GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. - LE CERCLE ET LA TRIGONOMÉTRIE

30 Pages·1891·0.914 MB·French

by  Gaston Tarry

ASSOCIATION FRANÇAISE
POUR
L ’A V A N C E M E N T D ES SC IE N C E S
Fusionnée avec
L’ASSOCIATION SCIENTIFIQUE DE FRANCE
(Fondée par Le Verrier en 1864)
Reconnues d’utilité publique.
CONGRÈS DE MARSEILLE
1891
M. Gaston TARRY
GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. - LE CERCLE ET LA TRIGONOMÉTRIE
V
PARIS
AU SECRÉTARIAT DE L’ASSOCIATION
(Hôtel des Sociétés savantes)
S8, RUK SERPENTE, 2 8
ASSOCIATION FRANÇAISE
POUR L’AVANCEMENT DES SCIENCES
Fusionnée avec
L’ASSOCIATION SCIENTIFIQUE DE FRANCE
(Fondée par Le Verrier en 1864)
CONGRÈS DE MARSEILLE — 1891
M. Gaston TARRY
inspecteur des Contributions diverses, ù Alger.
GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. - LE CERCLE ET LA TRIGONOMÉTRIE
— Séance du 19 septembre 189/ —
SÉCANTES ET CORDES
133. — La circonférence de cercle est une ligne AA'BB'CC' de géomé­
trie générale, lieu géométrique de tous les points également distants d’un
point 00' qu’on nomme centre.
On appelle rayon toute droite menée du centre à la circonférence.
Tous les rayons 00'AA', OO'BB', OO'CC', .... d’un cercle sont égaux
d’après la définition même de la circonférence.
134. — Théohèmiî : Un point PP' d’une circonférence donnée est déter­
miné quand on connaît Tune de ses composantes isotropes.
On suppose connus le centre 00' et la grandeur pe“ du rayon.
Si l’on donne l’une des composantes d’un point PP' de la circonférence,
on sait construire l’autre, puisque l’on connaît le produit OP. O'P', égal
A pa, et l’angle formé par les semi-droites OP et O'P', égal à 2<o. Dans le
cas particulier où la composante isotrope donnée se confond avec celic
de même nom du centre 00', l’autre composante est à l’infini dans une
direction quelconque.
2 ASSOCIATION FRANÇAISE TOUR L’AVANCEMENT DES SCIENCES
On remarquera qu’une circonférence de rayon r-\-r' \f — 1, ou ps"\ se
confond avec une circonférence de même centre et de rayon— (/■-(- r' \J — l),
OU pî'° + n-
135. — Théorème : Une droite quelconque rencontre toujours une cir­
conférence en deux points ou en un seul.
Examinons d’abord le cas particulier où la droite est isotrope.
La droite à l’infini, isotrope positive et négative, rencontre la circon­
férence aux deux points cycliques, puisque la distance du centre 00' du
cercle à un point cyclique peut être considérée comme égale à son
rayon et il n’existe pas d’autres points d’intersection, la distance d’un
point propre à, un point à l’infini, autre qu’un point cyclique, devant
être considérée comme infinie parce que son module est de grandeur
infinie.
Toute droite isotrope, autre que la droite à l’inliui, rencontre néces­
sairement la circonférence au point cyclique de même nom, et en vertu
du théorème précédent, il existe un point propre d’intersection et un seul,
si celte droite isotrope ne passe pas par le centre du cercle.
Quand la droite isotrope passe par le centre du cercle, il n’existe pas
d’autre point d’intersection que le point cyclique situé sur cette droite.
Dans ce cas, il serait exact de dire que le second point d’intersection est
venu se confondre avec le premier. En elfet, le second point a pour com­
posantes isotropes l’une des composantes du centre et un point ordinaire
quelconque à l’infini; il représente donc le point d’intersection des droites
isotropes qui ont pour supports ces composantes, c'est-à-dire la droite
sotrope donnée et la droite à l’infini.
Considérons maintenant le cas général oti la droite n’est pas iso­
trope.
Quand la droite passe par le centre 00', elle a deux points communs
avec la circonférence. En effet, sur une droite donnée, non isotrope, on
peut toujours construire, à partir d’un point 00', deux segments OO'EE',
OO'FF' égaux au rayon sew du cercle, et on n’en peut construire que
deux.
