Table Of ContentGr(cid:127)obnerbasen und Anwendungen
Wintersemester 2005/06
Notizen zur Vorlesung
H.-G. Gr(cid:127)abe, Institut fu(cid:127)r Informatik
http://www.informatik.uni-leipzig.de/~graebe
02. Februar 2006
1 Einfu(cid:127)hrung
1.1 Wiederholung lineare Gleichungssysteme
Allgemeine Gestalt A x=b mit m n-Koe(cid:14)zientenmatrix A.
(cid:1) (cid:2)
Eintr(cid:127)age der Matrix A sind aus einem K(cid:127)orper k. L(cid:127)osungen k(cid:127)onnen mit Hilfe der arithmetischen
Grundoperationen ausgedru(cid:127)ckt werden, d.h. sind ebenfalls u(cid:127)ber k de(cid:12)niert.
Beziehung zu linearer Abbildung
l : km kn
A
(cid:0)!
Begri(cid:11) homogenes und inhomogenes Gleichungssystem.
Struktursatz L(cid:127)osungsmenge inhomogenes Gleichungssystem. L(cid:127)osungsmenge L(A) des homogenen
Gleichungssystems ist Unterraum des kn.
m Anzahl der Variablen, n Anzahl der Gleichungen. Letzteres ist keine Invariante, da zwischen
den Gleichungen Abh(cid:127)angigkeiten bestehen k(cid:127)onnen. Betrachte statt dessen die Menge der Linear-
kombinationen Z(A) der Zeilenvektoren von A. Diese Menge bildet Unterraum von km, dessen
Dimension (Rang der Matrix A) eine Invariante des Gleichungssystems ist. Es gilt
rang A+dim L(A)=m
L(cid:127)osungsverfahren:TriangulierungA x=0suchtBasisdiesesUnterraumsheraus.AundA sind
0 0
(cid:1)
dabei(cid:127)aquivalent,dennesgibteineMatrixB Gl(n;k)mitB A=A (technisch:schreibeneben
0
2 (cid:1)
A die Einheitsmatrix und mache alle Zeilenumformungen auf den verl(cid:127)angerten Zeilen. Die Zeilen
von B geben dann immer an, wie sich die Zeilen von A aus denen von A ergeben haben). Die
0
dazu inverse Transformation wird durch B 1 gegeben und es gilt B B 1 =E.
(cid:0) (cid:0)
(cid:1)
1.2 Besonderheiten bei nichtlinearen Gleichungssystemen
Bsp: Pseudolineares Gl.-S.
1
Prof. Gr(cid:127)abe: Gr(cid:127)obnerbasen und Anwendungen 2
x2 + 4y2 = 1
1
y2 + 4x2 = 1
y0.5
-1 -0.5 00 0.x5 1
L(cid:127)osungsmenge
-0.5
p5 p5
L= ( ; ) -1
f (cid:6) 5 (cid:6) 5 g
Gleichungssystem nach Koordinatentransformation
0.4
x 1 3 x
= 0
y 2 1 y0 y0.2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
-0.6 -0.4 -0.2 00 0.2 x 0.4 0.6
17x2 + 22xy + 13y2 = 1 (1) -0.2
8x2 + 28xy + 37y2 = 1 (2) -0.4
KlassischesEliminationsverfahren der linearen Algebra hilft nicht mehr weiter.
37 (1) 13 (2) : 525x2+450xy=24
(cid:1) (cid:0) (cid:1)
Nun sind alle h(cid:127)ochsten Terme\ paarweise verschieden. Hier kann man zur Not nach y au(cid:13)(cid:127)osen
"
1 175x2 8
y = (cid:0) ;
(cid:0)150 x
in eine der Ausgangsgleichungeneinsetzen
1 203125x4 10000x2+832
(cid:0) =1
22500 x2
und dann nach x au(cid:13)(cid:127)osen. Ist eine (biquadratische) Gleichung 4. Grades in x
2 2 4 4
x= p5 ; x= p5 ; x= p5 ; x= p5
25 (cid:0)25 25 (cid:0)25
(cid:26)(cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:27)(cid:27)
L(cid:127)osungsmenge ist aber auch so bekannt:
(x;y)= (1;1) (1; 1) ( 1;1) ( 1; 1) p5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3) 5
(x;y )= (2;1) ( 4;3) (4; 3) ( 2; 1) p5
0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)25
Schlussfolgerungen:
Im Zuge der Elimination treten auf natu(cid:127)rliche Weise nichtlineare Gleichungen in einer Va-
(cid:15)
riablen auf.
