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L. Stammler,
E. Buchsteiner-Kießling
Globale Optimierung
von Niveaulinien
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Ludwig Stammler,
Edeltraud Buchsteiner-Kießling
Globale Optimierung
von Niveaulinien
Geometrische und algebraische Fundierung
und Algorithmen
WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
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(cid:164) 1996 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
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diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann
um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen
handeln, wenn sie nicht eigens als solche markiert sind.
ISBN 978-3-527-40267-0
Vorwort
Mit diesem Buch miichten wir eine Bearbeitungsweise zur Raster-Interpolation
eroffnen, bei der die Gewinnung eines global einfachen Linienbildes als vorrangiges
Ziel angestrebt wird.
Erste Erfahrungen mit diesem Vorgehen sind beispielsweise im Ingenieurwe-
sen, bei Techniken der Oberflachenbearbeitung, auf deutliche Zustimmung ge-
stofien. Ein Nutzen fur zahlreiche andere Gebiete ist naheliegend. Zugleich treteri
mathematische Hintergrundbetrachtungen auf, sowohl fur direkten Gebrauch im
mathematischen Arbeiten mit Rastern selbst als auch zu CTbungs-, Selbststudiums-
und Seminarzwecken in der Ausbildung von Mathematikern und Anwendern.
Dem Buch ist eine Diskette mit einem Pascal-Programm beigelegt. Dieses
Programm, auf PC iiblicher Grofienordnung lauffahig, realisiert einen einfacheri
Prototyp der Algorithmen, die im Buch selbst in groBerer Vielfalt der Varianten
und Zusatze hergeleitet und beschrieben werden. Das Listing ist im Text rnit
ausfiihrlichen Kommentaren zur Nutzung und zum Programmaufbau versehen.
Die Autoren mochten Text und Programm auch als Anregung verstehen, den
Algorithmus zu einer in vieler Hinsicht erweiterten Software auszubauen. Auf
Anfragen hierzu sind wir im Rahmen unserer Moglichkeiten ansprechbar. Das
gilt imch zu weiteren Teilprogrammen, die hier aus verschiedenen Grunden nicht
in Diskettenfassung weiterzugeben waren, beispielsweise zu einem Programm aus
der ,4rbeit [19] von J. ZILLER, aus der wir dankenswerterweise (aul3er teilweiser
Nutzung des Programms) auszugsweise einige Erlauterungen zitieren konnten.
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Die druckfertige Fassung wurde mit erarbeitet. Die Konstruktion
der -4bbildungen erfolgte rnit dem Programm CAD-2D von H. STACHELD. em
J. A. Barth Verlag sei insbesondere Dank gesagt fur die kooperative und geduldige
Zusammenarbeit .
Halle (Saale), im Juli 1996 Ludwig Stammler
Edeltraud Buchsteiner-Kiepling
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Inhalt sverzeichnis
1 Zielstellung dieses Buches ...........................................
1.1 Was sol1 ..global optimiert" werden? .................................
1.2 T.. eilschritte des Optimierens .........................................
1.3 Ausfluge" in niathematische Gebiete. Moglichkeit zu Ubung
oder kursorischer Information ....................................... 3
1.4 Nutzungsmoglichkeiten und -empfehlungen; grobe Raster ............ 5
2 Niveaulinien in einem einzelnen Rasterquadrat .................. 7
2.1. Typen von Rasterquadraten; Dreieckszerlegung mit
. .
