Infinitesimalrechnung: Analysis mit hyperreellen Zahlen

285 Pages·2019·9.119 MB·German

by  Baumann, Peter, Kirski, Thomas

Peter Baumann
Thomas Kirski
Infinitesimal-
rechnung
Analysis mit hyperreellen Zahlen
Infinitesimalrechnung
Peter Baumann · Thomas Kirski
Infinitesimalrechnung
Analysis mit hyperreellen Zahlen
Peter Baumann Thomas Kirski
Berlin, Deutschland Berlin, Deutschland
ISBN 978-3-662-56791-3 ISBN 978-3-662-56792-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0
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für Helmut Wunderling
Vorwort
Seit Mitte der 1980er Jahre beschäftigte sich Helmut Wunderling (1933–2015)
als Mathematiklehrer und Seminarleiter damit, wie mit Hilfe hyperreeller Zahlen
„echte“ infinitesimalmathematische Ideen im Schulunterricht umgesetzt werden
können. Auslöser dafür waren zum einen die Erfahrung der Schwierigkeiten von
Lernenden mit dem Grenzwertbegriff und deren dennoch intuitivem und listigem
Umgang damit, zum anderen die Veröffentlichungen von Schnitzspan [5] und
Laugwitz [4] (siehe [6]).
Seit Mitte der 1990er Jahre arbeiteten wir Autoren in einer von ihm ins Leben
gerufenen Arbeitsgruppe zusammen mit ihm an diesem Thema. Unsere eigenen,
durchweg positiven Unterrichtserfahrungen damit haben uns stets bestärkt, auf
diesem Weg weiter voranzuschreiten. Erste Ergebnisse unserer Arbeitsgruppe
waren entsprechende Veröffentlichungen in Fachzeitschriften für Didaktik der
Mathematik (siehe z. B. [2, 3, 6])1. Von Beginn an war aber die Veröffentlichung
eines Analysis-Buches, das mit hyperreellen Zahlen an Stelle des Grenzwertbe-
griffes arbeitet, ein wesentliches Ziel unserer Arbeitsgruppe.
Schließlich erschien 2007 unser Buch „Analysis als Infinitesimalrechnung“ [1].
Es war inhaltlich als vollständiges Analysisbuch für den Schulunterricht konzi-
piert, hat aber nur geringe Verbreitung gefunden, sodass der Vertrieb 2012 einge-
stellt wurde.
Anfang 2017 zeigte sich das Interesse des Springer-Verlages an einer „gut
verständlichen Einführung in die Differential- und Integralrechnung auf Basis
der hyperreellen Zahlen (anstelle wie üblich mit Grenzwerten)“. Dafür wurde
die „Analysis als Infinitesimalrechnung“ von den Teilen befreit, die lediglich die
Anwendung der Differential- und Integralrechnung betreffen (also „Kurvendiskus-
sionen“ usw.).
Das Ergebnis ist das vorliegende Buch. Nach einer kurzen Einleitung füh-
ren die einzelnen Abschnitte des 2. Kapitels die hyperreellen Zahlen in unter-
schiedlicher Tiefe ein, sodass damit ggf. schon nach kurzer Zeit Differential- und
Inte gralrechnung betrieben werden kann. Dann werden die (für den Analysisunter-
richt) wesentlichen Regeln hergeleitet bzw. begründet.
1Diverse Artikel und Unterrichtsmaterialien stehen auf der Website der Autoren kostenlos zum
Download zur Verfügung (www.nichtstandard.de).
VII
VIII Vorwort
Dieses Buch richtet sich an alle – insbesondere an Lehrkräfte der Mathematik,
auch und gerade solche in Ausbildung –, die die Analysis auf dem heute üblichen
Weg kennengelernt haben und nun an deren Begründung mit den ursprünglichen,
anschaulichen und intuitiven Ideen der Gründer auf der sicheren Basis der neuen
hyperreellen Zahlen interessiert sind.
Unser Dank gilt auf Seiten des Springer-Verlages zum einen Herrn Dr. Andreas
Rüdinger, der das Konzept mit uns entwickelt und uns mit wertvollen Gedanken
zur inhaltlichen Gestaltung unterstützt hat, und zum anderen Frau Barbara Lühker,
deren aufmerksame Hinweise uns bei der Gestaltung des Manuskripts sehr gehol-
fen haben. Des Weiteren danken wir den Herren Prof. Dr. Thomas Bedürftig, Karl
Kuhlemann und Uwe Rohmann für die sorgfältige Durchsicht des Manuskripts.