Der Grad einer solchen Gleichung kann h(cid:127)oher sein als der Grad der Ausgangsgleichungen.
(cid:15)
Mit dem L(cid:127)osen solcher nichtlinearer Gleichungen wird der Bereich der Polynome verlassen.
(cid:15)
Damit erh(cid:127)oht sich die Komplexit(cid:127)at der Rechnungen.
EsergibtsichdieFrage,obesauchfu(cid:127)rnichtlineareGleichungssystemeEliminationsverfahrengibt,
die so lange wie nur m(cid:127)oglich mit Polynomen rechnet. In unserem Beispiel mu(cid:127)sste das folgende
Ergebnis herauskommen:
Prof. Gr(cid:127)abe: Gr(cid:127)obnerbasen und Anwendungen 3
L(cid:127)osungsmenge hat paarweiseverschiedene x-Werte. Das sind die Nullstellen des Polynoms
16 4 4 26
(x2 )(x2 ) = x4 x2 +
(cid:0) 125 (cid:0) 125 (cid:0) 25 56
Es gibt genau eine polynomiale Funktion 3. Grades, die durch die vier L(cid:127)osungen geht (Interpola-
tionsaufgabe):
625 11
y = x3 + x
(cid:0) 48 12
Eine allgemeine Theorie mu(cid:127)sste also die Polynome
f := 17x2 + 22xy + 13y2 1
1
(cid:0)
f := 8x2 + 28xy + 37y2 1
0.4 2 (cid:0)
y
0.2
umwandeln in
-0.6 -0.4 -0.2 00 0.2 x0.4 0.6
4 26
-0.2 g := x4 x2 +
1 (cid:0) 25 56
-0.4 625 11
g := y + x3 x
2
48 (cid:0) 12
Beide Gleichungssysteme sind sogar (cid:127)aquivalent:
g f f g
1 =M 1 und 1 =M 1
g2 1(cid:1) f2 f2 2(cid:1) g2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
mit
74 yx + 91 x2 296 26 yx + 41 x2 + 104
M := (cid:0)625 1875 (cid:0) 46875 625 1875 46875
1
(cid:0) 37y + 91 x (cid:1) (cid:0) 13y + 41 x (cid:1)!
(cid:0)24 144 24 144
und (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
5078125 (x2 36 ) 8125(x3 1628x 48 y)
M := (cid:0) 2304 (cid:0) 325 48 (cid:0) 8125 (cid:0) 625
2
14453125(x2 36 ) 23125(x3 2972 x 48 y)!
(cid:0) 2304 (cid:0) 925 48 (cid:0) 23125 (cid:0) 625
Allerdings gilt nicht wie im linearen Fall M M =E, sondern nur M M g=g und M M f =f
1 2 1 2 2 1
1.3 Folgerungen
Wir ben(cid:127)otigen
polynomiale statt skalarer Linearkombinationen
(cid:15)
Ringe statt Vektorr(cid:127)aume
(cid:15)
Ideale statt Unterr(cid:127)aume
(cid:15)
Au(cid:25)erdem ist die Nullstellenbestimmung univariater Polynome eine Unteraufgabe der allgemei-
nen Fragestellung, die fu(cid:127)r algebraisch nicht abgeschlossene K(cid:127)orper zus(cid:127)atzliche Schwierigkeiten
bereith(cid:127)alt.
Aufgabe 1 Versuchen Sie dasselbe Programmmit
y2 x2 = 1
(cid:0)
y2 + x2 = 5
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x 1 2 x
und der Koordinatentransformation = 0
y 2 1 y
0
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
2 Grundlagen
2.1 Ringe und Polynomringe
De(cid:12)nition Ring (R;+; ).
(cid:3)
Alle Ringe in diesem Kurs sind kommutativ mit 1.
u R hei(cid:25)t Einheit, wenn es u R mit uu = u u = 1 gibt. Die Menge aller Einheiten bildet
0 0 0
2 2
eine multiplikative Gruppe R .
(cid:3)
Ein Ring hei(cid:25)t K(cid:127)orper, wenn alle a R;a=0 Einheiten sind.
2 6
Beispiele fu(cid:127)r K(cid:127)orper: (cid:0) ; ;Fp = =p .
(cid:1) (cid:2) (cid:2)
ist kein K(cid:127)orper, es gilt (cid:3) = +1; 1 .
