Guia de Calculo Diferencial UACM

97 Pages·2020·0.306 MB·Spanish

by  Evzy Oscar Garcia Ramirez

Guía CD
Para prepeparar el
examen de certificación de
Cálculo Diferencial
M.C. Oscar Ramírez
UNIVERSIDAD AUTONOMA CIUDAD DE MEXICO 2019©

Introducción
***
Esta guía es para aquellas personas que por circunstancias de tipo
extraordinaria, trabajo, salud ú otras, no han podido aprobar el curso
de Cálculo Diferencial de manera regular, y como opción sólo tienen
el examen de certificación. La guía se divide en secciones , una sección
por cada tema que comúnmente aparece en el examen de certificación
de CD. Cabe mencionar que la teoría no esta incluída en esta guía y
que es más bien práctica, es decir está pensada en los examenes que se
basan en ejercicios y no en aquellos que tienen una parte teórica.
Esperando que te sea de utilidad para que avances en tu carrera, última
revisión 2020.
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o
l
u 1
t
í
p
a
C
Álgebra
***
P R E L I M I N A R E S
Coeficientes Separados
Vamos a ejemplificar método de coeficientes separados con el polinomio x2 (cid:0)
2x(cid:0)2 y el polinomio 3x3(cid:0)x(cid:0)1, para multiplicar estos polinomios acomodamos
sus coeficientes en orden de mayor a menor según sea el grado de la variable
para efectuar el producto.1
x2 2x 2 3x3 x2 x 1
loomoon loomoon loomoon loomoon loomoon loomoon loomoon
1 2 2 (cid:2) 3 0 1 1
1Se procede escribiendo los coeficientes ordenados de acuerdo al grado del exponente de su
variable
5
El producto se efectua de izquierda a derecha como acontinuación se muestra2:
1 2 2 (cid:2) 3 0 1 1
3 0 1 1
6 0 2 2
6 0 2 2
3 6 7 3 4 2
hkkikkj hkkikkj hkkikkj hkkikkj hkkikkj hkkikkj
3x5 6x4 7x3 3x2 4x 2
Resumiendo, el producto de los polinomios x2 (cid:0)2x(cid:0)2 por 3x3 (cid:0)x(cid:0)1 es :
3x5 (cid:0)6x4 (cid:0)7x3 (cid:0)3x2 (cid:0)4x(cid:0)2
EJERCICIO
Efectua los siguientes productos de polinomios:
i) x4 (cid:0)x3 (cid:0)x2 (cid:0)x por x4 (cid:1)x3 (cid:0)x2 (cid:1)x(cid:0)1
ii) 2x4 (cid:1)3x3 (cid:0)x(cid:1)1 por x3 (cid:0)3x2 (cid:1)1
iii) x4 (cid:0)4x3 (cid:1)5x2 (cid:1)2 por x4 (cid:1)4x3 (cid:1)5x2 (cid:1)2
iv) x5 (cid:1)3x4 (cid:0)x3 (cid:1)x(cid:0)1 por 3x3 (cid:0)7x2 (cid:1)x(cid:0)1
v) x(cid:0)1 por x4 (cid:0)x2 (cid:0)1
2Efectuando el producto por coefientes separados obtenemos los coeficientes ordenados del po-
linomio producto de acuerdo a la potencia de la variable asociada
Factorización
Vamos a presentar dos métodos para factorizar polinomios, el primero sirve
para los de segundo grado con raices racionales, el segundo para los polinomios
de grado mayor a dos con raices racionales.
Polinomios Cuadráticos(método de la tijera)
El método de la tijera sólo sirve para polinomios de segundo grado que
tienen raices racionales3. Para ejemplificar para 2x2 (cid:0) 7x (cid:0) 3 buscaremos los
divisores del coefiente del termino cuadrático y del termino constante tales
que multiplicados nos den el coeficiente respectivo, digamos para el 2, que es
el coeficiente del termino cuadrático, tenemos que sus divisores son el 2 y el 1,
para el termino constante, el 3, sus divisores son el 3 y 1. Luego procedemos
a ponerlos en un arreglo como se muestra a continuación:
2 x2 + 7x + 3
loomoon loomoon
2 3
1 1
Ahora en dicho esquema hacemos el producto cruzado de los divisores encon-
trados para obtener dos números tales que sumados resulten en el coeficiente
del termino lineal, en nuestro ejemplo es el 7, y que multiplicados resulten el
producto del coeficiente del termino cuadrático por el termino constante, en
nuestro caso es 2(cid:2)3 (cid:16) 6, es decir:
2 x2 +7x+ 3
loomoon loomoon
=1
2 1
1
=6
3
3Es natural preguntar cómo sabemos que un polinomio cuadrático con coeficientes enteros
