İntegral almak

21 Pages·2007·0.73 MB·Turkish

İNTEGRAL





0





n0

KONU ANLATIMI

ÖRNEKLER

1
Ġntegral almak , ‘’türevi verilen bir ÖRNEK:
fonksiyonu bulmak’’tır. 1 2 3
 xdx  x2dx  x2 C

3
dy
 f(x) , x(a,b)
dx
ÖRNEK:
fonksiyonu olarak verildiğini ve 1 3 4
y=F(x) in istendiğini varsayalım. 3 xdx  x3dx  x3 C
4

ÖRNEK:
ÖRNEK:
dy
dx  2x için y nin x cinsinden ifadesi:  dx  x12dx  2 x C
y=x2 + C dir. ( C , herhangi bir sabit.) x

dF(x) ÖRNEK:
 f(x)
dx  2  2
5x4 6x2  dx  x5 2x3  C
koĢulunu sağlayan y = F(x)  x2  x
fonksiyonuna f(x) in x ‘e göre

integrali denir.
ÖRNEK:
 f(x)dx  F(x)C (1u)(1uu2)du  (1u3)du
biçiminde gösterilir. 1
u u4 C
4
( dF(x)  f(x)dx  F(x)C )

ÖRNEK:
ÖRNEK: v1 v 1
 dv   dv dv
dy
3x2 , dy 3x2dx v v v
dx
1 1 2
y  3x2dx  x3 C  v2dvv 2dv  v v 2 v C
3
( d(x3)  x3 C )

cosxdx sinxC
du uC sinxdx cosxC
adu adu sec2 xdx  tanxC
(dudv) dudv csc2xdx cotxC
un1
undu  C ( n 1 ) secxtanxdx secxC
n1
cscxcotxdx cscxC

ÖRNEK:
dx  xC ÖRNEK:
1
cos2xdx  sin2xC
2
ÖRNEK:
1
xdx  x2 C F(axb)
2  f(axb)dx  C
a

2
ÖRNEK: ÖRNEK:
1 d x
cos2xdx  (1cos2x)dx (1sint)25dt (1sinx)25
2 dx
1
1 1
 x sin4xC
2 4
ÖRNEK:
d x
ÖRNEK: t20(1t)20dt  x20(1x)20
dx
tan2xdx  (1tan2 x)dxdx 0

 sec2xdxtanxdx  tanxxC
TEOREM:

f , [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon
ÖRNEK:
x4 1 (x1)(x3  x2  x1) ve bir ilkeli F ise ;
 dx   dx

x1 x1
b
 (x3  x2  x1)dx  x4  x3  x2  xC  f(x)dx  F(b)F(a) dır.
4 3 2 a

ÖRNEK:
sinx ÖRNEK:
cos2 xdx  secxtanxdx secxC 2 x4 2 1 15
2x3dx  8 
2 2 2
1 1
ÖRNEK:

dx sin2 xcos2 x
   dx ÖRNEK:
sin2 xcos2 x sin2 xcos2 x 5 5
( x 1)( x 1)dx  (x 1)dx
 sec2 xdxcsc2xdx  tanxcotxC
4 4
5 x2 5 25
 (x1)dx  x  5(84)
2 2
4 4
TEOREM: 7

f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ve 2

x

F(x) =  f(t).dt , x[a,b]
y=f(x) eğrisi , x=a , x=b doğruları ve
a
x ekseni ile sınırlı bölgenin alanı :

b
ise F fonksiyonu (a,b) aralığında türevi A  f(x)dx dir.
alınabilir bir fonksiyon olup
a

F’(x) = f(x) , x(a,b) dir.
ÖRNEK:

d x
 f(t)dt  f(x)
dx
a

3
ÖRNEK: ÖRNEK:
8 x3 1 8 (x1)(x2  x1)
 dx   dx
x1 x1
2 2
8 x3 x2 8
 (x2  x1)dx    x
3 2
2 2
512 8
 328( 22)  204
3 3

UYARI:
Fonksiyon x=1 için TANIMSIZ (süreksiz)
olduğundan integral sınırları içinde olsaydı
ÖRNEK: integral alma iĢlemi yapılamazdı.