(cid:2) (cid:2) f (cid:0) g
Eine operationstreueAbbildung (cid:30):R R zwischen zwei Ringen R und R bezeichnet man als
0 0
(cid:0)!
Ringhomomorphismus.
Sei A ein Ring. Als Monom bezeichnet man ein Potenzprodukt
x(cid:11) =x(cid:11)1 ::: x(cid:11)n; (cid:11)=((cid:11) ;:::;(cid:11) ) n
1 (cid:1) (cid:1) n 1 n 2(cid:3)
Die Menge aller Monome
T =T(x)=T(x ;:::;x )= x(cid:11) : (cid:11) n
1 n
f 2 (cid:3) g
ist eine Halbgruppe mit 1 = x0 bzgl. der u(cid:127)blichen Multiplikation, das Termmonoid. Damit ist
auch eine Teilbarkeitsrelationauf den Monomen de(cid:12)niert.
(cid:11) =(cid:11) +:::+(cid:11) bezeichnet man als den Totalgrad des Monoms x(cid:11) (bzgl. der Standardgradu-
1 n
j j
ierung).
Als Polynom in x1;:::;xn u(cid:127)berA bezeichnet manjede endliche A-lineare(mit c(cid:11) A) Kombina-
2
tion von Monomen
f = c x(cid:11):
(cid:11)
X
Fu(cid:127)r f =0 bezeichnet man die Zahl
6
deg(f):=max (cid:11) : a =0
(cid:11)
fj j 6 g
als den Totalgrad von f. Ist A nullteilerfrei, so gilt
deg(f g)=deg(f)+deg(g),
(cid:15) (cid:1)
deg(f +g) max(deg(f);deg(g)) und Gleichheit, wenn deg(f)=deg(g) ist.
(cid:15) (cid:20) 6
Die Polynome in x1;:::;xn u(cid:127)ber A bilden mit den u(cid:127)blichen Operationen wieder einen Ring, den
Polynomring R=A[x ;:::;x ]. A kann in R mit dem Unterring der Polynome vom Totalgrad 0
1 n
identi(cid:12)ziert werden. Ist A nullteilerfrei, so gilt R =A .
(cid:3) (cid:3)
2.2 Termordnungen
Die Darstellung f = c x(cid:11) kann in den meisten CAS aus allgemeineren Darstellungen polyno-
(cid:11)
mialer Ausdru(cid:127)cke durch expandgewonnen werden.
P
Diese Darstellung ist eindeutig, d.h. eine kanonische Form fu(cid:127)r Polynome f R, wenn fu(cid:127)r die
2
Koe(cid:14)zienten, also die Elemente aus A, eine solche kanonische Form existiert und die Reihenfolge
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derSummandenfestgelegtist.ZurFestlegungderReihenfolgede(cid:12)niertmangew(cid:127)ohnlicheinetotale
Ordnung auf T(x).
AlsdistributiveDarstellungeinesPolynomsf Rbzgl.einersolchenOrdnungbezeichnetmaneine
2
Darstellung f = c xa, in welcher die Summanden paarweise verschiedene Terme enthalten,
a a
diese in fallender Reihenfolge angeordnet sind und die einzelnen Koe(cid:14)zienten in ihre kanonische
P
Form gebracht wurden. In dieser Darstellung ist die Addition von Polynomen besonders e(cid:14)zient
ausfu(cid:127)hrbar. Ist die gew(cid:127)ahlte Ordnung daru(cid:127)berhinaus monoton, d.h. gilt
s<t s u<t u fu(cid:127)r alle s;t;u T(x);
) (cid:1) (cid:1) 2
sokann man auchdie Multiplikation rechte(cid:11)ektiv ausfu(cid:127)hren,da dann beim gliedweisenMultipli-
zieren einer geordneten Summe mit einem Monom die Summanden geordnet bleiben. Ordnungen
mit dieser Zusatzeigenschaft bezeichnet man als Termordnungen. Oft werden als Termordnungen
nur wohlfundierte Ordnungen dieser Art bezeichnet.