Nicht zuletzt gilt unser Dank Frau Wunderling, die uns bei unseren Treffen bei
Helmut Wunderling stets mit realer, wohlschmeckender und aufbauender Nahrung
versorgt hat.
Berlin Peter Baumann
Juni 2018 Thomas Kirski
Literatur
1. Baumann, P., Kirski, T., Wunderling, H.: Analysis als Infinitesimalrechnung. DUDEN
PAETEC, Berlin (2007)
2. Baumann, P., Steinig, B., Wunderling, H.: Hypereelle Zahlen. Mathematik betrifft uns.
Bergmoser und Höller, Aachen, Heft 2, (1995)
3. Baumann, P., Steinig, B., Wunderling, H.: Differential- und Integralrechnung mit hyperreellen
Zahlen. Mathematik betrifft uns. Bergmoser und Höller, Aachen, Heft 4, (1996)
4. Laugwitz, D.: Zahlen und Kontinuum – Eine Einführung in die Infinitesimalmathematik.
Bibliografisches Institut, Zürich (1986)
5. Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis in der Schule. MU – Der Mathematik-Unterricht 29,
Heft 4, (1983)
6. Wunderling, H. (Hrsg.) et al.: Infinitesimalmathematik. MU – Der Mathematik-Unterricht 43,
Heft 1, (1997)
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ................................................. 1
Literatur .................................................... 4
2 Hyperreelle Zahlen ......................................... 5
2.1 Axiomatische Einführung der hyperreellen Zahlen ............. 6
2.2 Umgang mit hyperreellen Zahlen ........................... 7
2.2.1 Hyperreelle Zahlen als Werkzeug ..................... 7
2.2.2 Typen hyperreeller Zahlen .......................... 8
2.2.3 Grundrechenregeln für hyperreelle Zahlentypen ......... 9
2.2.4 Veranschaulichung mittels Maßstabsänderungen ......... 10
2.2.5 Unendlichkeitsbrille ............................... 11
2.2.6 Vergrößerung von Funktionsgraphen .................. 12
2.2.7 Hyperreelle Zahlen als Dezimalzahlen ................. 15
2.3 Rechnen mit hyperreellen Zahlen ........................... 19
2.3.1 Addition und Subtraktion ........................... 19
2.3.2 Multiplikation und Division ......................... 21
2.3.3 Infinitesimale Nachbarschaft ........................ 23
2.3.4 Reeller Teil finiter hyperreeller Zahlen ................. 25
2.3.5 Analyse hyperreeller Terme ......................... 27
2.4 Hyperreelle Zahlen und Folgen reeller Zahlen ................. 28
2.4.1 Zum Begriff der Zahlenfolge ........................ 29
2.4.2 Folgen rationaler Zahlen als Schreibweise für reelle
Zahlen .......................................... 30
2.4.3 Folgen reeller Zahlen als Schreibweise für hyperreelle
Zahlen .......................................... 31
2.4.4 Folgentypen und Zahltypen ......................... 38
2.5 Erweiterungen von Funktionen und Mengen .................. 41
2.5.1 Absolutbetrag einer hyperreellen Zahl ................. 42
2.5.2 Hyperreelle Erweiterung reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3 Hyperreelle Erweiterung der Dezimalzahlen ............ 45
2.5.4 Hyperfinite Mengen ............................... 47
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.6 Zahlbereiche ........................................... 50
2.6.1 Zahlbereichserweiterungen allgemein ................. 50
2.6.2 Erweiterung zu den reellen Zahlen .................... 50
2.6.3 Erweiterung zu den hyperreellen Zahlen ............... 52
Literatur .................................................... 59
3 Differentialrechnung ........................................ 61
3.1 Differenzieren von Funktionen nach Leibniz .................. 62
3.1.1 Tangente und Funktionsgraph ........................ 62
3.1.2 Quotient infinitesimaler Differenzen .................. 64
3.1.3 Tangentendefinition ................................ 66
3.1.4 Tangentensteigung an beliebiger Stelle ................. 68
3.1.5 Ableitung einer Funktion ........................... 68
3.1.6 Stetigkeit einer Funktion ............................ 71
3.1.7 Limesschreibweise ................................ 72
3.1.8 Differentiale und Differentialquotient .................. 72
3.2 Differentiationsregeln .................................... 77
3.2.1 Regeln für rationale Funktionen ...................... 77
3.2.2 Regeln für nicht rationale Funktionen ................. 84
3.3 Stetige und differenzierbare Funktionen ...................... 92