Si la droite ne passe pas par le centre du cercle, de ce centre menons
la perpendiculaire OO'HH' à la droite.
Dans le cas particulier où le pied HH' de cette perpendiculaire est situé
sur la circonférence, la droite ne peut rencontrer la circonférence en un
autre point parce que la perpendiculaire ne peut être égale à une
oblique.
Dans le cas général, il existe deux points d’intersection que nous pour­
rons construire avec la règle et le compas.
Supposons que EE' soit un point commun à la circonférence et à la
droite.
G. TAltltY. — GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. —• 1.1. < t.U< 1,1. HT LA TRIGONOMÉTRIE 3
En voiiu (lu théorème du carré de l'hypoténuse, pour que le point EE'
soit un point d'intersection, il faut et il sullil qu’on ait l’égalité
OO'HH'2 + HUEE'2 .(0
D’où l’on conclut que les points d’intersection sont les deux points de
la droite dont les distances au point HH' sont égales à
\/p--îa<ü — OO'HIT2 ou + OO'HH') tpî« — OO'HH').
136. — On donne le nom de sécante à toute droite qui coupe la cir­
conférence en deux points distincts. On appelle corde le segment de
sécante limité par les points d’intersection, et l’on réserve le nom de
diamètre aux cordes qui passent par le centre.
Tous les diamètres d'un cercle sont égaux, car un diamètre quelconque
est la somme de deux rayons.
137. — Le diamètre ne peut être égal à une corde du cercle.
Une corde quelconque AA')!!!' ne peut être égale à la somme OO'AA'
-f- OO'HH' des deux rayons qui aboutissent à ses extrémités; elle ne peut
donc être égale à un diamètre.
138. — On dit que l’angle au centre AA'OO'ljlt' intercepte la corde
AA'BH'.
Une corde est interceptée par une infinité d’angles égaux, non iden­
tiques, qui dilièrent de multiples de i~. Toutefois, quand nous parlerons
de l’angle qui intercepte une corde, il faudra toujours entendre, à moins
d’avertissement contraire, qu’il s’agit de celui des angles dont la partie
réelle est la plus petite en valeur absolue.
Tout diamètre non isotrope est intercepté par un angle égal à
Une corde isotrope est do grandeur indéterminée; elle est interceptée
par un angle dont la partie réelle est indéterminée et la partie imaginaire
infiniment grande, positive ou négative.
139. —• Théorème : Une corde de grandeur nulle est interceptée par un
angle égal à Ü.
En ell’et, les points extrêmes de la corde su confondent nécessairement,
car une sécante isotrope ne peut rencontrer une circonférence en doux
points distincts.
Remarque. — Un diamètre isotrope rencontre la circonférence en deux
points confondus avec lui point cyclique, et la distance d’un point cyclique
à un point quelconque a une grandeur indéterminée.
Ou voit qu’un diamètre isotrope est de grandeur indéterminée, qui peut
4 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES
être considérée comme égale au double du rayon ou bien à zéro ; ce dia­
mètre est intercepté par un angle égal à un angle donné quelconque,
ti ou 0, par exemple.
140. — Th éorème : Dans un même cercle ou dans des cercles égaux ;
deux angles égaux ou inverses interceptent deux cordes égales, et rècipro-
quement deux cordes égales sont interceptées par deux angles égaux ou
inverses.
Soient 00, IF les centres de deux cercles égaux.
Si l’angle AA'OO'BB' est égal ou inverse à l’angle CC'U'DD', les deux-
triangles AA'OO'BB' et CCTFDD', qui ont un angle égal ou inverse com­
pris entre deux côtés égaux chacun à chacun, sont directement ou in­
versement égaux, et, par conséquent, les cordes AA'BB', CC'DJF sont
égales.
Réciproquement, si les cordes AA'BB' et CC'DD' sont égales, les deux
triangles AA'OO'BB' et CC'U'DD', qui ont leurs côtés égaux chacun à
chacun, sont directement ou inversement égaux et les angles AA'OO'BB',
CC'U'DD' sont égaux ou inverses.
141. — Théorème : Le diamètre, perpendiculaire sur une corde, divise
cette corde et l’angle qui l’intercepte en deux parties égales.