Beispiele:
LexikographischeOrdnung (lex) auf T(x) bzgl. x >x >:::>x
1 2 n
xa1xa2 ::: x an > xb1xb2 ::: x bn
1 2 (cid:1) (cid:1) n lex 1 2 (cid:1) (cid:1) n
a >b oder
1 1
, (a1 =b1 und xa22 (cid:1):::(cid:1)xnan >lex xb22 (cid:1):::(cid:1)xnbn
Revers lexikographischeOrdnung (revlex) auf T(x) bzgl. x <x <:::<x
1 2 n
xa1 ::: x an(cid:0)1x an > xb1 ::: x bn(cid:0)1x bn
1 (cid:1) (cid:1) n(cid:0)1 n revlex 1 (cid:1) (cid:1) n(cid:0)1 n
a <b oder
n n
, (an =bn und xa11 (cid:1):::(cid:1)xn(cid:0)1an(cid:0)1 >revlex xb11 (cid:1):::(cid:1)xn(cid:0)1bn(cid:0)1
Gradordnung auf T(x) (bzgl. der Standardgraduierung)
xa11 (cid:1):::(cid:1)xnan >degxxx xb11 (cid:1):::(cid:1)xnbn
deg(a)>deg(b) oder
, (deg(a)=deg(b) und xa11 (cid:1):::(cid:1)xnan >xxx xb11 (cid:1):::(cid:1)xnbn
HieristxxxeineandereTermordnung,nachwelcherTermegleichenGradesgeordnetwerden.Wich-
tige Gradordnungen sind insbesondere die gradweise lexikographische (deg-lex) und die gradweise
revers lexikographische (deg-revlex) Termordnung.
Als Wohlordnung oder noethersche Ordnung bezeichnet man eine totale Ordnung (T;<), in der
eine der beiden (cid:127)aquivalenten Bedingungen gilt:
(a) Jede Teilmenge M T hat ein kleinstes Element.
(cid:26)
(b) Jede (echt) absteigende Kette t >t >::: in T ist endlich.
1 2
W(cid:127)ahrend die lexikographischeund jede GradordnungWohlordnungensind, gilt diesfu(cid:127)r die (rein)
revers-lexikographischeOrdnungnicht: x >x2 >x3 >::: ist fu(cid:127)r diese Termordnungeine unend-
1 1 1
liche absteigende Kette von Termen.
Satz 1 Eine Termordnung (T(x);>) ist genau dann eine Wohlordnung, wenn gilt
(c) m>1 f(cid:127)ur alle m T;m=1.
2 6
Prof. Gr(cid:127)abe: Gr(cid:127)obnerbasen und Anwendungen 6
Beweis: Wir zeigen die Gu(cid:127)ltigkeit der Implikationen (a) (b) (c) (a):
) ) )
(a) (b): Nimm M = t ;t ;::: .
1 2
) f g
(b) (c): G(cid:127)abe es ein m<1, so gilt wegen der Monotonie m>m2 >m3 >:::.
)
(c) (a): Sei M T eine Teilmenge ohne minimales Element. Dann k(cid:127)onnen wir eine unendliche
) (cid:26)
FolgevonElementenm >m >:::ausM ausw(cid:127)ahlen.NachdemDickson-Lemma(Beweissp(cid:127)ater)
1 2
existiereni<j mitm m ,alsom =m tmitt T.Wegenm =m t<m undderMonotonie
i j j i j i i
folgt t<1. (cid:3) j (cid:1) 2 (cid:1)
Charakterisierungssatz fu(cid:127)r Termordnungen:
Mit T~ = x(cid:11) : (cid:11) n bezeichnen wir die Gruppe der verallgemeinerten Terme, deren Expo-
f 2 (cid:2) g
nenten beliebig ganzzahligsein k(cid:127)onnen.
(1) Jede Termordnung auf T kann man eindeutig auf T~ ausdehnen:
Fu(cid:127)r (cid:11);(cid:11);(cid:12);(cid:12) n setzen wir
0 0
2 (cid:3)
x(cid:11) (cid:11)0 <x(cid:12) (cid:12)0 x(cid:11)+(cid:12)0 <x(cid:11)0+(cid:12)
(cid:0) (cid:0)
,
Die Repr(cid:127)asentantenunabh(cid:127)angigkeitdieser De(cid:12)nition folgt aus der Ku(cid:127)rzungsregel
x(cid:11) x(cid:13) <x(cid:12) x(cid:13) x(cid:11) <x(cid:12);
(cid:1) (cid:1) )
die sich fu(cid:127)r lineare Ordnungen wiederum aus der Monotonie ergibt.
(2) Dann gilt
x(cid:11) <x(cid:12) 1<x(cid:12) (cid:11);
(cid:0)
,
so dass die Termordnung durch ihren Positivkegel C = x(cid:11) T~ : x(cid:11) >1 bestimmt wird.