ÖRNEK:
y=2x3-2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?

2x3-2x=2x(x-1)(x+1)=0

x=-1 , x =0 , x =1
1 2 3
ÖRNEK:

0 1
A (2x3 2x)dx|2x3 2x|dx
1 0
x4 0 1
 x2 (2x3 2x)dx
2
1 0
1 1
0( 1)( 1)01
2 2

b a
 f(x)dx  f(x)dx
a b

a
 f(x)dx 0
EK BİLGİ :
a
Parabol ve x ekseni ile sınırlı alan =
2 2 32 f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon ve
Taban x Yükseklik= (2(2)).4
3 3 3 c[a,b] için ;
b c b
 f(x)dx   f(x)dx f(x)dx
a a c

4
ÖRNEK:
2
1x.dx ? y=f(x) ve y=g(x) eğrileri ile
0 sınırlı bölgenin alanı ;

1-x = 0 için x=1 b
 f(x)g(x).dx
2 1 2 a
1x.dx  1x.dx1x.dx

0 0 1
1 2

 (1x).dx(x1).dx

0 1
ÖRNEK:
1 2
x2 x2 y = x3 – x2 – 2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
 x  x
2 2 bölgenin alanı kaç br2 dir?
0 1

1 1
1 022( 1) 1
2 2

ÖRNEK:

y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ? x3 x2 2x  x(x1)(x2)0
x1=-1 , x2=0 , x3=2
y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü
2-x = x2 , x2+x-2=0 , x=-2 ve x =1 2
1 2 A  x3 x2 2x.dx
noktalarında kesiĢirler.
1

0 2
A = 1 2xx2.dx  1(2xx2).dx  (x3 x2 2x).dx(x3 x2 2x).dx
1 0
2 2
0 2
1 x4 x3 x4 x3
x2 x3   x2  (  x2)
 2x 
4 3 4 3
2 3 1 0
2
1 1   8  37
1 1  8 9 0  14 4 
 2  42   4 3   3  12
2 3  3 2

5
ÖRNEK: ORTALAMA DEĞER TEOREMĠ:
y = x2 – 1 ve y = 1 – x2 eğrileri ile f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon iken ;
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
b
 f(x)dx (ba)f(c)
a

eĢitliğini sağlayan bir c[a,b] vardır.

ÖRNEK:
y = f(x) = x2 + 1 fonksiyonu için ;
x2 11x2 2x2 20
[-2,1] aralığında ortalama değer teoremine

2(x1)(x1) 0 x  1 ve x 1 uygun c değerini bulunuz ?
1 2

1 1 x3 1
A  (x2 1)(1x2).dx (x2 1).dx   x
3
1 2 2
 1(22x2).dx  2x 2x3 1  8  131832 6
3 3
1 1

1
(x2 1).dx (1(2))f(c)

2
ÖRNEK: 3f(c) 6 f(c)  2
y=|x| ve y=2-x2 eğrileri ile
x2 1 2 x2 1
sınırlı bölgenin alanı kaç br2dir?
x = -1 , x = 1
1 2

|x|=2-x2
x < 0 için ; -x-2+x2=0 , x=-1
1
x0 için ; x-2+x2=0 , x =1
2

1
A  2x2  x .dx
1 UYARI:
0 1
Dikdörtgen dıĢında kalan taralı alanın ,
 (2x2  x)dx(2x2 x)dx
Dikdörtgen içinde kalan taranmamıĢ alana
1 0
eĢitliğine dikkat ediniz.
0 1
x3 x2 x3 x2
 2x  2x 
3 2 3 2
1 0

7 7 7
  
6 6 3

6
ÖRNEK:
y  x ve y  x2 eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?

b
A [f(y)g(y)]dy
a

x  x2  x 0 , x 1 ÖRNEK:
1 2
1
x  y2 ve x  y2 2 eğrileri ile
2
1
A ( x x2).dx sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
0
1
2 3 1 2 1 1
 x2  x3   
3 3 3 3 3
0

ÖRNEK:
y sinx ve y cosx eğrilerinin

 5
x  , x  aralığında sınırladığı
4 4 1
y2  y2 2 y  2 ve y  2
bölgenin alanı kaç br2 dir? 2 1 2

