Table Of ContentDie Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften
in Einzeldarstellungen
mit besonderer Berücksichtigung
der Anwendungsgebiete
Band 206
Herausgegeben von
S. S. ehern J. L. Doob J. Douglas, jr.
A. Grothendieck E. Heinz F. Hirzebruch
E. Hopf W. Maak S. MacLane
W. Magnus M. M. Postnikov F. K. Schmidt
D. S. Scott K. Stein
Geschäftsführende Herausgeber
B. Eckmann J. K. Moser B. L. van der Waerden
Michel Andre
Homologie
des algebres commutatives
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1974
Michel Andre
Ecole Polytechnique Federale de Lausanne
Geschäftsführende Herausgeber
B. Eckmann
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich
J. K. Moser
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York
B. L. van der Waerden
Mathematisches Institut der Universität Zürich
AMS Subject Classifications (1970):
Primary 18 H 20 Secondary 14 A 05
ISBN 978-3-642-51450-0 ISBN 978-3-642-51449-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-51449-4
Das Werk ist urheberrechtlich geschlitzt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der
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gewerbliche Zwecke ist gemäß § 54 UrhG eine VergUtung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit
dem Verlag zu vereinbaren ist. © by Springer·Verlag Berlin Heidelberg 1974. Library of Congress
Catalog Card Number 73-15289_
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1974
A Carquinette
In trod uction
L'exemple des groupes discrets et l'exemple des algebres de Lie le
montrent, il est utile d'associer a une structure algebrique une bonne
notion de modules d'homologie et une bonne not ion de modules de
cohomologie. Ce livre est consacre au cas des algebres commutatives.
A une A-algebre B, on sait associer le module des differentielles et le
module des derivat ions. En derivant ces deux foncteurs de maniere
convenable, c'est-a-dire de maniere simpliciale, on obtient des modules
d'homologie Hn(A,B, W) et des modules de cohomologie Hn(A,B, W)
et cela pour tout B-module W. 11 s'agit d'etudier systematiquement ces
modules dont les premiers (0 ~ n ~ 3) sont lies ades notions interessan
tes. En degre 0, on retrouve differentielles et derivat ions. A vec des
modules, nuls, respectivement en degre 1, en degre 2 et en degre 3,
apparaissent les algebres lisses, les anneaux reguliers et les intersections
completes. En outre la theorie permet d'aborder quelques problemes
non-noetheriens.
En principe, un cours d'introduction a l'algebre homologique et un
co urs d'introduction a l'algebre commutative devraient permettre la
lecture de ce texte, excepte l'appendice. Quelques theoremes c1assiques
sont redemontres: celui de Cohen sur les anneaux complets, celui de
Hilbert-Serre sur les anneaux de dimension homologique finie, celui de
Kaplansky sur les modules projectifs des anneaux locaux. L'emploi de
techniques fines d'algebre homologique est evite; ainsi il n'est quest ion
d'aucune suite spectrale. Sauf indication contraire, toutes les algebres
de ce livre sont supposees associatives, commutatives et unitaires.
Ce livre doit beaucoup a certains travaux de Messieurs A. Grothen
dieck, L. Illusie et D. Quillen. Je les remercie de leur aide directe ou
indirecte. Mes remerciements vont egalement au Professeur B. Eckmann,
qui a accepte ce livre dans la collection qu'il dirige, a la Maison Springer,
dont j'apprecie la qualite du travail et a l'Institut Battelle, qui m'a
permis d'entreprendre cette recherche.
A une A-algebre B, on peut associer de maniere naturelle un com
plexe de B-modules libres, appele le complexe cotangent de I'algebre
VIII Introduction
(egalite 3.4). Ce complexe T*(A,B) per met de definir les modules d'homo
logie de l'algebre (definition 3.11)
Hn(A,B, W) = Yt,,[T*(A,B)@B W]
et les modules de cohomologie de l'algebre (definition 3.12)
Hn(A,B, W) = Yfn[HomB(T*(A,B), W)].