+
2
(3) Da die Ordnung eine lineare Ordnung ist, ist der Pnositivkegel ein Halboraum, der durch ein
lineares Funktional w 2((cid:2) n)(cid:3) (cid:24)=(cid:0) n beschrieben werden kann, so dass fu(cid:127)r (cid:11)2 (cid:2) n gilt
w((cid:11))>0 x(cid:11) >1
)
und folglich auch (wegen w( (cid:11))= w((cid:11)))
(cid:0) (cid:0)
w((cid:11))<0 x(cid:11) <1
)
Wir setzen kurz auch w(x(cid:11))=w((cid:11)).
(4) Einzig u(cid:127)ber Terme x(cid:11) mit w((cid:11)) = 0 kann allein aus diesem Gewichtsvektor w keine Aussage
getro(cid:11)en werden. Diese liegen jedoch in einem linearen Unterraum von n und wir k(cid:127)onnen fu(cid:127)r
(cid:2)
diese Gitterpunkte dieselbe Argumentation mit einem weiteren Gewichtsvektor wiederholen.
(5) Jedersolche Gewichtsvektorist durch den Zeilenvektor(w(x );i=1;:::;n), die Gewichte der
i
Variablen, eindeutig bestimmt. Beschr(cid:127)ankt man sich auf rationale Gewichte, so kann man alle
Gewichte sogar als ganzzahlig annehmen, da sich die durch w((cid:11)) = 0 beschriebene Gitterebene
durch Skalieren nicht (cid:127)andert. Durch Skalierung auf die L(cid:127)ange 1 kann man die Gewichtsvektoren
mit Punkten auf der Sph(cid:127)are Sn 1 identi(cid:12)zieren und hat damit auch eine genaue Fassung des
(cid:0)
Begri(cid:11)s nahe beieinander liegender\ Termordnungen.
"
(6)
Satz 2 (Charakterisierungssatz fu(cid:127)r Termordnungen) Jede Termordnung l(cid:127)asst sich durch
eine Folge von Gewichtsvektoren w1;w2;:::;wk (cid:0) n beschreiben, wobei gilt
2
x(cid:11) >1 j <k :wi((cid:11))=0 f(cid:127)ur i j und wj+1((cid:11))>0
, 9 (cid:20)
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Hierbei ist w1 eindeutig bestimmt, w(cid:127)ahrend wj um Vielfache von wi; i < j; abge(cid:127)andert werden
kann.
(7) Jede Termordnung l(cid:127)asst sich damit als Matrix-Termordnung darstellen, indem die Gewichte
der Variablen bzgl. der w als Zeilen einer Matrix notiert werden.
i
Eine Termordnung ist o(cid:11)ensichtlich genau dann eine Wohlordnung, wenn der erste Eintrag ver-
schieden Null in jeder Spalte der Gewichtsmatrix positiv ist.
Die Matrizen fu(cid:127)r die oben beschriebenen noetherschen Termordnungen sind
1 1 ::: 1 1 1 1 ::: 1 1
1 0 ::: 0
1 0 ::: 0 0 0 0 ::: 0 1
0 1 ::: 0 0 1 0 (cid:0) 1
>lex:0 ::: 1 >deglex: 0 1 ::: 0 0 >degrevlex: 0 0 ::: (cid:0)1 0
B ::: C B ::: C
B0 0 ::: 1C B C B C
B C B0 0 ::: 1 0C B0 1 ::: 0 0 C
@ A B C B (cid:0) C
@ A @ A
Beispiele mit CoCoA: Standardordnung ist degrevlex, andere Ordnungen k(cid:127)onnen durch Ku(cid:127)rzel
vereinbart werden. Interne Darstellung erfolgt o(cid:11)ensichtlich als Matrixordnung.
Use R ::= Q[x,y,z];
Ord(R);
Mat[
[1, 1, 1],
[0, 0, -1],
[0, -1, 0]
]
Use S::=Q[x,y,z],Lex;
Ord(S);
Mat[
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]
]
(8) Ist (cid:6) T~ 1 eine endliche Menge verallgemeinerter Terme, so k(cid:127)onnen wir nach den ersten
(cid:26) nf g
GewichtsvektorenallerTermordnungenfragen,inwelchenalleTermeaus(cid:6)positivsind. Genauer
betrachten wir die Menge
W = w (cid:0) n : x(cid:11) (cid:6) w((cid:11))>0
(cid:6)
f 2 8 2 g
In jeder Termordnung mit einem ersten Gewichtsvektor aus W sind alle Terme aus (cid:6) positiv.