C’est une conséquence immédiate des propriétés du triangle isocèle.
Corollaire I. — La perpendiculaire élevée sur le milieu d’une corde passe
par le centre.
Corollaire II. — Le lieu géométrique des milieux d’un système de cordes
parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction commune de ces
cordes.
142. — Théorème : Dans un même cercle ou dans des cercles égaux,
deux cordes égales sont également éloignées du centre, et réciproquement
deux cordes également éloignées du centre sont égales.
Môme démonstration qu’en géométrie ordinaire.
143. — Dans la définition du cercle, on suppose que le rayon a une
grandeur géométrique parfaitement déterminée. Or, une grandeur psw n’est
pas déterminée quand on dit qu’elle est nulle ou infinie, puisque dans
cette hypothèse l’argument <o peut avoir une valeur quelconque. Il n’existc
donc pas de cercle de rayon nul ou infini.
Cependant, pour abréger le langage, nous appellerons suivant l’usage
circonférence de rayon nul le lieu géométrique des points à distance nulle
d’un point donné 00', qui sera dit le centre. Ce lieu se compose évidem­
ment des deux droites isotropes issues du centre.
G. TARRY. — GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. — LE CERCLE ET LA TRIGONOMÉTRIE 5
POINTS REMARQUABLES I)E LA CIRCONFÉRENCE
144. — Une circonférence peut avoir des points imaginaires conjugués,
autres que les points cycliques, ou bien des points réels.
Considérons d’abord une circonférence de centre imaginaire 00' et de
rayon r -(- r’ \J — 1.
Si deux points propres de la circonférence sont imaginaires conjugés,
PP' et P'P, le centre est situé sur la droite réelle PPP'P', perpendiculaire
au milieu réel HH de la corde PP'PT, et ces deux points imaginaires
conjugués sont symétriques par rapport au diamètre réel du cercle.
Si un point de la circonférence est réel, son symétrique par rapport •
au diamètre réel est un second point réel de la circonférence.
La corde réelle qui joint deux points imaginaires conjugués, ou deux
points réels, est rencontrée en son point milieu 1IH par le diamètre réel,
qui lui est perpendiculaire.
Soit M le milieu de segment 00' de géométrie ordinaire.
Les trois points 00', MM, HH sont en ligne droite.
Désignons par d \J — I et x les longueurs des segments OO'MM et MMHH,
comptés sur la même semi-droite; les quantités d et x sont réelles, et la
distance OO'HH est évidemment égale kd v — 4 -)- x.
La différence des carrés (r -|- r' y/ — 4 )2 — (x - d\J — 4)2, égale au
carré de la moitié de la corde qui joint deux points imaginaires conjugués
ou réels, est nécessairement une quantité réelle k. Pour que cette condi-
TTr
tion soit remplie, il faut et il suffît que x soit égale à -f- — . Le milieu
d
de la corde est donc parfaitement déterminé.
Ce qui démontre que sur une circonférence de centre imaginaire il existe
toujours un couple de points propres imaginaires conjugués et un seul, y
sans points réels, ou bien deux points réels sans couple de points propres
imaginaires conjugués.
Les deux points sont réels ou imaginaires conjugués suivant que k est
positif ou négatif. Ces deux points se confondent en un seul lorsque k est
nul ; d est alors égal à + r', ou — r'.
Examinons maintenant un cercle de centre réel 00 et de rayon ps“.
Pour que deux points imaginaires conjugués PP' et P'P appartiennent
à la circonférence, il faut et il suffit qu’on ait
OOPP'2 = ÔÜFP* ou — p2£- 2",
ce qui exige que a soit égal à 0, ou -f- Gy •
6 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR LAVANCEMENT DES SCIENCES
Dans le premier cas, le rayon est Égal à p et la circonférence csl dite
réelle : la circonférence réelle, aune infinité de points réels, cl tousses points
imaginaires sont conjugués deu.r à deux.
Dans lo second cas, le rayon est égal à j p\/ — I cl la circonférence
est dite imaginaire simple ; la circonférence imaginaire simple n'a aucun
point réel cl tous ses points sont imaginaires conjugués deux à deux.
Le cercle imaginaire simple a. son centre réel et le carré de son rayon
est réel négatif. Ce cas particulier du cercle de la géométrie générale a
été étudié par Chasles (Géométrie supérieure, chap. X.YXIll).