ax2 (cid:0)bx(cid:0)c tiene raices racionales?, la respuesta nos la dará el discriminante b2 (cid:1)4ac. Cuan-
do el discrimante sea un cuadrado exacto o cero, podemos ocupar el método de la tijera, y en otro
caso No lo podremos ocupar
Estos dos números que hemos encotrado son los requeridos pues 6 (cid:0) 1 (cid:16)
7, y 1 (cid:2) 6 (cid:16) 6. Observa que para que el método funcione ambos números
debensatisfacerambas condiciones,silasumaresultaelcoeficientedeltermino
lineal, pero el producto no resulta el producto del termino constante por el
coeficiente del termino cuadrático, entonces los números obtenidos no darán
la factorización4. Cuando ambas condiciones se satisfacen, con estos números
se procede como sigue para factorizar el polinomio:
2x2 + 7x + 3 = p2x(cid:0)1q px(cid:0)3q
2 1 (cid:18) 2x(cid:0)1
1 3 (cid:18) x(cid:0)3
x1s ctes
EJERCICIOS
Factoriza los siguientes polinomios cuadráticos:
i) 2x2 (cid:0)x(cid:1)3
Resp. px(cid:1)1qp2x(cid:0)3q
ii) (cid:1)4x2 (cid:0)6x(cid:0)4
Resp. p4x(cid:0)2qp2(cid:1)xq
iii) 5x2 (cid:1)11x(cid:0)6
Resp. p5x(cid:1)6qpx(cid:1)1q
4Es decir, para que los 4 números encontrados nos sean utíles para factorizar la suma de los
productoscruzadosdebenresultarenelcoeficientedeltérminolineal,yelproductodelosproductos
cruzados deben resultar en el producto del coeficiente de la variable al cuadrado por el termino
constante.
iv) (cid:1)5x2 (cid:1)4x(cid:0)1
Resp. p(cid:1)5x(cid:0)1qpx(cid:0)1q
v) 5x2 (cid:0)16x(cid:0)3
Resp. px(cid:0)3qp5x(cid:0)1q
vi) 6x2 (cid:0)7x(cid:0)2
Resp. p2x(cid:0)1qp3x(cid:0)2q
vii) 63x2 (cid:0)35x(cid:0)8
Resp. p7x(cid:0)1qp9x(cid:0)8q
Polinomios de grado-n (División Sintética)
El método de división sintética también obtiene las raices racionales de un
polinomio, solo que ahora podemos considerar que el grado del polinomio sea
mayor a dos. Por ejemplo, dado el polinomio 6x3 (cid:0) 23x2 (cid:0) 26x (cid:0) 8 primero
procedemos a inspeccionar si dicho polinomio tiene raices enteras5, de ser así
estas deben ser los divisores del termino constante, en nuestro caso tenemos
que los divisores de 8 son (cid:8)1,(cid:8)2,(cid:8)4,(cid:8)8, ahora para averiguar cúal de estos
divisores es raíz de la expresión 6x3 (cid:0) 23x2 (cid:0) 26x (cid:0) 8 procedemos a sustituir
los valores de x por el del correspondiente divisor, es decir:
x 6x3 (cid:0)23x2 (cid:0)26x(cid:0)8
-1 6p(cid:1)1q3 (cid:0)23p(cid:1)1q2 (cid:0)26p(cid:1)1q(cid:0)8 (cid:16) (cid:1)1 -1 no es raíz
-2 6p(cid:1)2q3 (cid:0)23p(cid:1)2q2 (cid:0)26p(cid:1)2q(cid:0)8 (cid:16) 0 -2 si es raíz
5RAICES ENTERAS
Ahora, una vez encontrada una raíz de la expresión 6x3 (cid:0)23x2 (cid:0)26x(cid:0)8
separamos sus coeficientes, en orden decendente de la x de mayor exponente
a la de menor exponente como a continuación se muestra:
6 23 26 8
bajamos el primer coeficiente como a comtinuación se muestra:
6 23 26 8
6
Vamos a ocupar la raíz que encontramos como se muestra acontinuación:
6 23 26 8
6(-2)+23=11
6 11
Es decir que el primer coeficiente, el 6, lo vamos a multiplicar por la raíz
encontrada y posteriormente le sumamos el siguiente coeficiente en orden des-
cente, el 23. Así procedemos con los demás y obtenemos:
6 23 26 8
6(-2)+23=11 11(-2)+26=4 4(-2)+8=0
6 11 4 0
Con los números asi obtenidos6 en la parte inferior del arreglo y con la raíz
encontrada procedemos a factorizar la expresión 6x3 (cid:0) 23x2 (cid:0) 26x (cid:0) 8 como
producto de dos factores uno de los cuales va a ser px(cid:1)aq, donde a es la raíz
que encotramos, en nuestro caso este factor queda como px(cid:1)p(cid:1)2qq (cid:16) px(cid:0)2q. El
otro factor tiene como coeficientes de sus x1s en orden creciente a los números
que están abajo del arreglo anterior es decir :
6El cero obtenido en el arreglo es el residúo de la división, si el residuo no es cero el candidato
a raíz no era raíz del polinomio