Table Of ContentW.GÄHLER
GRUNDSTRUKTUREN DER ANALYSIS II
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 61
LEHRBüCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
GRUNDSTRUI(TUREN
DER ANALYSIS 11
von
Dr. habil. WERNER GÄHLER
Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik
der Akademie der Wissenschaften der DDR
1978
SPRINGER BASEL AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Gähler, Werner
Grundstrukturen der Analysis.
2. - 1. Aufl. - 1978.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete
der exakten Wissenschaften: Math. Reihe;
Bd.61)
ISBN 978-3-0348-5287-6 ISBN 978-3-0348-5286-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5286-9
Nachdruck verboten.
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1978
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag, Basel, 1978
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1978
ISBN 978-3-0348-5287-6
VORWORT
Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei
neren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe,
die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim
Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel
zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt
man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g f) (x) =
0
= Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von
L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t» (x).
Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten
regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß
(Dt, Dg t> in x und y in (Dt, Dg t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, daß
0 0
y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschränkend. Verlangt man, daß die
Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in
Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all
gemeinen nicht erfüllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, daß die
Vektorraumtopologien so beschaffen sind, daß im Falle X = R oder C die natür
lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso
morphien sind. Bezüglich geeigneter Vektorraumlimitierungen ist y hingegen
stetig, und im Rahmen der Theorie der limitierten Vektorräume läßt sich für
eine Reihe von Ableitungsbegriffen und für sehr allgemeine Räume X, Y undZ
die Kettenregel höherer Ordnung beweisen.
Wir gehen auf die Differentialrechnung im vierten, dem letzten Kapitel dieses
Bandes ein. Im ersten Kapitel wird die limitierte Algebra behandelt. Insbeson
dere wird in ihm die Theorie der limitierten Gruppen und die Theorie der limi
tierten Vektorräume entwickelt. Neben limitierten Vektorräumen untersuchen
wir einen etwas schwächeren Begriff, den Begriff der limitierten linearen Gruppe.
Er spielt in der Theorie der Abbildungsräume eine wichtige Rolle. Im Anschluß
an die Behandlung von Vervollständigungsproblemen wird auf eine Reihe kate
gorientheoretischer Begriffe eingegangen, zum Beispiel auf den Begriff des adjun
gierten Funktors und - im Zusammenhang mit projektiven Tensorprodukten -
auf den Begriff der monoidalen Kategorie. Schließlich wird im ersten Kapitel
eine Verallgemeinerung der Theorie der bornologischen Räume vorgenommen.
Die beiden weiteren Kapitel befass~n sich mit wichtigen Begriffen der Mengen
konvergenz und der Konvergenz in Abbildungsräumen, unter anderem der
stetigen Konvergenz und Verallgemeinerungen der gleichmäßigen Konvergenz.
VI Vorwort
Aufbauend auf kategorientheoretische Untersuchungen im ersten Kapitel wer
den im dritten Kapitel ferner abgeschlossene Kategorien behandelt. Auf der
Grundlage der Ergebnisse des zweiten und dritten Kapitels wird im letzten Kapi
tel die Differentialrechnung entwickelt, in der die meisten der in der Literatur
auftretenden Differenzierbarkeitsbegriffe enthalten sind.
Das angegebene Literaturverzeichnis bezieht sich aufbeide Bände. Im Symbol
und Sachverzeichnis sind hingegen lediglich die in diesem Band eingeführten
Symbole und Begriffe enthalten.
Der Autor ist mehreren Kollegen für wertvolle Hinweise zu Dank verpflichtet.
Sein besonderer Dank gilt Herrn G. KNEIS, der das gesamte Manuskript kritisch
durchgesehen und die Korrekturen mitgelesen hat. Im Arbeitsseminar mit
S. GÄHLER, dem Bruder des Autors, und mit G. KNEIS wurde das Problem der
Vervollständigung pseudotopologischer Vektorräume gelöst; die Lösung ist
im Abschnitt 5.20 angegeben. Herzlichen Dank möchte der Autor seiner Frau
aussprechen, die die Belastungen, die mit der Anfertigung dieser zweibändigen
Monographie auch auf sie zukamen, mit viel Verständnis auf sich genommen und
dem Autor manche Verpflichtung abgenommen hat. Schließlich dankt der
Autor - wie bereits beim ersten Band - dem Verlag für die freundliche Bereit
willigkeit, mit der dieser auf seine Wünsche eingegangen ist, und der Druckerei
"Thomas Müntzer", Bad Langensalza, für die sorgfältige und gute Ausstattung
des gesamten Buches und die ausgezeichnete Durchführung der Korrekturen.