Enfin, une circonférence de centre réel dont le carré du rayon n’est pas
réel, ne possède pas de points propres réels ou imaginaires conjugués.
tant; entes.
lio. — Définition. — La tangente en un point d’une courbe continue est
la limite vers laquelle tend la direction d’une sécante que l'on fait tourner
autour de ce point, de manière qu’un second point d’intersection de cette
sécante arec ht courbe se rapproche indéfiniment du premier, appelé point
de contact.
Et géométrie générale, on dit qu'un point décrit une courbe continue
quand ses composantes décrivent des courbes continues de géométrie
ordinaire.
Supposons qu’une courbe possède une tangente en l’un de ses points
TT'.
Du centre T, décrivons une circonférence de géométrie ordinaire de
rayon infiniment petit, et soient A, B, C,... des points de cette circon­
férence.
A, B, C,... peuvent être considérés comme les composantes positives
des points AA', BB', CC', ... situés sur la courbe et infiniment voisins
de TT', puisque la courbe est continue; AA', BB'. CC', ... sont des points
d’intersection de la courbe avec les droites isotropes positives issues des
points AA. BB. CC, ... infiniment voisins de TT.
Les points AA', BB', CC',... de la courbe infiniment v'oisins de TT', sont
évidemment situés sur la tangente à la courbe en TT'.
Pour que la sécante menée par le point TT' de la courbe et un point
voisin tende vers une direction limite, quel que soit le chemin parcouru
par le point cpii se rapproche indéfiniment de TT', il est donc nécessaire
que les droites TT'A.V', TT'BIl', TT'CC', ... se confondent en une seule, ou
que les ligures infiniment petites de géométrie ordinaire. ABC ... et
A'B'C', ... soient inversement semblables.
lit il est clair que celle condition sutlit pour que la courbe continue
ait une tangente au point TT'.
7
r,. t \ nu y. — r.tinstrVrniK c.kn-etui.k. — r.r: cerci.e f,t i.a Tiur.ONOMÉTiiiE
140. — On appelle courbe monogène, toute courbe qui possède line
tangcnle parfaitement déterminée en chacun de ses points.
Pour qu’une courbe soit monogène. if faut et il suffit que tes figures infi­
niment petites, formées pur les composantes positive et négative de points de
la courbe infiniment voisins, soient inversement semblables.
On est ainsi conduit à dire que les figures décrites simultanément par
les composantes P et P'd'un point PP'd’une courbe monogène sont des
figures inversement semblables dont le rapport de similitude varie d’un
lieu à l’autre.
O rapport de similitude est égal au carré de la caractéristique de la
tangente à la courbe au point PP'; il est nul ou infini quand la tangente
est une droite, isotrope, positive ou négative, et égal à l’unité quand la *
tangente est parallèle à une droite réelle.
147. — Soient A (A' et A(IA', deux points infiniment voisins d’une
courbe monogène. Supposons qu’un point de la courbe se meuve d’une
manière continue eu allant de A,A, il AnA'„> suivant un chemin infiniment
petit, et soient, A,A', A., A', ... des positions de ces points.
Tous les points A,A'. AjA', A;tA ',... ABA'„ son! situés sur une même
droite tangente à la courbé, et par conséquent la somme des segments
A^A'A^A', A A!,A3A'.........V i-A -A A n cst a 'a longueur du seg­
ment A A’a^.V, quel que soit te chemin suivi par le point de la courbe
qui se rend de A. A! à AnA'n. pourvu qu’il soit infiniment petit.
Par définition, nous dirons que les longueurs de ces parcours égaux,
qui sont en nombre infini, mesurent la longueur de Pare de courbe cor­
respondant, et nous pourrons exprimer la propriété précédente sous
cette forme :
La longueur d’un arc de courbe monogène infiniment petit est égale à la
longueur de sa corde.
148. — La première courbe monogène que l’on songe à concevoir ests
le lieu des points dont lus composantes positive et négative sont des points
homologues de deux figures inversement semblables; c’est la ligne droite
de la géométrie générale.
Ensuite se présenta naturellement le lieu des points dont les compo­
santes isotropes sont les points correspondants de deux figures inverses ;
c’est la circonférence de la géométrie générale.