(cid:6)
Wegen w((cid:11))=w1 (cid:11)1+ +wn (cid:11)n ist das der Durchschnitt der (o(cid:11)enen) Halbr(cid:127)aume
(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)
w (cid:0) n : w((cid:11)) 0 :
f 2 (cid:21) g
x(cid:11) (cid:6)
\2
Dieser Durchschnitt ist entweder leer oder eine o(cid:11)ene Menge (hier kommt die Endlichkeit von (cid:6)
ins Spiel) und damit n-dimensional. Die entsprechenden Gewichtsvektoren bilden also ebenfalls
einen Kegel im (cid:0) n = ( n)(cid:3), welcher dual zum Kegel ist, der von den Exponenten der x(cid:11) (cid:6)
(cid:2) 2
aufgespannt wird.
Fu(cid:127)r (cid:6) = x1;:::;xn bekommt man genau die noetherschen Termordnungen heraus. Der Ge-
f g
wichtsvektor (11:::1) der Gradordnungen liegt im Inneren dieses Kegels, die Gewichtsvektoren
der lexikographischenOrdnungen (bzgl. verschiedener Variablenordnungen) auf dessen Rand.
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2.3 Polynomringe und Koordinatenringe
Ist A A eine Ringerweiterung von A (allgemein eine A-Algebra), so kann man ein Polynom
0
(cid:27)
f R mit der Auswertungs-Abbildung
2
f~:A0n A0;(p1;:::;pn) f~(p1;:::;pn)
(cid:0)! 7!
in Verbindung bringen. Abb(An;A) ist ebenfalls ein Ring bzgl. der punktweisen Addition und
0 0
MultiplikationvonFunktionenundf f~einRinghomomorphismus.DabeiwerdendieVariablen
7!
x auf die Koordinatenfunktionen x~ :(p ;:::;p ) p abgebildet.
i i 1 n i
7!
Ist A unendlich, so ist der Homomorphismus f f~injektiv, d.h. Polynome k(cid:127)onnen mit ihren
0
Funktionen identi(cid:12)ziert werden. Fu(cid:127)r endliche K(cid:127)o7!rper gilt das nicht mehr: f = xp x Fp[x]
(cid:0) 2
verschwindet nicht, wohl aber die zugeh(cid:127)origeFunktion f~auf Fp.
Im Weiteren werden wir mit dieser Konstruktion zu tun haben, wenn A = k ein K(cid:127)orper ist und
A =k der algebraischeAbschluss von k.
0
2.4 Ideale und Faktorringe
De(cid:12)nition 1 Eine Teilmenge I R eines Rings R hei(cid:25)t Ideal, wenn
(cid:26)
(1) 0 I,
2
(2) f;g I f +g I und
2 ) 2
(3) f I; h R h f I
2 2 ) (cid:1) 2
gilt.
Mit einer endlichen Menge B = f ;f ;:::;f R muss also auch jede R-lineare Kombination
1 2 m
f g(cid:26)
von Elementen aus B zu I geh(cid:127)oren.
De(cid:12)nition 2 Wir bezeichnen die Menge
Id(B)= h f : h R
i i i
2
nX o
als das von B erzeugte Ideal.
Man u(cid:127)berzeugt sich leicht davon, dass es sich tats(cid:127)achlich um ein Ideal handelt und dass dieses
Ideal das kleinste Ideal ist, das B umfasst. Ist B = f eine einelementige Menge, so schreiben
f g
wir auch Id(f) statt Id( f ).
f g
Jeder Ring enth(cid:127)alt zwei triviale Ideale, das nur aus dem Nullelement bestehende Nullideal Id(0)
und dasausdemganzenRingbestehende Einsideal Id(1). EinRingRist genaudanneinK(cid:127)orper,
wenn er keine echten, d.h. von diesen trivialen verschiedene, Ideale enth(cid:127)alt.
Sei(cid:30):R R einRinghomomorphismus.IstI R einIdealinR,soistdasUrbildI =(cid:30) 1(I )
0 0 0 0 (cid:0) 0
! (cid:26)
ein Ideal in R. Dieses Ideal bezeichnet man auch als den R(cid:127)uckschnitt von I nach R (vgl. spezielle
Situation, wenn (cid:30) eine Ringeinbettung ist). Ist I R ein Ideal in R, so ist (cid:30)(I) nicht unbedingt
(cid:26)
einIdealinR (Beispiel:IdealeunterderEinbettung ).AllerdingskannmanI =Id((cid:30)(I)),
0 0
(cid:2) ! (cid:1)
das von (cid:30)(I) erzeugte Ideal, betrachten. Dies ist das kleinste Ideal, das (cid:30)(I) enth(cid:127)alt und wird als
Erweiterungsideal bezeichnet.