Langensummenmmimierung ......................................... 7
2.1.1 Lineare Interpolation auf dem Rand ............................ 7
2.1.2 Typen von Quadraten .......................................... 7
2.1.3 Linienfuhrung in unkritischen Quadraten ....................... 9
2.1.4 Die Aufgabe der Langensummenminimierung ................... 10
2.1.5 Uberfuhrung der Minimalbedingung in elementargeometrische
Gestalt ........................................................ 11
2.1.6 Ein Spiegelungssatz, geometrische Losung der
Minimierungsaufgabe .......................................... 14
2.2 Iteration mit dem arithmetischen Mittel ............................. 18
2.2.1 Graphische Verbesserung als Motivation zum Iterationsansatz . . 18
2.2.2 Rechnerische Beschreibung der Iteration ........................ 22
2.2.3 Grenzwert der Iteration; das Parallelmittel ..................... 25
2.2.4 Geometrische Modellierung der Iteration ....................... 27
2.2.5 Projektiv vereinfachter a-priori-Uberblick ....................... 32
2.3 Iteration mit dem Parallelmittel ..................................... 37
2.3.1 Die Faille eines Iterationsschrittes .............................. 37
2.3.2 Rechnerische Beschreibung, Konvergenz ........................ 39
2.3.3 Geometrisches Modell, Cremona-Transformationen ............. 41
2.3.4 Fundamentalelemente der Cremona-Transformation ............. 43
2.3.5 Gestalt der Teilflachen des geometrischen Modells .............. 48
2.3.6 Weiterfuhrende und zusammenfassende Aussagen ............... 53
3 Gewinnung eines globalen Niveaulinienbildes. ..................... 56
3.l Strukturbestimmende Niveaulinien .................................. 56
3.1.1 Verzweigung in Rasterquadraten; Lageunterscheidung
von Rasterpunkten ............................................. 56
3.1.2 Wertgleiche Nachbarschaft; Startpunkte ........................ 57
VIII Inhaltsverzeichnis
3.1.3 Homotopie unverzweigter Niveaulinien ......................... 58
3.1.4 Moglichkeiten unterschiedlich feiner Linienfuhrung .............. 61
3.1.5 Schrittweise Flachenzerlegung durch Linienfortsetzung .......... 63
3.1.6 Datenstruktur fur das Anfugen von Teilflachen ................. 67
3.1.7 Schrittweises Zusammensetzen der Teilflachen .................. 70
3.2 Erste Varianten zur Gewinnung verbesserter Erscheinungsbilder ...... 74
3.2.1 Ausgabe der uriverzweigten Niveaulinien ohne
Weiterbearbeitung ............................................. 74
3.2.2 Abgerustete Variante: Iteration unter Verzicht auf
Homotopie-Informat ion ........................................ 74
3.2.3 Wert-Intervalle der Teilflachen ................................. 75
3.2.4 Gewinnung der Niveaulinie zu gegebenem Wert
in gegebener Flache ............................................ 79
3.2.5 Zweite Gewinnungsnloglichkeit dieser Niveauliriie ............... 81
3.2.6 Wahl eines Wertes pro Flache .................................. 84
3.2.7 Wahl einer arithmetischen Wertfolge ........................... 86
3.3 Bijektive Zuordnung zwischen Homotopieklassen und Teilflachen ..... 91
3.3.1 Fragestellung, Motiv, Ursachen ................................. 91
3.3.2 Globale Nachbarschaftsermittlung .............................. 92
3.3.3 Zusammensetzen von Flachen gleicher Homotopieklasse ......... 94
3.3.4 Zweite Zusammensetzungsmoglichkeit .......................... 95
3.3.5 Reprasentierende Niveaulinien .................................. 97
4 Varianten globaler opt..i scher Verbesserung ........................ 99
4.1 Gebietsfarbung nach Steigen" und ..Fallen" ......................... 99
4.1.1 Grundsatzliches Vorgehen ...................................... 99
4.1.2 Neue Aufteilung des Rasterrechtecks ........................... 100
4.1.3 Suchschritte ................................................... 102
4.1.4 Farbungsschritte ............................................... 103
4.1.5 Kontraktionsschritte ........................................... 105
4.2 Linienglattung ...................................................... 109
4.2.1 Bekannte Verfahren ............................................ 109
4.2.2 Satze uber Korbbogen ......................................... 111
4.2.3 Durchfuhrung einer einzelnen Eckenabrundung ................. 116
4.2.4 Kriterium fur nicht durchzufuhrende Eckenabrundung .......... 118
4.2.5 Benachbarte Eckenabrundungen ................................ 120
4.3 Zwei Beispiele weiterfuhrender Anwendungsthemen .................. 122
4.3.1 Orthogonale Trajektorien ...................................... 122
4.3.2 Richtungsrosen ................................................ 124
