Table Of Content数学選書
群 論 演 習
渡辺哲雄著
槙 書 店
編集委員
井関清志（神戸大・理〉
北村泰一〈茨城大名誉教授〉
土倉 保（東北大・理〉
宮武 修〈大阪府大名誉教授〉
は じ め に
抽象群の「構造と理解」は分ったようで初学者には，いま一歩ぴんとこない．
筆者は1949年以来学生に群論の講義と演習指導を行ってきたが初級の段階で，
なかなかなじめないらしい．その主な原因の一つに理論の理解にもっぱらで，
問題演習の不足があげられると思う．群論をはじめて学ぶ方のために，その理
解をたずける伴侶ともなればとの願いから，さきに群論演習I（昭49年11月刊），
同II（昭50年4月干のを書いた．これは内容の量的な面を考慮し，群概念として
その同型性までをIとし，部分群の列，アーベル群，有限群などのくわしい部
分をHとした．しかし群論の質的な面からは，上のように2巻に分けるべきで
なく，また読者の便も考えてこの度，棋書店の御好意でこれらを補遺合本し，
群論演習とすることにした．
定義，公理を主とし，それに関係する若干の性質とから成る基本事項をもと
にして群の構造や理論がどのようにくみ立てられ展開してゆくかを問題の解法
を通してのベた．扱う問題は類題を含めて700題余，上述の目的に沿って，で
きるだけ多くのものを提供し，必要あれば定理といわれる命題も問題としてと
り上げた．本書においては，とくに各聞に「説明および引用」の項を設けて，
基本事項や既出の設聞の結果をどのように引用し，どのような角度から解を見
出すかをまずのベて解法に入っている．その解法はあざやかな方法をとるより
は廻り道をしても理解し易いほうを選んだ．
はじめ群概念を得るために，きわめて具体的な問題から入り，内容の進展に
つれて抽象群の本質をつく問題を多く扱うようにした．
陪題Aには導入的，基本的なもの， Bにはその応用的なものを配した．
顧みれば1961年大島勝先生が岡山大理学部在職当時，先生の研究室で群論に
興味をもっ数人で M.Hall: Theory of Groups (1959）をていねいに毎週長時
間読んで，御注意をいただいたことなど，本書を草するにあたり大変役立つて
いる．ここに改めて同先生に感謝の意を表するものである．
1980年5月 著 者
目 次
第1章 群の概念
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 代数的演算と代数系 ・・−…， ・・・・−…...・ ・...・ ・...・ ・.....・ ・・....・ ・......1
H H H H H H H H H H H H
§2 群の定義と性質 ・・−−−…...・ ・.......・ ・...・ ・.....・ ・・・.....・ ・・・...・ ・−−…・・ 2
H H H H H H H H H H H H
§3 対称群 ・・−…....・ ・.....・ ・...・………....・ ・...・ ・......・ ・...・ ・.....・ ・...・ ・…・・ 4
H H H H H H H H H H
§4 群表・......……… ・・・・...・ ・.......・ ・−…....・ ・.....・ ・・・・・・・・・..5
H H H H H H H H H H H H H H H H
問題A [l］〜［17］・ ・・−−−…… ・・.....・ ・−….，，..・−−…… ・・...・ ・.....・ ・...6
H H H H H H H H H
問題B[1 ］〜［12］…...・ ・.........… ・・・・… ・・−−…...・ ・.....・ ・・・...19
H H H H H H H H H H H
第2章 部分群，生成系，、類別
基本事項（定義，公謹および関連事項）
§1 部分群 ・・.....・ ・...・・・民＿.....・ ・...・ ・...・ ・−−…...・ ・........・ ・.....・ ・....・ ・−“30
H H H RH H H H H H H H
§2 巡回群・ ・・.....・ ・....・ ・.....・ ・...・ ・....・ ・・・−… ・・....・ ・....・ ・......・ ・...31
H H H H H H H H H H H H H H
§3 群の生成系・…....・ ・...・ ・・・.....・ ・.......・ ・・・−−……....・ ・....・ ・−… ・・・・31
H H H H H H H H H H H H
§4 類 別…………....・ ・・・−…・・ ・・−−−……...・ ・−−……・ ・・・・...・ ・−…・・・32
H H H H H H H H H H H
問題A [l］〜［39］・ ・・.....・ ・....・ ・.....・ ・・・..........・ ・....・ ・...・ ・・・..g4
H H H H H H H H H H H H
向題B[1 ］〜［35] ・・・・・・・・・…...・ ・・・.....・ ・・・・・・・ ・....・ ・.......・ ・・・−・・46
H H H H H H H H H H H
第3章 正規部分群
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 共役部分群H・H・－…H・H・H・H・....・H・··~···........・H・.....・H・......・H・.......・H・...・H・..59