21  2 1 
A  y2 2 y2.dy  2 y2
2   2 
2 2
2
1 4  4 16
 2y y3  4 4 
6 3  3 3
2

UYARI:

5
4
A (sinxcosx).dx

4

5 a b
 cosxsinx4  2 2 A1   f(x).dx ve A2   f 1(y).dy
4 0 0

7
ÖRNEK :
y  x3 ve y 3 x eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?

f , bir çift fonksiyon ise :
a a
 f(x).dx  A A 2A 2 f(x).dx
a 0

x3 3 x  x9 x 0

 x 1 , x 0 , x 1
1 2 3

0  1 
 x3 3 x .dx 3 x x3 .dx
1 0
0 1
x4 3 4 3 4 x4
  x3  x3 
f , bir tek fonksiyon ise :
4 4 4 4
a 1 0
 f(x).dx  A A0 dır. 1 1
  1
a 2 2

ÖRNEK :
ÖRNEK :
4 2  sinx 
  1dx değeri kaçtır?
1 x4 
4 2

sinx
f(x)  tek fonksiyon olduğundan
1 x4

y2+2y=4-y2  y=-2 , y =1
4 2  sinx  1 2
  .dx 0 dır.
1 x4  1
4 2 A [(4 y2)(y2 2y)].dy

2
42  sinx 1dx 0 4d2x 8 2 1 2y3 1
1 x4   (42y2y2).dy  4y y2 
4 2 4 2 3
2 2

2  16
 41 84  9
3  3 

8
ÖRNEK :
2 nN için :
 
 x .dx ?

1 n çift iken ;

1 2
xndx 
  n1
1 x0 x 1 1
 
0 x1 x 0 n tek iken ;
 
1 x2 x 1 olduğundan ; 1
xndx 0 dır.

1
2 0 1 2
 
 x .dx  1.dx0.dx1.dx

1 1 0 1

0 2
 x 0 x
1 1
01210
r pozitif rasyonel sayıları için :

1 1 1

xrdxxrdx 1

0 0

ÖRNEK :

6 ; -2 < x < 1 için

f(x) -4 ; 1 < x < 3 için
b
xf ''(x).dx bf '(b)af '(a) f(a) f(b)
5 ; 3 < x < 8 için
a

8

 f(x).dx=?

2 dx
 arcsin xC ( |x| < 1 )
1x2
8 1 3 8
 f(x).dx  6.dx4.dx5.dx

2 2 1 3
1 3 8
6x 4x 5x
2 1 3
dx x
6(12)(124)4015
 arcsin C (a >0 , |x|<a)

35 a2 x2 a

9
ÖRNEK : dx
 ln x C
2 x
3 dx
 ?
49x2
0
dx 1
  lnaxb C ( a0 )
2 2 axb a
3 dx 3 dx
  
49x2 4
0 0 9( x2) xa
9  dx  x(ab)ln xb C
xb
2 2
1 3 dx 1 3x 3
   arcsin 

3 4 3 2 
0 x2 0

9
ÖRNEK :
1 1  1  dx 1
 arcsin arcsin0       ln5x7 C
3 2  3 4 12 5x7 5

ÖRNEK :

3
dx
2(x )
 x2 1arctanxC 2x3dx   2 dx
6x1 1
6(x )
6

dx 1 x 3
  arctan C ( a0 ) x
x2 a2 a a 1 2 1 3 1 1
  dx  x  ln x C
3 1 3 2 6 6
x
6
1 5 1
 x ln x C

3 9 6
ÖRNEK :
1 1
y  ve y  x2 eğrileri ile sınırlı
x2 1 2

bölgenin alanı kaç br2 dir?
f '(x)
 dx ln f(x) C
1 1 f(x)
 x2  x=-1 , x =1
x2 1 2 1 2

1 1 1  1 1 1 
A   x2dx  2  x2dx ÖRNEK :
x2 1 2  x2 1 2 
1 0 2x3
 dx ln x2 3x2 C
 1 1  1 x2 3x2
 2arctanx x3  
 6  2 3
0
ÖRNEK :
sinx (cosx)'

tanx.dx   dx   dx
cosx cosx
 lncosx C lnsecx C

10