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Conceitos, algoritmos
e aplicações
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Grafos
Conceitos, algoritmos
e aplicações
Marco Goldbarg e Elizabeth Goldbarg
© 2012, Elsevier Editora Ltda.
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei no 9.610, de 19/02/1998.
Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam
quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.
Copidesque: Tania Heglacy
Revisão: Andrea Vidal
Editoração Eletrônica: Triall Composição Editorial Ltda.
Elsevier Editora Ltda.
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ISBN 978-85-352-5716-8
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
G564g
Goldbarg, Marco Cesar
Grafos : conceitos, algoritmos e aplicações / Marco Goldbarg, Elizabeth Goldbarg. - Rio de Janeiro :
Elsevier, 2012.
ISBN 978-85-352-5716-8
1. Teoria dos grafos. 2. Algoritmos. I. Goldbarg, Elizabeth II. Título.
12-1694.. CDD: 511.5
CDU: 511
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Introdução Conceitos Algoritmos Aplicações vii
IInnttrroodduuççããoo
O presente texto objetiva dar suporte ao ensino e ao estudo dos conceitos básicos em Teoria dos Grafos, em
algoritmos em grafos e em suas conexões com a otimização combinatória e aplicações reais. O livro ocupa
um espaço didático pouco povoado situado na conexão da Teoria dos Grafos com as aplicações reais. Cinco
focos defi nem a proposta e estão exibidos na Figura 1:
Facilitação ao
Algoritmos em
acesso
grafos
à informação
Focos
Otimização
Ancoragem
combinatória
para a
e problemas do
mundo real pesquisa
Autoaprendizagem
Figura 1: Os focos do livro
►1o foco
O emprego do ferramental da Teoria dos Grafos na solução de problemas de otimização combinatória e do
mundo real. Nesse foco estão especialmente envolvidos os Capítulos 2, 8 e 9, bem como os tópicos de aplicações
existentes em cada capítulo.
►2o foco
Suporte ao desenvolvimento de algoritmos em grafos para a solução computacional desses problemas. Com
exceção do Capítulo 2, todos os demais apresentam vários algoritmos de solução para os tópicos abordados.
►3o foco
Desenvolvimento do texto de forma a facilitar a auto-aprendizagem e o incentivo à motivação para o domí-
nio das competências e habilidades relativas a essa disciplina. Tópicos semelhantes são, na medida do possível,
reunidos e estudados em conjunto. Todos os conceitos apresentados são imediatamente exemplifi cados. Vários
exercícios resolvidos auxiliam a autoaprendizagem.
►4o foco
Criação de ancoragem para a pesquisa e ampliação e aprofundamento dos temas abordados no livro através
da disponibilização de uma rede de referências bibliográfi cas. Os principais temas do livro são objeto de um
viii Grafos
levantamento do estado da arte. O objetivo de identifi car e relacionar a literatura associada aos temas em estudo é
permitir ao leitor facilidade em aprofundar os temas abordados no livro.
►5o foco
Facilitação ao acesso à informação. Diversas referências bibliográfi cas do livro podem ser obtidas gratuitamente
na internet. Tais referências estão assinaladas e trazem endereço URL.
O texto é introdutório. Não existe a pretensão do aprofundamento para além dos cursos de graduação. A aten-
ção está centrada nos conceitos básicos, no desenvolvimento de algoritmos e nas aplicações reais. A imersão
mais intensa, especialmente no que diz respeito ao ferramental matemático do modelo, foge ao escopo do traba-
lho. Todavia, o livro está aparelhado para o uso em cursos de pós-graduação em áreas afi ns à Programação
Discreta ou Ciência da Computação.
São disponibilizados exercícios resolvidos e exercícios propostos. A solução dos exercícios propostos é
parte do desafi o do processo de aprendizagem. Como na maioria dos casos a resposta dos exercícios propostos é
a própria resolução, essas soluções não constam do texto.
A metodologia busca organizar o texto de forma a reunir conceitos semelhantes em quadros vizinhos. Os con-
ceitos são fi chados. Isso permite ao leitor confrontar imediatamente o conceito abordado com outros assemelha-
dos, esclarecendo eventuais dúvidas. A Figura 2 exemplifi ca a apresentação dos conceitos correlacionados.
Grafo Completo
Conceito
Um grafo G é dito completo se existe uma aresta associada a cada par de
principal
vértices de G. No caso orientado isso significa a existência de um arco para cada
par ordenado de vértices.
