Innovación y avances en Ajustes Gaussianos de Redes Locales

767 Pages·2013·5.43 MB·Spanish

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
DEPARTAMENTO DE INGENIER˝A CARTOGR`FICA,
GEODESIA Y FOTOGRAMETR˝A
TESIS DOCTORAL
Innovaci(cid:243)n y avances en Ajustes Gaussianos de
Redes Locales: mØtodos de Triangulateraci(cid:243)n
homogØnea y de Incrementos de Coordenadas.
Interpretaci(cid:243)n de resultados, densi(cid:28)caci(cid:243)n virtual
equiprecisa y evoluci(cid:243)n en el tiempo
Presentada por:
“
Dæa. M Jesœs JimØnez Mart(cid:237)nez
Directores:
Dr. D. Manuel Chueca Pazos
Dra. Dæa. Mercedes Farjas Abad(cid:237)a
Octubre 2013
A mi querid(cid:237)simo padre, hoy le hubiera gustado estar aqu(cid:237)
2
˝ndice general
Resumen 16
Abstract 18
Resum 20
Introducci(cid:243)n 22
Planteamiento y formulaci(cid:243)n bÆsicos 48
Objetivos de la tesis 53
I MØtodo de Triangulateraci(cid:243)n homogØnea 57
1. Sobre el mØtodo 59
1.1. Introducci(cid:243)n Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.1.1. De(cid:28)nici(cid:243)n de la Red de Prueba. Localizaci(cid:243)n . . . . . 61
1.1.2. Monumentaci(cid:243)n, materiales y caracter(cid:237)sticas cons-
tructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.1.3. Especi(cid:28)caciones tØcnicas de las estaciones totales
utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2. ResultadosdelaObservaci(cid:243)n.Observacionesangularesazimu-
tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.1. Test de adherencia de Pearson . . . . . . . . . . . . . 68
1.3. Resultados de la Observaci(cid:243)n. Observaciones distanciomØtricas 72
1.3.1. Test de adherencia de Pearson . . . . . . . . . . . . . 72
1.4. El vector de coordenadas aproximadas X . Consistencia de la
a
Figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.4.1. CÆlculo de la Consistencia de la Figura y optimizaci(cid:243)n
del camino de cÆlculo del vector X . . . . . . . . . . . 75
a
3
1.4.2. Un primer ajuste. La red Libre Triangulada . . . . . . 78
1.4.3. CÆlculo de las coordenadas aproximadas y de los azi-
mutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.4.3.1. CÆlculo de las coordenadas aproximadas por
el camino de mejor consistencia angular . . . 81
1.4.3.2. CÆlculo de las coordenadas aproximadas
por el camino de mejor consistencia distan-
ciomØtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4.3.3. CÆlculo de azimutes . . . . . . . . . . . . . . 85
1.5. Ponderaci(cid:243)n de observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5.1. Varianza del observable de peso unidad . . . . . . . . 86
1.5.2. Ponderaci(cid:243)n segœn las caracter(cid:237)sticas tØcnicas de la
instrumentaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.3. Ponderaci(cid:243)n segœn los observables de la red . . . . . . 88
1.5.4. La ponderaci(cid:243)n y cÆlculo en la prÆctica de una red
triangulaterada con homogeneizaci(cid:243)n de datos . . . . . 89
1.5.5. MØtodo de cÆlculo de la Triangulateraci(cid:243)n en ajuste
gaussiano determinista con homogeneizaci(cid:243)n de datos 89
1.5.6. El factor de conversi(cid:243)n y las varianzas proporcionales
de las formas lineales de azimut . . . . . . . . . . . . 101
1.5.7. El factor de conversi(cid:243)n y las varianzas proporcionales
de las formas lineales de distancia . . . . . . . . . . . 103
1.5.7.1. Pesos homogeneizados . . . . . . . . . . . . 104
1.6. Resoluci(cid:243)n de la red Triangulaterada . . . . . . . . . . . . . . 105
1.6.1. Formas lineales de azimut . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.6.1.1. Ecuaciones de azimut factorizadas . . . . . . 106
1.6.2. Formas lineales de distancia . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.6.2.1. Ecuaciones de distancia factorizadas . . . . . 107
1.6.3. S(cid:237)ntesis y resultado del ajuste de la red triangulaterada 107
1.6.3.1. La matriz A, la matriz de pesos P, el vector
de tØrminos independientes K, y la matriz S 108
1.6.3.2. Un ejemplo aclaratorio . . . . . . . . . . . . 109
1.6.4. El vector de variables, el vector de residuos y la va-
rianza a posteriori del observable de peso unidad . . . 113
4
1.6.5. Las matrices de criterio: matriz cofactor de las varia-
bles o parÆmetros, matriz cofactor de los residuos,
matriz cofactor de los observables corregidos, matriz
varianza-covarianza de las variables o parÆmetros,
matrizvarianza-covarianzaaposterioridelosresiduos,
y matriz varianza-covarianza a posteriori de los obser-
vables corregidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.6.6. Comprobaci(cid:243)n delos observables: (cid:28)abilidadinternade
