Gleichungen dritten und vierten Grades und Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal

29 Pages·2013·0.99 MB·German

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Gleichungen dritten und vierten Grades und
Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal
Holger Stephan
Weierstraß–InstitutfürAngewandte
AnalysisundStochastic(WIAS)
e-mail:[email protected]
url:www.wias-berlin.de/people/stephan
HUBerlin,27.April2013;TagderMathematik
Einführung 2
Geometrie⇐⇒Algebra
(cid:73) “Entgegengesetzte”Methoden
(cid:73) LösungvonGleichungen ⇐⇒ Konstruierbarkeit
(cid:73) Algebraisches ⇐⇒ geometrisches“Lösen”vonGleichungen
(cid:73) ErweiterungderZahlenbereiche
VomLösenvonGleichungen 3
EinelineareGleichung
(cid:73)(cid:73) Gleichungax=b.
SchnittpunkteinerGeradenmitderx-Achse.RationaleZahlen.
(cid:73) Geht’sallgemeiner?Geometrischoderalgebraisch
(cid:73) GeometrischeVerallgemeinerung:SystemelinearerGleichungen
a x+a y+a z = b
11 12 13 1
ax+by = A
a x+a y+a z = b
21 22 23 2
cx+dy = B
a x+a y+a z = b
31 32 33 3
Schnittpunkt von zwei
Schnittpunkt von drei
Geraden
Ebenen
(cid:73) Weiter:...SchnittpunktvonvierRäumen
(cid:73) RationaleZahlenreichenaus.
(cid:73) AlgebraischeVerallgemeinerung:GleichungenhöherenGrades
QuadratischeGleichungen 4
AlgebraischeLösungeinerquadratischenGleichung
(cid:73)(cid:73) WirlösendieGleichung x2+px+q=0
(cid:112)
(cid:73) Lösungnachp,q-Formel x1,2 = −12p± 12 p2−4q
(cid:73) RationaleZahlen =⇒ ReelleZahlen
(cid:73) gebrochenlineareFunktionen f(x) = ax+b
cx+d
(cid:73) RekursiveFolgen2.Ordnung:z.B.Fn =Fn−1+Fn−2
(cid:73) periodischeKettenbrüche:Lösungvon3x2 =6x+2ist
(cid:114)
5 1
1+ = 2+
3 1
3+
1
2+
1
3+
...
√
(cid:73) NichtallereellenZahlen:z.B.nicht π,e, 3 2
QuadratischeGleichungen 5
GeometrischeLösungeinerquadratischenGleichung
(cid:73)(cid:73) GeometrischesWurzelziehen:
√ √
(cid:73) c= a2+b2 odera= c2−b2 mitSatzdesPythagoras.
√
(cid:73) h= p·qHöhensatz
√ √
(cid:73) MitZirkelundLinealkonstruierbarz.B. 2, 4 2
(cid:73) KonstruktionderLösungenderGleichungen
(cid:112)
−p± p2−4q
x2+px+q=0 =⇒ x1,2 =
2
x2+ax+b2 = 0
x2+ax−b2 = 0
√ √
(cid:73) EssinddieLängen a2+4b2 bzw. a2−4b2 zukonstruieren.
MitZirkelundLinealund... 6
NichtkonstruierbarmitZirkelundLineal
ZweiberühmtenichtlösbareProblemeausderAntike
√
(cid:73)(cid:73)(cid:73) Würfelverdopplung =⇒ x3 =2,Konstruktionvon 3 2.
(cid:73) Winkeldreiteilung:Gegeben ϕ,gesucht α = ϕ/3
sinϕ =sin3α =3sinα−4sin3α
3 1
=⇒ x3− x+ sinϕ =0
4 4
(cid:73) NichtkonstruierbarweilGleichungdrittenGrades!
MitZirkelundLinealund... 7
WinkeldreiteilungnachArchimedes
(cid:73)(cid:73) Konstruktionsmethode: α = ϕ/3
A
2α
C
r
r 2α r
α α ϕ
α
D M B
(cid:73) WarumistdaskeineKonstruktionmitZirkelundLineal?
(cid:73) KonstruktionmitZirkel,LinealundStift!
= (x−1)(x2+x+4)
Beispiel1: 0=x3+6x−2
(cid:73) Gleichungaufstellenistleichteralslösen:
0 = (x−x )(x−x )(x−x ) =
1 2 3
= x3−(x +x +x )x2+(x x +x x +x x )x−x x x
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
GleichungendrittenGrades 8
LösungeinerGleichungdrittenGrades
(cid:73)(cid:73)(cid:73)(cid:73) LösungderGleichungx3+ax2+bx+c=0bedeutet
FindenderNullstellendesPolynomsf(x) =x3+ax2+bx+c
(cid:73) ÜblicheLösungsmethode:
EineLösungerraten,dannPolynomdivision.
Beispiel2: 0=x3+3x−4
GleichungendrittenGrades 8
LösungeinerGleichungdrittenGrades
(cid:73)(cid:73) LösungderGleichungx3+ax2+bx+c=0bedeutet
FindenderNullstellendesPolynomsf(x) =x3+ax2+bx+c
(cid:73) ÜblicheLösungsmethode:
EineLösungerraten,dannPolynomdivision.
Beispiel2: 0=x3+3x−4= (x−1)(x2+x+4)
Beispiel1: 0=x3+6x−2
(cid:73) Gleichungaufstellenistleichteralslösen:
0 = (x−x )(x−x )(x−x ) =
1 2 3
= x3−(x +x +x )x2+(x x +x x +x x )x−x x x
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
GleichungendrittenGrades 9
BildeinesPolynomsdrittenGrades
(cid:73)(cid:73) Polynom3.Grades:f(x) =x3+ax2+bx+c
Beispielefürf(x):
30
20 40
10 30
20
(cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 2
(cid:45)10 10
(cid:45)20 (cid:45)4 (cid:45)2 2 4
(cid:45)30 (cid:45)10
(cid:45)40 20 (cid:45)20
40
10
30
20
(cid:45)2 (cid:45)1 1 2 3 4
10
(cid:45)4 (cid:45)2 2 4 (cid:45)10
(cid:45)10
(cid:45)20 (cid:45)20
(cid:45)30
(cid:73) NormalerweiseeineoderdreiNullstellen.