§2 正規部分群 ・・...・ ・・・・・・・・・・・・ ・.......・ ・−…...・ ・.....・ ・...・ ・.....・ ・・・・…“59
H H H H H H H H H H H H
§3 剰余群・ ・・−−−…....・ ・......・ ・・・.....・ ・.....・ ・−−…...・ ・...・ ・...・ ・.....・ ・...50
H H H H H H H H H H H H
§4 交換子群 ・・...・ ・...・ ・......・ ・−−…...・ ・......・ ・・・・−…...・ ・............・ ・・・61
H H H H H H H H H H H H
問題A [l］〜［45] ・..・...・ ・....・ ・...・ ・.....・ ・−−…...・ ・.....・ ・.......・ ・......51
H H H H H H H H
問題B [l］〜［46] ・・...・ ・−−−…・・・ ・・・・・・.....・ ・.....・ ・・........・ ・..15
H H H H H H H H H H H H H
iv 目 次
第4章 同型概念
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 準同型と同型…H・H・－－…H・H・.....・H・H・H・H・H・H・H・H・H・H・－－－…H・H・•••；••・H・·····92
§2 準同型および同型と部分群・・・・＇..・H・H・H・H・H・...…H・H・.•••••・...…H・H・.....・H・H・··93
・§3 ..百己同型群・ ・・…… ・・−−“… ・・...;...・ ・・・・.....・ ・・・・・・・・−・・・・94
H H H H H H H H H H H H H H H H H H
'§4 合同移動群と同型…−……・・；・.. ・・・−ー−…...........・ ・・・・・・.....・ ・・・・・95
H H H H H H H H H H H H
§5 自由群と基本関係…… ・・........・・・ ・・............・ ・・・・・・・・・・・・・・・・95
H H H H H H H H H H H H H H H
問題A[l ］〜［44] ・・......・ ・・・−山・・ ・・・・・・・・.....・ ・・・−…・・97
H H H H H H H H H H H H H H H H
問題B [1］〜［22] ・・・ ・・−… ・・−−−… ・・−・…．．．．．．．．．．．．．日．．．．．．．．．．． ........ 11 4
H H H H H H
第5章 部分群の列，直積
i
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 組成列・H・H・....・H・－…...・H・－…....・...…...・H・－…··~.............・H・−…....・H・...127
§2 可解群・・・....・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・......・ ・...・ ・.........・ ・.....・ ・....・ ・・・..129
H H H H H H H H H
§3 作用域をもっ群，作用準同型，作用同型・...・ ・.....・ ・・・.....・ ・・・−…・・ 130
H H H H H H H
§4 直積，直既約分解・ ・・−…...・ ・.....・ ・.......・ ・−…・・ ・・・・・・・・...・ ・・−…… 134
H H H H H H H H H
問題A[1 ］〜［63］・ ・・.....・ ・・・・・・・・… ・・・・・・・・・・..140
H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H
問題B[1 ］〜［60］…....・ ・........・ ・........・ ・...・ ・....・ ・−…...・ ・...・ ・..163
H H H H H H H
第6章 アーベル群
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 自由アーベル群と自由加群 ・・....・ ・...・ ・....・ ・・・−−−… ・・....・ ・・・..185
H H H H H H H H H H H H
§2 有限生成系のアーペル群・・....・ ・.....・ ・・.....・ ・・・.....・ ・・・−−−… ・・..186
H H H H H H H H H H H
§3 指標群……...・ ・.....・ ・...・ ・....・ ・.....・ ・....................…...・ ・....・ ・...188
H H H H H H H
§4 作用域玄をもっ加群 ・・...・ ・・・.....・ ・.....・ ・・.....・ ・・・・......・ ・.189
H H H H H H H H H H H H H
問題A[1］〜［41］・ ・・・...… ・・……....・ ・−… ・・・・....・ ・−… ・・..190
H H H H H H H H H H H H H
問題B[1］〜［32］・ ・・−−…………...・ ・.....・ ・・・… ・・.....・ ・・・・..207
H H H H H H H H H H H H
日 次 ...