la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.6.7. Comprobaci(cid:243)ndelosobservables:(cid:28)abilidadexternade
la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.6.8. Semiejes de la elipse standard . . . . . . . . . . . . . . 121
1.6.9. Nota sobre la constante K . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7. Figuras de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.7.1. La podaria o curva pedal . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.7.2. La elipse asociada a la curva pedal . . . . . . . . . . . 125
1.7.3. Probabilidades de error asociadas a las (cid:28)guras de error 126
1.8. CÆlculodelporcentajedeerrorenajustegaussianodeterminista128
1.8.1. Teor(cid:237)asobreelcÆlculodeporcentajedeerrorenajuste
gaussiano determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.8.2. Error o perturbaci(cid:243)n db . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.8.3. Error o perturbaci(cid:243)n db con ponderaci(cid:243)n clÆsica . . . 142
1.8.4. Error o perturbaci(cid:243)n dS . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.9. Resultados y conclusiones del MØtodo de Triangulateraci(cid:243)n
homegØnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.9.1. Resultados (cid:28)nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.9.2. ProtocolodecÆlculoydeanÆlisisdelMØtododeTrian-
gulateraci(cid:243)n homogØnea . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.9.2.1. Los observables . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.9.2.2. Las coordenadas aproximadas . . . . . . . . . 148
1.9.2.3. La soluci(cid:243)n pseudoinversa . . . . . . . . . . . 151
1.9.2.4. La ponderaci(cid:243)n de la Triangulateraci(cid:243)n ho-
mogØnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
1.9.2.5. AnÆlisis de los resultados parciales . . . . . . 157
1.9.2.6. Figuras de error y (cid:28)abilidad . . . . . . . . . 160
1.9.2.7. CÆlculo del porcentaje de error . . . . . . . 162
5
II MØtodo de Incrementos de Coordenadas 165
2. Sobre el mØtodo 167
2.1. Introducci(cid:243)n Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.2. Teor(cid:237)a sobre el ajuste gaussiano por Incrementos de Coorde-
nadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.2.1. Sobre la geometr(cid:237)a de las soluciones posibles en el
ajuste Gauss de una red local . . . . . . . . . . . . . . 169
2.2.2. Las covarianzas a priori en las matrices de diseæo de
observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.2.3. Caso de observables GNSS y relacionados con ellos . . 175
2.2.4. Teor(cid:237)a y praxis de ajuste doble por Incrementos de
Coordenadas: una soluci(cid:243)n rigurosa . . . . . . . . . . . 179
2.2.5. Posibles soluciones aproximadas . . . . . . . . . . . . . 183
2.2.6. S(cid:237)ntesis y conclusi(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.3. Aplicaci(cid:243)ndelmØtododeIncrementosdeCoordenadasenuna
red clÆsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.3.1. Resoluci(cid:243)n por el mØtodo de Triangulateraci(cid:243)n ho-
mogØnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.3.1.1. Especi(cid:28)caciones tØcnicas de la estaci(cid:243)n total
utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.3.1.2. Observaciones angulares azimutales . . . . . 189
2.3.1.3. Observaciones distanciomØtricas . . . . . . . 191
2.3.1.4. CÆlculo de la Consistencia de la Figura y op-
timizaci(cid:243)n del camino de cÆlculo del vector
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
a
2.3.1.5. El factor de conversi(cid:243)n y las varianzas
proporcionales de las formas lineales de
azimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2.3.1.6. El factor de conversi(cid:243)n y peso de las formas
lineales de distancia . . . . . . . . . . . . . . 197
2.3.1.7. Los pesos homogeneizados . . . . . . . . . . . 197
2.3.1.8. Ecuaciones de azimut y de distancia facto-
rizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
2.3.1.9. El vector de variables, el vector de residuos
y la varianza a posteriori del observable de
peso unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6
2.3.1.10. Las matrices de criterio: matriz cofactor
de las variables o parÆmetros, matriz co-
factor de los residuos, matriz cofactor de
los observables corregidos, matriz varianza-
covarianzadelasvariablesoparÆmetros,ma-
triz varianza-covarianza a posteriori de los
residuos, y matriz varianza-covarianza a pos-
teriori de los observables corregidos . . . . . 200
2.3.1.11. Comprobaci(cid:243)n de los observables: (cid:28)abilidad
