implementación de algunos algoritmos en teoría de números usando programación funcional

87 Pages·2015·2.78 MB·Spanish

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
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FACULTAD DE INGENIERIA, CIENCIAS FISICAS Y
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MATEMATICA
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CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA
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IMPLEMENTACION DE ALGUNOS ALGORITMOS EN
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TEORIA DE NUMEROS USANDO PROGRAMACION
FUNCIONAL
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TRABAJO DE GRADUACION PREVIO A LA
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OBTENCION DEL TITULO DE
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INGENIERO MATEMATICO
AUTOR: WILSON MAURICIO MORENO ORTIZ
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TUTOR: MAT. EDUARDO REMIGIO DAVILA CAZAR
QUITO-ECUADOR
2015
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo no habr´ıa sido posible sin el apoyo y el est´ımulo de mi amiga y compan˜era de
vida Gabriela Ipiales, su esfuerzo y constancia me ayudaron a terminar esta tesis. Tambi´en
quiero agradecer al Mat. Eduardo D´avila, mi tutor en todas las etapas del trabajo. Tambi´en me
gustar´ıa agradecer a todas las personas que sin ser nombradas han contribuido de forma directa
o indirecta en la culminaci´on de esta tesis. No puedo terminar sin agradecer a mi familia, en
cuyo est´ımulo constante y amor he confiado a lo largo de mis an˜os en la Academia.
ii
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AUTORIZACION DE LA
´
AUTORIA INTELECTUAL
Yo, Moreno Ortiz Wilson Mauricio en calidad de autor del proyecto de tesis realizado sobre ”IM-
PLEMENTACIO´N DE ALGUNOS ALGORITMOS EN TEOR´IA DE NU´MEROS USANDO
PROGRAMACIO´N FUNCIONAL”, por la presente autorizo hacer uso de todos los contenidos
que me pertenecen o parte de los contenidos en esta obra, con fines estrictamente acad´emicos o
de investigaci´on.
Losderechosquecomoautormecorresponden,conexcepci´ondelapresenteautorizaci´onseguir´an
vigentes a mi favor, en conformidad con lo establecido en los art´ıculos 5,6,8,19 y dem´as perti-
nentes de la Ley de Propiedad Intelectual y su Reglamento.
Quito, Diciembre 2015
WILSON MAURICIO MORENO ORTIZ
C.I.1718862335
iii
CERTIFICADO DEL TUTOR

En calidad de Tutor del proyecto de Investigación: IMPLEMENTACIÓN DE ALGUNOS ALGORITMOS,
EN TEORÍA DE NÚMEROS USANDO PROGRAMACIÓN FUNCIONAL, previo a la obtención del Título
de Ingeniero Matemático considero que el proyecto reúne los requisitos necesarios.

El documento elaborado superó el control antiplagió Urkund

En la ciudad de Quito, a los 15 días del mes de septiembre del año 2015.

FIRMA......................................
MAT. EDUARDO REMIGIO DÁVILA CAZAR

CONTENIDO
AGRADECIMIENTOS ii
AUTORIZACIO´N DE LA AUTOR´IA INTELECTUAL iii
CERTIFICADO DEL TUTOR iv
INFORME DE APROBACIO´N DEL TUTOR v
INFORME DEL TUTOR vi
INFORME DE APROBACIO´N DEL TRIBUNAL vii
CALIFICACIONES viii
RESUMEN xii
ABSTRACT xiii
INTRODUCCIO´N 1
1 PRESENTACIO´N DEL PROBLEMA 3
1.1 Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Formulaci´on del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Objetivos de la Investigaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Justificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 MARCO REFERENCIAL 5
2.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 TEOR´IA DE NU´MEROS 7
3.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 Problemas Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ix
3.1.2 Problemas de Ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Problemas Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Problemas de Ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Ma´ximo Comu´n Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Problemas Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 Problemas de Ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1 Problemas Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2 Problemas de Ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Criptograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Matem´aticas para RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 PROGRAMACIO´N FUNCIONAL 40
4.1 Breve Resen˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Elecci´on del lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 DESARROLLO E IMPLEMENTACIO´N 44
5.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Ma´ximo Comu´n Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Criptograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 69
6.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
BIBLIOGRAF´IA 71
A Haskell 73
A.1 Descarga e Instalaci´on del lenguaje de programaci´on Haskell . . . . . . . . . . . 73
x