第7章有限群
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 集合と類別・…...・ ・....・ ・.....・ ・....・ ・−…… ・・....・ ・−…...・ ・−… ・・−・… 220
H H H H H H H H H H
§2 p群（ジロー群）.....・ ・...・ ・−… ・・・・.....・ ・.....・ ・−−−… ・・−−−………・・ 221
H H H H H H H H H H
§3 中心列・……… ・・.........………… ・・...・ ・....・ ・−…………...・ ・・・...222
H H H H H H H H H
§4 フラッチニ群・ ・・.....・ ・・・.....・ ・・・・・・・........・ ・−…...・ ・.....・ ・222
H H H H H H H H H H H H H H H
§5 有限可解群…...・ ・..............・ ・.....・ ・....・ ・.....・ ・...・ ・....・ ・......・ ・…・・ 223
H H H H H H H H
§6 置換群・ ・・… ・・.....・ ・−…...・ ・...・ ・−…...・ ・.....・ ・.....・ ・−…−… ・・..224
H H H H H H H H H H H H
§7 移送＇ ....・ ・.....・ ・−−…....・ ・...・ ・.......・ ・.....・ ・.....・ ・...・ ・.....・ ・−−−….227
H H H H H H H H H
問題A [l］〜［113・］ ・・−…ー ・・−…・ ・・−…・ ・・−….....・ ・−−−…...・ .・227
H H H H H H H H H H
問題B [1 ］〜［86] ...・ ・....・ ・.....・ ・......・ ・・・...・ ・....・ ・....・ ・...・ ・..263
H H H H H H H H H H
参考文献・ ・・−−−… ・・........…...・ ・...・ ・....・ ・....・ ・・・−….....・ ・...・ .・291
H H H H H H H H H H H H
索引・ ・・.....・ ・.....・ ・.......・ ・...・ ・・・.....・ ・.....・ ・・・−…....・ ・..293
H H H H H H H H H H H H H
第 1 章
群 の 概 念
基本事項（定義，公理および関連事項）
§1 代数的演算と代数系
I 集合Aの元 a,b,c,・・・ ・相互の聞に一つの結びつき の方法マが与えら
H I)
れていて，任意の2元a,bからこの方法で結びついたavb元が得られる．こ
のようなとき，この結びつきの方法を代数的演算，または単に演算という．
II IにおけるaゆがつねにAの一個の元となるとき， Aは演算マに関して
閉じているといって， Aを演算マをもっ代数系という． とくに演算マにおい
て， avb=a+bと表わされるとき加法系， aマb=abと表わされるとき乗法系と
いい，それぞれの演算の結果をaとbとの和，およびaとbとの積とよぷト
m
演算マについてAの任意の3個の元 a,b,cに対して
(avb）マc=av(bvc)
が成りたつとき， Aは演算マについて結合法員g2iを満足するという．
IV 集合Aにおいて！定義された演算マについてAが閉じていれば， Aのいく
つかの任意の元 a,b,c,・・・ ・に対し，
H
aマbvcv・・・・・・EA
である．
v 演算マについて集合Aの任意の2元a,bに対し
aマb=bva
が成りたつとき，Aは演算マについて交換法則を満足する（可換である）という．
羽
1) combination (Verknllpfung)
2) 単に結合的ということがある．
2 第1章群の概念
A B 左上図のように長方形 ABCDのわ＜1)
の辺 ABおよび CDの上にそれぞれ点
Pi.P2, ・・・・・・, P”および Q1,Q2，・・・・〜 Q”
をPiとQ，とが向い合うようにとる. Pi
と.q.，とを1つずつ組合せ，糸でむすぷ．
c
とのようなものを組み糸 ）といい，上の
2
nを組み糸の次数という．
ここに糸でむすんだ対応点の組が変ら
Cl:
ず，また各糸の重なりの上下が変らなけ
れば糸はどんな形にゆがんでも同ーの組
つ
み糸とみなす．組み糸の2 a' bが左
p,_,
のように与えられている．
このときa, bのわくをそれぞれ左中
b: 図のようにつけて糸を連結すると左下図
になる．
Q,_, Q, l つぎに中のしきりを取り除いて全体の
幅を半分にすると下図のような組み糸が
得られる．これを組み糸αとbとの積と
Cl:
いう．
P,.,
ab:
b:
§2 群の定義と性質
I 集合Gの元の聞に演算マが定義されていて，つぎの4つの条件がみたさ
1) 「組み糸のわく」という．
2) braid.