interna de la red . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.3.1.12. Comprobaci(cid:243)n de los observables: (cid:28)abilidad
externa de la red . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.3.1.13. Semiejes de la elipse standard . . . . . . . . . 205
2.3.1.14. La elipse asociada a la curva pedal . . . . . . 206
2.3.1.15. Probabilidades asociadas a las (cid:28)guras de error206
2.3.1.16. Error o perturbaci(cid:243)n db . . . . . . . . . . . . 208
2.3.1.17. Resultados (cid:28)nales de la red triangulaterada . 208
2.3.2. Resoluci(cid:243)n por el mØtodo de Incrementos de Coorde-
nadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
2.3.2.1. Test de Pearson. CÆlculo de los incrementos
de coordenadas a partir de los observables
clÆsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.3.2.2. Coordenadas aproximadas . . . . . . . . . . . 213
2.3.2.3. Formaslinealesespec(cid:237)(cid:28)casdelosincrementos
de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.3.2.4. Las matrices de pesos . . . . . . . . . . . . . 216
2.3.2.5. S(cid:237)ntesis y resultados del ajuste de la red por
el mØtodo de Incrementos de Coordenadas. . 225
2.3.2.6. Resultados (cid:28)nales de la red por incrementos
parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
2.4. Resoluci(cid:243)n de la red de observables clÆsicos junto a observ-
ables GNSS por el mØtodo de Triangulateraci(cid:243)n homogØnea . 239
2.4.1. El vector de observables GNSS . . . . . . . . . . . . . 239
2.4.2. Las coordenadas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . 240
2.4.3. La matriz de pesos P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2.4.4. Ecuaciones de distancia GNSS factorizadas . . . . . . 243
2.4.5. MatrizdediseæoA,vectorK detØrminosindependien-
tes y matriz de pesos P de la red con descentrado . . . 244
2.4.6. Resultados del ajuste de la red triangulaterada con
descentrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7
2.4.7. MatrizdediseæoA,vectorK detØrminosindependien-
tes y matriz de pesos P de la red sin descentrado . . . 249
2.4.8. Resultados del ajuste de la red triangulaterada sin
descentrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
2.4.9. Estudio de los parÆmetros y matrices de criterio de la
Triangulateraci(cid:243)n homogØnea clÆsica con observables
adicionales GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
2.4.10. Estudio de la (cid:28)abilidad interna y (cid:28)abilidad externa
de la Triangulateraci(cid:243)n homogØnea clÆsica con ob-
servables adicionales GNSS . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.4.11. Recintos de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2.4.12. Errores en redondeo dS y db . . . . . . . . . . . . . . 259
2.4.13. Conclusiones bÆsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2.5. Una prÆctica usual desaconsejable: resoluci(cid:243)n de la red de
observables clÆsicos junto a observables GNSS con matriz de
pesos factorizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2.5.1. CÆlculo de los incrementos de coordenadas a partir de
los observables clÆsicos. Test de Pearson . . . . . . . . 261
2.5.2. CÆlculo de los incrementos de coordenadas a partir de
los vectores GNSS. Test de Pearson . . . . . . . . . . . 262
2.5.3. Las coordenadas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . 263
2.5.4. Matriz de diseæo A y el vector K de tØrminos
independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2.5.5. Las matriz de pesos factorizada P(cid:48) . . . . . . . . . . . 265
2.5.6. Las matrices de diseæo A(cid:48) y K(cid:48) . . . . . . . . . . . . . 267
2.5.7. Resultados del ajuste de la red mixta por incrementos
con matriz de pesos factorizada . . . . . . . . . . . . . 268
2.6. Aplicaci(cid:243)ndelmØtododeIncrementosdeCoordenadasenuna
red exclusiva GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
2.6.1. CÆlculo de los incrementos de coordenadas a partir de
los vectores GNSS. Test de Pearson . . . . . . . . . . . 274
2.6.2. Las coordenadas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . 275
2.6.3. S(cid:237)ntesis y resultados del ajuste de la red GNSS por el
mØtodo de Incrementos de Coordenadas . . . . . . . . 276
2.6.3.1. El vector de variables, el vector de residuos
y la varianza a posteriori del observable de
peso unidad en las subredes 1 y 2 . . . . . . 278
2.6.3.2. El resultado del ajuste doble por Incremento
de Coordenadas a partir de los parÆmetros
dx y dy de las subredes 1 y 2 . . . . . . 280
V2 V2
8
2.6.3.3. Las matrices de criterio de las subredes 1 y 2 280
2.6.3.4. Comprobaci(cid:243)n de los observables: (cid:28)abilidad