Berlin, 1977 W. GÄHLER
INHALTSVERZEICHNIS
o.
Limitierte Algebra 1
5.1. Gruppen. . 2
5.2. Radialräume 19
5.3. Vektorräume 30
5.4. Limitierte Gruppen, limitierte Radialräume, limitierte Vektorräume • 38
5.5. Die assoziierten verträglichen Limitierungen, Pseudotopologien, mehrstufigen
Topologien und Topologien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6. Über die Limesuniformisierbarkeit limitierter Gruppen. . . . . . 60
5.7. Verallgemeinerte limitierte Radialräume, limitierte lineare Gruppen 73
5.8. Gleichförmigkeit, Kreisförmigkeit und Ausgeglichenheit 79
5.9. Lokale Konvexität . . . . . . . . . . . . 90
5.10. Die assoziierten lokalkonvexen Limitierungen. . . . . 103
5.11. Initiallimitierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 109
+
5.12. Beziehungen zwischen Initiallimitierungen und den Funktoren :11:, und A 118
5.13. Finallimitierungen bezüglich Gruppenhomomorphismen 125
5.14. Finallimitierungen bezüglich homogener Abbildungen .......... 139
5.15. Finallimitierungen bezüglich linearer Abbildungen. . . . . . . . . . . . 147
+
5.16. Beziehungen zwischen Finallimitierungen und den Funktoren :j(;, und A 163
5.17. Verallgemeinerte Halbmetriken und verallgemeinerte Halbnormen 173
5.18. Beschränktheitsbegriffe . . . . . . . . . . . . . 182
5.19. Lokale Beschränktheit. . . . . . . . . . . . . . 196
5.20. Vervollständigung pseudotopologischer Vektorräume . 205
5.21. Adjungierte Funktoren . . . . . . . . . . . 222
5.22. Über reflektive und coreflektive Unterkategorien 232
5.23. Tensorprodukte und monoidale Kategorien . 248
5.24. Hypobornologien . . . . . . . . . . . . 263
6. l\'Iengenkonvergenz . . 282
6.1. Der abgeschlossene Limes 283
6.2. Der Fall der mehrstufigen Topologie und der Topologie 290
6.3. Der offene Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.4. Mengenkonvergenz, die von Systemen von "-Idealen von Dualfiltern abhängt 300
6.5. Drei Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7. Abbildungsräume . . . 317
7.1. Stetige Konvergenz 318
7.2. Abgeschlossene Konvergenz der Graphen. 332
VIII Inhaltsverzeichnis
7.3. Der Fall, daß c eine meru-stufige Topologie bzw. eine Topologie ist 335
7.4. Die Räume 0c(X, Y} und L~(X, Y} . . . . . . . . . . 342
7.5. Punktweise Konvergenz . . • . . . . . . . . . . . . 355
7.6. Kompaktheitskriterien bezüglich der stetigen Konvergenz 370
7.7. MABINEscu-Konvergenz . . . . . . . . . 374
7.8. Abgeschlossene Kategorien. . . . . . . . . . : . . . 380
7.9. Verallgemeinerte gleichmäßige Konvergenz. . . . . . . 385
7.10. Die limesuniforme Struktur der verallgemeinerten gleichmäßigen Konvergenz 397
7.11. Der Fall, daß Y eine abelsche pseudotopologische Gruppe ist 404
7.12. Drei Spezialfälle, Beispiele . . . . . . . . . 412
7.13. Vergleich der verschiedenen Konvergenzarten 421
7.14. Die Räume L~. k(X, Y} und H~b(X, Y} . 429
7.15. k-Uniformität, 18, k-Gleichförmigkeit. . . 448
7.16. Die Stetigkeit der Kompositionsabbildung 453
8. DifferentiaJrechnung . . . . . . . . . . . . 461
8.1. Der allgemeine Ableitungsbegriff, Restglieddefinitionen nach GIL DE LAMA-
DRID ..•...•................. 462
8.2. Weitere Restglieddefinitionen . . . . . . . . . . . . . . 470
8.3. ffi-Bereiche und der lokale Charakter der Differenzierbarkeit 474
8.4. Vergleich der verschiedenen Ableitungsbegriffe 481