首2 群の定義と性質 3
れてドるとき， Gは群をなすという．
1) Gt 主演算マをもっ代数系である．
2) Gは演算vについて結合的υである．
3) Gの任意の元aに対して
eva=a..,e=a
を満足するGの元eがある．このeをGの単位元とよぶ．
4) Gの任意の元aに対して
a..,b=b..,a=e
を満足するGの元bがある．このbをaの逆元といって a-1と表わす.Gの元
に対し逆元ィ1があるときaを正則元とよぶことがある．
II 演算マに関し加法系の群を加群 ），乗法系の群を乗法群むという．加群
2
のばあいの単位元を，とくに零元という．
lil 群Gがその演算について交換法則を満足するときGを可換群またはアー
ベル群という．
N 群の条件のうち1）および2）を満足する集合を半群という．
v 半群Gの任意の元aに対し， ae=aなる元eを右単位元．またGが単位
元をもっとき， ab=eなる元bをaの右逆元という．左単位元，左逆元に対し
ても，上の式で位置が左側にかわるだけで同様である·~
VI 可換な半群Gのn個の元の列を ai.a2，……，向とするとき
ap1ap，＇・・・ap.=a1a2 ...... a,. （ここに ρ1P2..…れは 123・・・...n の並べ
M
かえたもの）である．
VII 群Gが有限個の元からなるとき， Gを有限群，無限個の元からなるとき
無限群という．またその元の個数をその群Gの位数といって， IGIで表わす．
1狙 有限群Gの元aにおいて ak=e（加群の場合 ka=O）となる最小な正整
数kを元αの位数という.O(a）と表わすことがある．このとき一般に a"'=e
なら klmである（後掲14頁［類題J参照）．
1) 一般にn個（n孟3）の元ai.a2，”，anについて結合法則が成りたつ．すなわちこれらn個を乙の順に並ベτ
結合するとき，どの部分から先に結合しでも，その結果はすべて積a1a2・・・anになる．
2) 一般に乗法群に対して加群とは演算記号が加法で示されるアーベル群を言う．
3) 本書では群と言えば断りのない限り一般に乗法群を意味するものとする．
4 第1章群の概念
区 群Gの単位元はただ一つ存在する．単位元のみから成る群｛e｝を単位
群という．
x
群Gの任意の元の逆元はただ一つ存在する．
XI 群の条件のうち 3）と 4）は有限群についてはつぎの条件でおきかえら
れる．
「有限群の任意の3つの元をa,b, cとするとき，
a"'b=aマCならば b=c
b"'a=c"'aならば b=cj（簡約法則）
§3 対 称 群
I n個の数字の集合をA={1, 2, ・.. ，・n）とするとき， これらを自分自身
H
へ1対1にうつしていく．
……
たとえば /1 23 n\
\a1a2a3•·· ・・・an/
ここにat(i=l,2, ・.. ，・n）はAの異なるいずれかの数字を表わす．このよう
H
な置換の数は n！個あり，これらの全体は下に示すような演算マによって群を
なす．これをn次の対称群といって Snで表わす．
すなわち，任意の2つの置換
に対し，演算マを
と定義する．
単位元としては，恒等置換
e=G ::::::: ::)
1) ぬ＝（(3 21 ・・…・n-1\l と同じことである．
\asa2a1・・・・＂an-1I