En particulier l'homologie et la cohomologie d'une algebre libre sont
triviales (corollaire 3.36). Quant au module Ho(A,B,B) il est toujours
isomorphe au module des differentielles de Kaehler QBIA (proposition
6.3). Lorsque l'anneau Best un quotient de l'anneau A, la situation est
simple en degre 1 (proposition 6.1)
HI (A, B, W) ~ Tor}(B, W)
et en degre 2 (theoreme 15.8, propositions 15.9 et 15.12)
H2(A,B, W) ~ Tor1(B, W)jTor}(B,B). Tor}(B, W).
a
En ajoutant des variables independantes l'anneau A, il est d'ailleurs
a
possible de se ramener ce cas particulier (corollaire 5.2).
Dans cette theorie, les modules d'homologie relative sont en fait
a
des modules d'homologie absolue. De maniere precise: une A-algebre
B et a une B-algebre C correspond une suite exacte, dite de Jacobi
Zariski (theoreme 5.1)
... --+ Hn(A,B, W) --+ Hn(A, C, W) --+ Hn(B, C, W) -+ Hn_ I (A, B, W) --+ ••••
De cette suite decoulent des relations entre differentielles de Kaehler
(n = 0), algebres lisses (n = 1), anneaux reguliers (n = 2) et intersections
completes (n = 3). Une autre propriete fondamentale est la suivante
(proposition 4.54): deux A-algebres B et C qui sont Tor-independantes
a
donnent lieu un isomorphisme pour tout entier n et pour tout B®AC
module W
11 est alors clair que les modules d'homologie se localisent de la maniere
la plus simple qui soit (corollaires 4.59 et 5.27)
Hn(R-I A,S-I B, T-I W) ~ T-I Hn(A,B, W).
Enfin les modules d'homologie commutent aux limites inductives
(lemme 3.24, propositions 3.35 et 5.30). Le plupart de ces proprietes se
retrouvent pour les modules de cohomologie, avec parfois une hypo
these noetherienne.
La theorie simpliciale permet de considerer avec une algebre, non
seulement des generateurs (n = 0) et des relations (n = 1) mais encore
Introduction IX
a
des relations d'ordre superieur (n ~ 2). En linearisant cette donnee
l'aide du foncteur Q de Kaehler, on obtient un complexe de modules
libres (definition 4.39) qui est homotope au complexe cotangent et qui
permet de calculer les modules d'homologie ou de cohomologie de
l'algebre en quest ion (theoreme 4.43). En particulier, le complexe co
tangent d'une algebre de type fini sur un anneau noetherien est homo
a
tope un complexe de modules libres de type fini (theoreme 4.46, pro
positions 4.55 et 4.57). Par ailleurs, lorsque cela a un sens, il est
possible de calculer les modules de cohomologie par approximation,
si les anneaux A et B sont noetheriens (theoreme 10.14)
Hn(A,B, W) ~ limHn(Ajlk,BjJ\ W).
~
Le premier module de cohomologie H1(A,B, W) classifie les surjections
de A-algebres dont le noyau est un ideal de carre nul (proposition 16.12)
O--W--X--B--O.
Par consequent, dans le cas noetherien toujours, les algebres formelle
ment lisses sont caracterisees par l'un ou l'autre des deux isomorphismes
suivants
En degres superieurs, les modules de cohomologie sont alors aussi nuls
(theoreme 16.18, proposition 7.23).
Considerons maintenant le cas ou A est un anneau local noetherien
et ou Best son corps residuel. Alors l'anneau A est regulier si et seule
ment si le module H (A,B,B) est nul (proposition 6.26). De meme
2
l'anneau A est une intersection complete si et seulement si le module
H (A,B,B) est nul (proposition 6.27, corollaire 10.20) ou encore si et
3
seulement si le module H (A,B,B) est nul (theoreme 17.13). En outre,
4
lorsque la caracteristique du corps residuel est nulle, il existe une egalite
de series formelles (corollaire 19.41)
Ißn tn= (1 + t)"(l - t2)-'2(1 + t3)'3(1 - t4) -'4 ...