8.5. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . 490
8.6. Einige Differenzierbarkeitseigenschaften 495
8.7. Der Fundamentalsatz, die Kettenregel . 503
8.8. Stetige Ableitungen, al-Abbildungen 510
8.9. Partielle Ableitungen . . . . . . . . 523
8.10. Ableitungen höherer Ordnung 530
8.11. Einige Eigenschaften der Ableitungen höherer Ordnung 541
8.12. Restglieder höherer Ordnung .. 553
8.13. Der TAYLORsche Lehrsatz . . . 557
8.14. Die Kettenregel höherer Ordnung 568
8.15. On-Abbildungen ...... . 581
8.16. Einige Eigenschaften der On-Abbildungen 592
Literaturverzeichnis . 596
Symbolverzeichnis 613
Sachverzeichnis 617
Grundstrukturen der Analysis I
INHALTSüBERSICHT
1. Mengenlehre
2. Filtertheorie
8. Limesräume
4. Limesuniforme Räume
5. LIMITIERTE ALGEBRA
In den ersten Abschnitten dieses Kapitels befassen wir uns mit Gruppen,
Radialräumen und Vektorräumen, wobei Radialräume Mengen sind, die mit
einer gewissen äußeren Verknüpfung, einer Art skalarer Multiplikation versehen
sind. Wichtige zugehörige algebraische Begriffe führen wir auf kategorientheo
retische Begriffe zurück. Zum Beispiel zeigen wir, daß die freien Produkte von
Gruppen die Coprodukte in der Kategorie der Gruppen, die direkten Produkte
abelscher Gruppen die Coprodukte in der Kategorie der abelschen Gruppen, die
Sternprodukte von Radialräumen die Coprodukte in der Kategorie der Radial
räume und die direkten Summen von Vektorräumen die Coprodukte in der
Kategorie der Vektorräume sind.
Mit Limitierungen versehene Gruppen, für die die Gruppenverknüpfung und
Inversenbildung stetig sind, heißen limitierte Gruppen. Entsprechend sind die
Begriffe limitierter Radialraum und limitierter Vektorraum definiert; wir
schwächen diese beiden Begriffe in Abschnitt 5.7 zu den Begriffen des verall
gemeinerten limitierten Radialraumes bzw. der limitierten linearen Gruppe ab.
Spezielle limitierte lineare Gruppen sind die topologischen Vektorgruppen im
Sinne von RAIROW und die von AWERBucH und SMOLJANOW eingeführten
pseudotopologischen linearen Gruppen. Letztere spielen in der Theorie der Ab
bildungsräume eine wichtige Rolle.
Alle pseudotopologischen Gruppen, d. h. alle limitierten Gruppen, deren Limi
tierungen Pseudotopologien sind, lassen sich auf natürliche Weise als pseudo
uniforme Räume auffassen, im nichtkommutativem Fall im allgemeinen auf
drei Arten. Die betreffenden pseudouniformen Strukturen, die sogenannte kano
nische rechts-pseudouniforme, kanonische links-pseudouniforme und kanonische
pseudouniforme Struktur stimmen für topologische Gruppen mit der kano
nischen rechts-uniformen, kanonischen links-uniformen bzw. kanonischen uni
formen Struktur überein. In pseudotopologischen Gruppen fallen bezüglich
dieser pseudouniformen Strukturen eine Reihe von Begriffen zusammen, wie
etwa regulär und gleichmäßig regulär sowie cHoQuETsch und gleichmäßig
cHoQuETsch.
Es gibt wichtige Eigenschaften limitierter linearer Gruppen, die in der Theorie
der topologischen Vektorräume nicht formuliert werden, da jeder topologische
Vektorraum diese Eigenschaften besitzt. Dazu gehören die Begriffe Gleichför
migkeit, Kreisförmigkeit und Ausgeglichenheit limitierter linearer Gruppen, die
wir in Abschnitt 5.8 einführen. In Abschnitt 5.9 befassen wir uns mit dem Be-