De(cid:12)nition 3 Ist umgekehrt ein Ideal I gegeben, so bezeichnet man eine (endliche) Teilmenge
B I mit I = Id(B) als (endliche) Basis oder Erzeugendensystem von I. Eine Teilmenge, die
(cid:26)
minimal mit dieser Eigenschaft bzgl. der Inklusionsrelation ist, hei(cid:25)t Minimalbasis.
Prof. Gr(cid:127)abe: Gr(cid:127)obnerbasen und Anwendungen 9
Es stellt sich heraus, dass dieser Begri(cid:11) nicht die guten Eigenschaften von Vektorraumbasen hat.
InsbesondereistdieAnzahlderElementeineinersolchenMinimalbasisnichteindeutigbestimmt.
Betrachten wir dazu als Beispiel das Ideal I =Id(B ) mit B = x ;x ;x , das alle Polynome
1 1 1 1 2 3
f g
in k[x ;x ;x ] ohne Absolutglied enth(cid:127)alt.
1 2 3
B = x + x ; x2 + x ; x x ; x3 + x
2 f 1 3 1 2 1 2 1 1g
und
B = x + x ; x2 + x ; x x ; x (x2x + x2 + x + 1); x x (x2 + 1)
3 f 1 3 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 g
erzeugen alle dasselbe Ideal, denn z.B. gilt
(x2+x )x x x =x3
1 2 1(cid:0) 1 2 1
Aufgabe 2 Zeigen Sie
(1) Id(x+xy;y+xy;x2;y2)=Id(x;y)
(2) Id(2x2+3y2 11;x2 y2 3)=Id(x2 4;y2 1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(3) I =Id(x2 x ;x2 x ;x +x ;x3 1)=Id(1)
1(cid:0) 2 2(cid:0) 3 1 3 1(cid:0)
A(cid:127)hnlich wie fu(cid:127)r den Ring der ganzen Zahlen de(cid:12)nieren wir fu(cid:127)r ein Ideal I R
(cid:26)
f g (mod I) : f g I:
(cid:17) () (cid:0) 2
Bsp: Fu(cid:127)r J :=Id(y x2;z x3) gilt xyz x3z x4y x6 (mod J)
(cid:0) (cid:0) (cid:17) (cid:17) (cid:17)
Man u(cid:127)berzeugt sich leicht davon, dass diese Relation eine A(cid:127)quivalenzrelation ist, womit wir ent-
sprechende A(cid:127)quivalenzklassen bilden k(cid:127)onnen, die wir auch als Restklassen (mod I) bezeichnen.
Diese A(cid:127)quivalenzrelation ist in Wirklichkeit sogar eine Kongruenzrelation, da sie Summen und
Produkte respektiert. Mit
f g (mod I)
1 1
(cid:17)
f g (mod I)
2 2
(cid:17)
gilt n(cid:127)amlich auch
f f g g (mod I)
1 2 1 2
(cid:6) (cid:17) (cid:6)
f f g g (mod I):
1 2 1 2
(cid:1) (cid:17) (cid:1)
Damit k(cid:127)onnen wir die Addition bzw. Multiplikation von Restklassen modulo I repr(cid:127)asentanten-
weise de(cid:12)nieren. Die Menge der Restklassen bildet bzgl. dieser Operationen einen Ring, den
Restklassen- oder Faktorring S = R=I des Polynomrings R nach dem Ideal I. Die natu(cid:127)rliche
Abbildung (cid:25) : R S, die jedem Polynom die zugeh(cid:127)orige Restklasse zuordnet, ist dann ein
(cid:0)!
Ringhomomorphismus. Sie erzeugt eine eineindeutige Abbildung
(cid:25)(cid:0)1 : Ideale(S) Ideale(R)
(cid:0)!
zwischen den Idealen von S und denen von R, die I =(cid:25) 1(0) umfassen.
(cid:0)
De(cid:12)nition 4 Ein Ideal M R bezeichnet man als maximales Ideal, wenn es maximal bzgl. der
(cid:26)
Inklusionsrelation unter allen echten Idealen von R ist.
Ein Ideal P R bezeichnet man als Primdeal, wenn
(cid:26)
a;b R (a b P a P oder b P)
8 2 (cid:1) 2 ) 2 2
gilt.