OU ßn est la dimension de l'espace vectoriel Tor:(B,B) et ou Gn est la
dimension de l'espace vectoriel Hn(A, B, B). On a aussi un resultat
complet dans le cas ou la A-algebre Best simplement une extension de
a
corps. Si nest au moins egal 2, l'espace vectoriel Hn(A,B,B) est nul
(proposition 7.4). L'espace vectoriel H (A, B, B) est nul si et seulement
1
si l'extension est separable (proposition 7.15). Enfin la difference des
dimensions des espaces vectoriels Ho(A, B, B) et H (A, B, B) est egale
1
au degre de transcendance (proposition 7.6). Le critere de separabilite
de MacLane est obtenu sous la forme d'un isomorphisme (proposition
7.22). Cet isomorphisme se lais se generaIiser (theoreme 7.26) et demontre
x Introduction
l'equivalence de la lissite formelle et de la regularite geometrique
(corollaire 7.27).
A nouveau considerons le cas particulier important B = AI I, sans
hypothese noetherienne, mais avec le All-module 1112 suppose pro
jectif. Voici un premier resultat (theoreme 12.2). La AI I -algebre graduee
commutative I)mI Im + 1 est une algebre symetrique si et seulement si
le module
est nul pour tout B-module W. Voici un second resultat (theoreme
14.22). La AI I -algebre graduee anticommutative I Tor~(B, B) est une
algebre exterieure si et seulement si le module Hn(A,B,B) est nul pour
tout entier n # 1 ou encore si et seulement si d'une part la AI I -algebre
graduee commutative IImlIm+l est une algebre symetrique et d'autre
part le A-module All satisfait cl une condition qui fait penser au lemme
d'Artin-Rees et qui est realisee dans le cas noetherien. La demonstration
de ce resultat utilise fortement un theoreme de convergence de la theorie
simpliciale (proposition 13.3).
L'appendice generalise la theorie developpee jusqu'ici dans le cadre
de l'algebre commutative. On considere un espace topologique et un
faisceau d'algebres fJI defini sur un faisceau d'anneaux d. Le complexe
cotangent est alors un complexe de faisceaux de modules (definition 29).
En homologie (definition 33), on obtient des faisceaux de modules
Hn(d,fJI, iII) et en cohomologie (definition 36), on obtient simplement
des modules Hn(d,fJI, iII). Les modules des faisceaux du complexe co
tangent sont plats sans etre projectifs en general, ce qui exige un peu
de soin dans la definition des modules de cohomologie. On retrouve
les proprietes du cas ponctuel, en particulier les suites exactes de J acobi
Zariski (theoremes 73 et 74). Quant aux changements de base, ils s'effec
tuent cl l'aide des deux formules suivantes:
sans aucune hypothese (corollaire 54) et
avec le foncteur f* suppose exact (proposition 56). Dans le cas particu
lier d'un morphisme affine de schemas affines, on a d'une part un fais
ceau d'algebres fJI defini sur un faisceau d'anneaux d et d'autre part
une algebre B definie sur un anneau A; mais alors le faisceau Hn(d,fJI, iII)
est quasi-coherent et correspond au module Hn(A,B, W), en outre les
modules Hn(d,fJI, iII) et Hn(A,B, W) so nt isomorphes (propositions 93
et 96).
I ntroduction XI
Le supplement generalise aux algebres analytiques ce que l'on sait
des algebres affines au point de vue homologique. Le theoreme de
preparation de Weierstrass permet de demontrer que l'homologie d'une
algebre de series formelles, ou de series convergentes, ou meme de
se ries strictement convergentes, est triviale (theoreme 3 et exemples 5,
6, 7). 11 n'en va pas de meme de la co homologie. Si A est un corps et si
B s'obtient (algebre analytique) en localisant une algebre de type fini,
definie sur un des anneaux mentionnes ci-dessus, alors les modules
d'homologie Hn(A,B, W) jouissent de proprietes remarquables de fini
tude pour n non nul (propositions 12 et 15). Il est alors possible de
caracteriser les anneaux reguliers (proposition 21) et les intersections
completes (proposition 25) parmi les algebres analytiques, gräce aux
modules des differentielles ordinaires Ho(A,B,B). Enfin, de maniere plus
generale, il est possible de caracteriser compIetement les algebres plates et
noetheriennes dont l'homologie est nulle sauf en degre nul (theoreme 30).