Grafo Bipartido Completo K, Notação
p,q usada
Um grafo G bipartido é dito completo se cada vértice do conjunto N com p vértices
1
é adjacente a todos os q vértices do conjunto N e vice-versa.
2
Conceitos
Grafo Clique – K
n K associados
n
Um grafo clique de um grafo G é um subgrafo completo de G.
Grafo Clique – Defi nição Alternativa
Um grafo K é um grafo clique se e somente se ele contém uma família F de
G
subgrafos completos cuja união resulta K , e tal que nenhum par de grafos com-
G
pletos em alguma subfamília possui uma interseção* vazia – a interseção entre
todos os membros da família é não vazia (Harary, 1994, p. 20).
Figura 2: Exemplo de apresentação de conceitos correlacionados
São apresentadas dicas para a solução dos modelos examinados no texto. Esse cuidado caminha no sen-
tido da criação de conexões entre o que se apresenta e um eventual aprofundamento para além do escopo imediato do
livro. A Figura 3 exibe um exemplo desse tipo de ancoragem na literatura.
Introdução Conceitos Algoritmos Aplicações ix
❂
Decomposição em Árvore – Dicas de Trabalhos
Xu et al. (2005) apresentam uma aplicação da decomposição em árvore na predição da estrutura de proteínas. Bodlaender & Fomin
(2005) abordam o problema associado da decomposição em árvores de menor custo. Dourisboure & Gavoille (2007) tratam da de-
composição em árvores com menor diâmetro.
Figura 3: Exemplo de ancoragem na literatura
Os algoritmos abordados são descritos tanto no texto como resumidos através de pseudocódigo, como
exemplifi ca a Figura 4.
A Cobertura de Vértices
Ler G = (N, M)
S ← ; β (G) ← 0;
Ordenar os vértices em ordem não crescente de graus
Enquanto N ∅ Fazer
k ← mínimo { j tal que x ∈ N }
j
N ← N \ { x }
k
S ← S ∪ { x }
k
M ← M \ R // R o conjunto das arestas adjacentes a x )//
k
β (G) ← β (G) + 1
Fim_Enquanto
Escrever S e β (G)
Heurístico
Figura 4: Exemplo de pseudocódigo
Os algoritmos cujo pseudocódigo é apresentado possuem sua complexidade analisada em item específi co,
como exemplifi ca a Figura 5.
Complexidade Ford-Moore-Bellman
Após a inicialização, são executadas, no máximo, n–1 iterações do k. Em cada uma destas iterações são calculados cami-
nhos com k arestas entre a origem e cada um dos demais vértices do grafo. Para cada vértice, a lista dos seus antecessores é
examinada. Uma vez que o rótulo do vértice origem não é alterado, o exame deste antecessor pode ser descartado. Deste
modo, para cada vértice, no máximo, n–2 antecessores são examinados. Cada exame consiste apenas de operações de adição
e comparação. Portanto, a complexidade do algoritmo apresentado é O(n3).
O(n3)
Figura 5: Exemplo de análise de complexidade de um algoritmo descrito em pseudocódigo
Os problemas de otimização combinatória são introduzidos e associados aos problemas em grafos ou sugeridos
como questões específi cas, como exemplifi ca a Figura 6.
x Grafos
3a Questão π 4a Questão π
A partir de algum ponto da cidade de Königsberg – no século A partir de algum ponto da cidade de Königsberg – no século
XVIII, é possível fazer uma caminhada que atravesse XXI, torna-se possível fazer uma caminhada que atra-
todas as pontes da cidade somente uma vez? vesse todas as pontes da cidade somente uma vez?
O Problema do Carteiro Chinês π
Determinar um passeio fechado de custo mínimo passando por todas as arestas
do grafo G.
O Problema do Carteiro ao Vento – Windy π
Determinar um passeio fechado de custo mínimo passando por todas as arestas
do grafo G em uma matriz de custos assimétrica.
Figura 6: Conexões dos modelos em grafos com os problemas de otimização combinatória
O desenvolvimento da proposta didática comportou a elaboração de aproximadamente 2.100 conjuntos de
desenhos, 470 exercícios, 100 exercícios resolvidos e 40 aplicações reais detalhadamente descritas. No livro
cerca de 850 referências bibliográfi cas são citadas. Material eletrônico adicional permite que alguns recursos
do texto possam ser incorporados aos trabalhos didáticos e as aulas da disciplina, de forma a auxiliar o processo
de aprendizagem. A solução dos exercícios solucionados apresentados em cada capítulo, as fi guras coloridas e o
material eletrônico adicional será disponibilizado aos leitores no site www.elsevier.com.br/grafos.