interna de las subredes 1 y 2 . . . . . . . . . 281
2.6.3.5. Comprobaci(cid:243)n de los observables: (cid:28)abilidad
externa de la subredes 1 y 2 . . . . . . . . . . 283
2.6.3.6. Semiejes de la elipse standard y elipses
asociadas a la curvas pedales de las subredes
1 y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
2.6.3.7. Probabilidades de error asociadas a las (cid:28)gu-
ras de error de las subredes 1 y 2 . . . . . . . 286
2.6.3.8. Error o perturbaci(cid:243)n db de las subredes 1 y 2 287
2.6.4. Resultados (cid:28)nales de la red por incrementos parciales. 287
2.7. Conclusiones Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
III Recintos de error y su interpretaci(cid:243)n en una red
local observada con GNSS y ajustada por Incrementos de
Coordenadas. Teor(cid:237)a y Praxis 291
3. Sobre las distintas (cid:28)guras de error asociadas a los vØrtices
de una red local 295
3.1. Hiperpodarias de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.2. Hiperelipsoidesehiperparalelep(cid:237)pedosdeerror.Aplicaci(cid:243)ndel
AnÆlisis Multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3.2.1. Hiperelipsoides de error . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3.2.1.1. Revisi(cid:243)n de los hiperelipsoides de error en
ajustes gaussianos clÆsicos . . . . . . . . . . . 303
3.2.1.2. Aplicaci(cid:243)n del AnÆlisis Multivariante a la
deducci(cid:243)n de los hiperelipsoides de error . . . 306
3.2.2. Hiperparalelep(cid:237)pedos de error . . . . . . . . . . . . . . 314
3.2.3. El Problema de Diseæo de Orden Dos (PD2). Cues-
tiones de Ælgebra matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 322
3.2.3.1. Producto de Kronecker-Zehfuss . . . . . . . . 325
3.2.3.2. Producto de Khatri-Rao . . . . . . . . . . . . 326
3.2.3.3. Expresiones fundamentales de cÆlculo . . . . 328
3.2.3.4. Aplicaci(cid:243)n al Diseæo de Redes por Gauss.
Primer Procedimiento . . . . . . . . . . . . . 330
3.2.3.5. Aplicaci(cid:243)n al Diseæo de Redes por Gauss.
Segundo Procedimiento . . . . . . . . . . . . 332
9
3.2.3.6. Conclusiones prÆcticas conceptuales y ope-
rativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
3.3. Figuras de error bidimensionales. RectÆngulos, podarias y
elipses de error. Extensi(cid:243)n a tres dimensiones . . . . . . . . . 341
3.3.1. Estado de la cuesti(cid:243)n y planteamiento . . . . . . . . . 341
3.3.2. Figuras bi y tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . 347
3.3.3. `reas y volœmenes de recintos de error. Estudio com-
parativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
3.3.3.1. Recintos bidimensionales . . . . . . . . . . . 354
3.3.3.2. Super(cid:28)cies comparadas . . . . . . . . . . . . 361
3.3.3.3. Hipervolumetr(cid:237)a de recintos de incertidumbre 367
4. Aplicaci(cid:243)n de la teor(cid:237)a de recintos de error a una red
local observada con GNSS y ajustada por Incrementos de
Coordenadas 373
4.1. CÆlculo de los incrementos de coordenadas a partir de los
vectores GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
4.2. Test de Normalidad de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
4.3. La matriz varianza-covarianza a priori de los observables . . 377
4.4. Las coordenadas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
4.5. Formaslinealesespec(cid:237)(cid:28)casdelosincrementosdecoordenadas.
La matriz de diseæo A de elementos exactos, el vector K de
tØrminos independientes y la matriz de pesos P . . . . . . . . 379
4.5.1. Las formas lineales por incrementos de coordenadas. . 379
4.5.2. La matriz de diseæo A y el vector K . . . . . . . . . . 380
4.5.3. La matriz de pesos P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
4.6. Resultados del ajuste de la red GNSS por el mØtodo de
Incrementos de Coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
4.6.1. El vector de variables, el vector de residuos y la
varianza a posteriori del observable de peso unidad . . 384
4.6.2. Las matrices de criterio Q y σ . . . . . . . . . . 386
xx xx
4.6.2.1. La matriz S y los recintos de error de las
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
4.6.3. Otras matrices de criterio . . . . . . . . . . . . . . . . 388
4.6.4. Comprobaci(cid:243)n de los observables: (cid:28)abilidad interna . 390
4.6.5. Comprobaci(cid:243)n de los observables: (cid:28)abilidad externa . 392
4.7. Primera soluci(cid:243)n de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
4.7.1. Obtenci(cid:243)ndelosrecintosdeerrordelsistemadematriz
varianza covarianza no diagonal . . . . . . . . . . . . 394
10