Es gilt
(a) M ist genau dann ein maximales Ideal, wenn R=M ein K(cid:127)orper ist.
(b) a R ist genau dann invertierbar, wenn es in keinem maximalen Ideal von R enthalten ist.
2
(c) Das Ideal P R ist genau dann ein Primideal, wenn R=P ein Integrit(cid:127)atsbereich ist.
(cid:26)
Prof. Gr(cid:127)abe: Gr(cid:127)obnerbasen und Anwendungen 10
3 A(cid:14)ne Variet(cid:127)aten
3.1 Situation und Bezeichnungen
S =k[x1;:::;xn]Polynomringu(cid:127)bereinemK(cid:127)orperk,K dessenalgebraischerAbschluss
An := (a1;:::;an) : ai K der n-dim. a(cid:14)ne Raum (u(cid:127)ber K)
f 2 g
B = f ;:::;f S (endliches) System von Polynomen
1 s
f g(cid:26)
V =V(B):= (a ;:::;a ) An : f (a)=0 i derengemeinsameNullstellenmenge.
1 n i
f 2 8 g
Mengen V An, die sich auf diese Weise darstellen lassen, hei(cid:25)en a(cid:14)ne Variet(cid:127)aten.
(cid:26)
I =Id(B) das von B erzeugte Ideal in S
Dann gilt V(B)=V(Id(B))
Id(V) := f S : f(a)=0 a V Menge der auf V An verschwindenden poly-
f 2 8 2 g (cid:26)
nomialen Funktionen
3.2 Beispiele
A(cid:14)ne Variet(cid:127)aten in der Ebene
V(F(x;y)) beschreibt normalerweise eine Kurve in der Ebene. Ein besonders einfaches Beispiel
sind Kurven
C = (x;y) : y=f(x) ;
f g
diesichdurcheinenexplizitenfunktionalenZusammenhangangebenlassen.Istf einPolynom,so
giltC =V(y f(x)).Istdagegenf(x)= p(x) einerationaleFunktionmitteilerfremdenp(x);q(x),
(cid:0) q(x)
sogiltC =V(q(x) y p(x)). InderTat,a V wennentwederq(a )=0oderp(a )=q(a )=0.
x x x
(cid:1) (cid:0) 2 6
Letzteresist fu(cid:127)r univariatePolynome abernicht m(cid:127)oglich, dap und q teilerfremd sind, es also eine
Darstellung 1=up+vq gibt.
Oftmals l(cid:127)asst sich aber F(x;y) nicht nach einer der beiden Variablen au(cid:13)(cid:127)osen, z.B. in
V(x2+y2 1):
(cid:0)
Dies stellt einen Kreis dar und zu einem vorgegebenen y-Wert gibt es zwei Punkte mit dieser
y-Koordinate, aber verschiedenen x-Koordinaten, und umgekehrt. Allerdings l(cid:127)asst diese Variet(cid:127)at
eine rationale Parametrisierung zu
1 r2 2r
V = (cid:0) ; : r K;1+r2 =0
1+r2 1+r2 2 6
(cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27)
DieseergibtsichausfolgenderU(cid:127)berlegung:WirbetrachtendieScharderGeradendurchdenPunkt
P =( 1;0) V,diedurchderenAnstiegr parametrisiertseien.EinesolcheGeradeistalsodurch
(cid:0) 2
die Gleichungy =r(x+1) gegebenund schneidet den Kreisau(cid:25)erin P in einem weiteren Punkt,
dessen Koordinaten folglich durch r eindeutig bestimmt sind und umgekehrt. Durch Substitution
in die Kreisgleichungerhalten wir
x2+r2x2+2r2x+r2 1=(x+1) x+r2x 1+r2
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:1)
Dass sich dieses durch Elimination entstandene Polynom zweiten Grades in zwei Linearfaktoren
zerlegen l(cid:127)asst, entspricht der Tatsache, dass wir einen seiner Faktoren, der P entspricht, vorab
kannten. Der zweite Faktor beschreibt die x-Koordinate des zweiten Schnittpunkts, die Geraden-
gleichungdarausdiezugeh(cid:127)origey-Koordinate.Bemerkenswertist,dassinWirklichkeitallePunkte
bis auf P auf diese Weise (eindeutig) gewonnen werden k(cid:127)onnen. P erh(cid:127)alt man auf formale Weise,
wenn man r streben l(cid:127)asst.
!1