Os autores formulam votos de que o presente projeto possa ser útil na formação dos alunos de graduação e no
auxílio ao ensino da disciplina de Grafos. Assim nos colocamos prontos e desejosos de ouvir as importantes obser-
vações daqueles a quem o livro foi dedicado.
EEmmeennttaass qquuee ppooddeemm sseerr aassssoocciiaaddaass aaoo lliivvrroo
O livro aborda diversos temas pertinentes a Teoria dos Grafos, de modo que pode dar suporte a mais de uma
disciplina. Grandes temas como:
– Algoritmo em grafos;
– Introdução à Teoria dos Grafos;
– Aplicações de grafos;
– Grafos e otimização combinatória.
podem encontrar suporte no conteúdo didático do livro. No sentido de exemplifi car o alcance do conteúdo dispo-
nibilizado, são transcritas a seguir algumas ementas que podem ser desenvolvidas com base no texto. Observe que
as ementas citadas não esgotam as possibilidades de composição do conteúdo do livro, todavia permitem ressaltar
sua versatilidade.
Introdução Conceitos Algoritmos Aplicações xi
►Ementa 1 – Ampla
Defi nição e aplicação de grafos. Conceitos básicos em grafos. Representação de grafos: matrizes de adjacências,
incidência, listas de adjacências e representação em estrela. Operações em grafos. Árvores. Árvore geradora mí-
nima. Caminhos e ciclos. Caminho mais curto. Ciclos hamiltonianos e eulerianos. Conectividade de vértices e
arestas. Subconjunto de vértices e arestas. Estabilidade, absorção e dominância e emparelhamentos. Introdução
à planaridade. Coloração. Redes e fl uxos em redes. Problemas de otimização em grafos.
►Ementa 2 – Foco em algoritmos
Defi nição e aplicação de grafos. Subgrafos e hipergrafos. Busca em profundidade. Algoritmos para componentes
conexas. Busca em largura. Árvores. Algoritmos para árvores geradoras mínima e máxima. Caminhos. Algo-
ritmos para caminhos mais curtos. Coloração. Algoritmos para coloração. Fluxo em redes. Algoritmos de fl uxo
máximo em redes. Emparelhamentos. Algoritmos para emparelhamentos.
►Ementa 3 – Foco em aplicações
Defi nição e aplicação de grafos. Conceitos básicos em grafos. Representação de grafos: matrizes de adjacências,
incidência, listas de adjacências e representação em estrela. Operações em grafos. Modelos em grafos. Árvores.
Modelos em árvores. Árvore de Steiner. Caminhos e ciclos. Carteiro chinês. Caixeiro-viajante. Coloração. T-Co-
loração. Fluxo em redes.
Ementa 4 – Introdutória
Introdução. Noções básicas: grafos orientados, não orientados, bipartidos. Percursos em grafos. Subgrafos e Su-
pergrafos. Cliques. Árvores e árvores geradoras. Conectividade. Problemas de caminhos. Estabilidade e nú-
mero cromático. Emparelhamentos. Grafos planares. Circuitos eulerianos e hamiltonianos. Grafos acíclicos.
Coloração em grafos. Redes. Fluxos em redes.
►Ementa 5 – Foco em tópicos específi cos
Defi nição e aplicação de grafos. Subgrafos e hipergrafos. Busca em profundidade, componentes biconexos, com-
ponentes fortemente conexos, busca em largura, busca em largura lexicográfi ca, busca irrestrita, número cromá-
tico. Árvores geradoras máximas e mínimas. Introdução à planaridade. Algoritmos de fl uxo máximo em redes.
Algoritmos para emparelhamentos.
►Ementa 6 – Foco em tópicos específi cos
Defi nição e aplicação de grafos. Subgrafos e hipergrafos. Isomorfi smo de grafos. Representação computacional.
Algoritmos de buscas. Grafos orientados. Trilhas, caminhos e ciclos. Distâncias. Caminhos. Conectividade. Ciclos
eulerianos e hamiltonianos. Problema do caixeiro-viajante. Problema do carteiro chinês. Árvores, árvore geradora
mínima. Introdução à planaridade. Coloração de vértices. Número cromático. Emparelhamento. Fluxos em redes.
