponenten 183
5. Abschnitt. Integrale von Zylinderfunktionen.
511. Zylinderfunktionen (Besselsche Funktionen) • • • . • . • . . . . . . . . . . . . . . 187
512. Modifizierte Zylinderfunktionen (Besselsche Funktionen mit rein imaginärem Argument) . 192
513. Verwandte Funktionen ......• 195
J
521. Integrale der Form F [x, Sv (x)] dx . . . . . 196
J
531. Integrale der Form F [x, eX, log x, Sv (x)] dx . 198
JF
541. Integrale der Form [x, sin x, cos x, 3 (x)] dx 200
v
I
551. Integrale der Form F [x, 3 (x), 3ft (x)] dx. . 202
v
011 -~-
011. Symbole und Bezeichnungen.
'1)
Das Symbol (m}div) bedeutet: *)
(m.,d.,y) = m (m+d)(m+2d) ... (m+(Y-1)d) ) )1"=1,2.) •..
(m.,d;O) =1 ; (m.,dj-Y) '"' (m-d)(m-2d~ . .. (m-vd) ) 11 2, ...
')1'=
Allgemein gilt:
r(~ +)1') .
(m. d. v) = dV:
r(ä:)
I I
Bemerkenswert sind folgende Beziehungen:
(mj -dj Y) = (m-(V'-1)d.) dj Y) = (-1r"(-mjd i v) \ 'V'=0)1,2) ..•
r(tn). (m·,1; 'V') = r(m+ Y) v=O,±1,±2} ...
(1; 1i )1') = (-y-.) -1 ) 1") = Y 1 Y==0)1)2) ...
~
2) bedeutet den Cauchyschen Hauptwert :
a) Singularität des Integranden für :X=d (Q<cX < b):
b I).-E b
~f(X)dJl ~ J~(JI)dJ(+ ~f(')()d+
= {
n Q ~*
b) Singuläres Verhalten am Rande des Intervalles:
00 a..
k ~(.~)d:x=.eum r.!(.x)d~.
J
a.~ooj
-00 -0.
Bemerkung: Wir lassen C weg) wenn das Integral als (eigentl iches oder
uneigentliches) Integral im Riemannschen Sinn existiert.
Wir senreiben (~) wenn der Zusatz C nur für gewisse Parameterwerte
in Frage kommt für andere jedoch nicht.
I
V
3) bedeutet im Reellen immer die positive Wurzel.
1t)~.x bedeutet immer den natürlichen Logarithmus.
5) F( cp,k)) E( epIk), lT (cpI~)k) bedeuten die Legendreschen Normal integrale
Die entsprechenden vollständigen Integrale sind: (12L,1.1).
K(k)=F(~)k) E(k)=Efi)k) 1T(q)k)=lT(~)~)k).
~-) In der älteren Literatur findet sich dafür die Bezeichnung mY d
/
~.Faktorielle von Kramp").
-2-
011
6) Weitere Funktionszeichen :
€i, (.x) Exponentialintegral (321.1, 1312.3);
.a(x) Integrallogarithmus (327.2) 1321.5).
)
<P(.){) Fehleri ntegra I (I 315.1)j
cC 2 (.x ) Dilogarithmus ( 323.1) I 322.1) j
COJ.(.x) Integralkosinus (S2l.3) I333.5a)j
$LCx) Integralsinus (321':4)1333.5b)j
<:> (.x) ~ (.)() Fresnelsche Integrale (I336.1)j
B(K).A) Betafunktion oder Eulersches Integral {Gattung (~11.9)j
r(z) Gammafunktion oder Eulersches Integral 2.6attung (1i11.1);
\jf(z) Psifunktion ( ~11.6)j
=L
00
:F(ci.,(3/{i:X) (OCi-'liV') (ß'!~'lY') .xY', lxi <1 ) r=tOJ-1,-2) ...
Y'.(~1;Y')
"))'=0
Hypergeometrische Rei he;
Reihe von Pochhammer- Kummer,
Ol(z) Realteil der komplexen Zahl Z j
CAJUtZ Argument(Amplitude) der komplexen Zahl z)
CUUJ'z
(Hauptwert : -Jr < < Jr) j
[cl] diejenige gan1e Zahl n) welche n<ol.< n+1 erfüllt.
7') Bezeichnungen der Zyl inderfunktionen siehe 51-1-513.
bedeutet
9) i = 0,5tt21 5665... Eulersche Konstante (lj11.10).,
Wl ~ (-1)Y'
=L (2v+1)2. = 0)915965594... Catalansche Konstante (323.9b)j
"'0
V=O
B)" Bernoullische Zahlen: Cr 323.8b];
-3-
011
Ey- Eulersehe Zahlen: (I333.11b)j
E =E =1) E =5, E =61) E =13ß5, E =50521, E,=2102165,
o 1 2 3 lf 5
Er= 199360981, E8:: 19391 512145) ...
10) Bei komplexen Integralen wird der Integrationsweg gelegentlich durch
ioo
hinzugefügte Pfeile präzisiert) z.B. bedeutet (~11.1t) ~{ ) daß der Inte-
-;00
grationsweg I inks um den im Ursprung gelegenen Pol des Integ ran
den herumgeführt werden soll.
11) Literaturverweise :
(D) Vorlesungen über bestimmte Integrale von Dirich/{}f)
(B.d.H) 13ierens de Haan) Tables d);ntegrales definies
J
Amsterdom 1858 (-186't)j
(MO) Magnus,Oberheffinger Formeln und Sätze für die speziel
J
len Funktionen der mathematischen Physik) Berl in 1943
j
(w) Wafson) Theory of Bessel-Functions Cambridge 1922 (19114).,
J
(WW) Whiffaker Watson) Modern Analysis, Cambridge 1927:.
J
021 -~-
021. Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale.
1) Wenn man das unbestimmte Integral kennt:
b
J~(,)()d.x = F(b)-F(o) mit F'(.x)=1(.x)·
a.
2) Auswertung bestimmter Integrale mit Hilfe ihrer Definition als Grenz
werte von Summen:
b n
L
)~(.x)d.x ~ {(~or).6~~.
=
a. Y::1
Beispiel:
1cx.1>1)
_ \ JT~CJ..'1 für
-l (322.14).
0 Icxl<1,
11
3) Partielle Integration ( 031.2).
~Q) Substitution neuer Variablen ( 031.3).
I
lJb) Algebraische Umformungen des Integranden) insbesondere Portio I bruch-
zerlegvng.
5) Differentiation nach einem Parameter P uVlter dem Integralzeichen:~)
b b
J = fl(PI.x)d.x) dJ =1 (Plb).db - {(P1a)-da + SOf(PI.)() d.x
J I
dp dp dp op
a. b a.
= jO~~lj)d.x) wenn a. und b von p nicht abhängen.
a.
6) Integration nach einem Parameter P unter dem Integralzeichen: *)
b ~ b (!,
::1 =5 ~{P,Y)d.lC , S;)d p = )d:X 5f( p,.x)d p.
a. ct a. ct
1) Reihenentwicklung des Integranden und gliedweise I nteg ration: *)
" 00"
Be.Is.pie l: Jr.. l..l.\. l-)a. ( .x+1 )d-y.x =~L (-1)Y -1S.yxV -1 d.x = 1.J2fl .
o Y:1 0
*) Hinsichtlich der Bedingungen, unter denen diese Operationen zu
lässig sind) vergleiche die einsch läg igen Lehrbücher.