3.3.1 Eigenschaften stetiger Funktionen .................... 92
3.3.2 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen ............. 96
3.4 Zur Bestimmung der Krümmung von Funktionsgraphen ......... 100
3.5 Ableiten von Funktionen nach Newton ...................... 104
3.5.1 Idee der Fluxionen ................................ 104
3.5.2 Begründung der Fluxionsregel ....................... 108
3.5.3 Weitere Differentiationsregeln ....................... 109
Literatur .................................................... 113
4 Integralrechnung ........................................... 115
4.1 Zwei archimedische Ergebnisse ............................ 116
4.1.1 Umformulierungen der archimedischen
Beweisstrategie ................................... 116
4.1.2 Flächeninhalt eines Parabelsegments .................. 117
4.1.3 Volumen einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 Das Riemann-Integral .................................... 123
4.2.1 Bedingungen für Integrierbarkeit ..................... 125
4.2.2 Definition von Flächeninhalt ......................... 128
4.2.3 Integral einer quadratischen Funktion .................. 135
4.3 Integralfunktionen ....................................... 138
4.3.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ........ 139
4.3.2 Unbestimmtes Integral ............................. 143
4.3.3 Integralmittelwert ................................. 156
Inhaltsverzeichnis XI
4.4 Integrale in weiteren Kontexten ............................ 159
4.4.1 Rauminhalte von Körpern ........................... 161
4.4.2 Bogenlänge von Kurven ............................ 170
4.4.3 Oberflächeninhalte von Körpern ...................... 175
4.4.4 Integration in physikalischem Kontext ................. 179
4.5 Numerische Integration ................................... 180
4.6 Geschichtliches zur Integralrechnung ........................ 186
4.6.1 Archimedes (ca. 287 bis 212 vor Christus) .............. 186
4.6.2 Leibniz (1646 bis 1716) ............................. 200
Literatur .................................................... 206
5 Transzendente Funktionen ................................... 207
5.1 Logarithmusfunktionen ................................... 207
5.1.1 Der natürliche Logarithmus ......................... 207
5.1.2 Eigenschaften des natürlichen Logarithmus ............. 208
5.1.3 Zum Graphen des natürlichen Logarithmus ............. 211
5.1.4 Zum langsamen Wachstum der
Logarithmusfunktionen ............................. 214
5.1.5 Logarithmisches Differenzieren und Integrieren ......... 217
5.2 Exponentialfunktionen ................................... 220
5.2.1 Die Umkehrfunktion zum natürlichen Logarithmus ....... 220
5.2.2 Exponentialfunktionen zu anderen Basen ............... 224
5.2.3 Stetige Fortsetzung einer Exponentialfunktion
von nach ..................................... 225
5.3 Hyperbelfunktionen ..................................... 229
5.4 Kreisfunktionen ......................................... 232
5.4.1 Zum Kreis ....................................... 232
5.4.2 Sinus, Kosinus und Tangens ......................... 233
5.4.3 Die Ableitung von Sinus ............................ 236
5.4.4 Die Ableitung von Kosinus .......................... 238
5.4.5 Nochmals die Ableitung von Sinus und Kosinus ......... 239
5.4.6 Integration von Sinus und Kosinus .................... 240
5.4.7 Ableitung und Integral der Tangensfunktion ............ 242
5.5 Die Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen .................. 242
5.5.1 Die Arkuskosinusfunktion ........................... 242
5.5.2 Die Arkussinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.5.3 Die Arkustangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Literatur .................................................... 247
6 Unendliche Reihen .......................................... 249
6.1 Exponentialfunktionen nach Euler .......................... 249
6.1.1 Von der Darstellung der Exponentialgrößen
durch Reihen ..................................... 250
6.1.2 Berechnung von e nach Euler ....................... 251
6.1.3 Eigenschaften der e-Funktion ........................ 255