La plus simple des courbes non monogènes est le lieu géométrique des
points dont les composantes isotropes positive et négative sonl les points
homologues de doux figures directement semblables; nous donnerons à
ce lieu lo nom de pseudo-droite.
8 ASSOCIATION FRANÇAISE PODR L’AVANCEMENT DES SCIENCES
ÉQUATION DE LA TANGENTE.
149. — Soit f(x,y) = 0 l’équation d’une courbe, en coordonnées carté­
siennes.
Il s’agit de trouver l'équation de la droite tangente en un point MM' de
la courbe, correspondant à la solution f[xA -f- x'yj— \,yx -)— v/' y/ — l)= 0 .
OO'XX' et OO'YY' étant les axes de coordonnées, la parallèle à l’axe
des yy’, menée par le point MM', rencontre l’axe des xx' en un point
PP' tel que l’on a :
OO'PP' = xi + as\\/ — 1 et PP'MM' = ÿ1 -f- y\\J— 1.
Pour simplifier la construction de la figure, nous supposerons que les
composantes de ses différents points sont
confondues. Ces figures symboliques, dont
nous avons déjà fait usage, permettent de
suivre le raisonnement avec moins de
fatigue.
Par le point MM' et un point voisin NN',
pris sur la courbe, menons une sécante
MM'NN', puis supposons que le point NN'
Fig. 1.
se rapproche indéfiniment du point MM' ;
si la courbe est monogène, la droite MM'NN' tendra vers une position
limite, qui sera la tangente à la courbe au point MM'.
Soient -|- a;'y/— 1 -|-h h’y — 1 et //, + y\\J — 4 -f- d -|- d'y/—1
les coordonnées du point voisin NN'. Le coefficient angulaire de la sécante
| (['y/ _ |
MM'NN' est le rapport------------, — de la différence des ordonnées des
h + h’\/— 1
deux points MM' et NN' à la différence de leurs abscisses.
QuandlepointNN'se rapproche indéfiniment du point MM',les deux accrois­
sements d -{- d'y/ — f et h -f- h'\/ — 1 tendent simultanément vers zéro et le
rapport ^ ^ ^ ^ ^end vers une limite, qui est la dérivée de l’ordonnée
h -f- h’y — 1
considérée comme une fonction de l’abscisse.
Si l’équation de la courbe est résolue par rapport à y et mise sous
la forme y = f(x), la tangente aura pour coefficient angulaire //' = f’(x).
Lorsque 1 équation de la courbe f\x,y)z= 0 n’est pas résolue, on obtient
ladérivôei/' de la fonction implicite y à l’aide de l’équation fx-\- y’f'y — 0,
dans laquelle f’x et f désignent les dérivées partielles de la fonction
f{x,y) = 0 par rapport à a; et par rapport à y. On en déduit
y’
fw
G. TARRY. — GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. — LE CERCLE ET LA TRIGONOMÉTRIE 9
Ainsi, si l’on désigne par X et Y les coordonnées d’un point quelconque
de la tangente, l’équation de cette droite est
f'
Y — y = — (X — x) ou (X — x)f'x -f- (Y — Xy)f'y — 0.
• v
150. — On donne le nom de fonctions monogènes aux fonctions d’une
variable qui jouissent de la propriété d’avoir, pour chaque valeur de la
variable, une dérivée parfaitement déterminée.
Une courbe monogène a pour équation une fonction monogène, et
réciproquement une fonction monogène représente une courbe mono­
gène. ,
Il est intéressant de comparer la propriété géométrique des fonctions
monogènes, énoncée au n° 146, avec celle qui résulte de la conception
d’Argand adoptée par Cauchy. (Voir Briot et Bouquet, Théorie des fonc­
tions elliptiques, 2e édition.)
Dans le mode de représentation de Cauchy, comme l’ont très bien
remarqué plusieurs géomètres, l’équation proposée ne représente plus, à
vrai dire, une courbe comme dans le système de Descartes, mais un
mode de transformation dont les propriétés se rattachent à celles de la
courbe.
TANGENTE AU CERCLE.
151. — La circonférence de cercle est une courbe monogène, et par
conséquent possède une tangente en chacun de ses points.
De la définition de la circonférence on déduit facilement la propriété
des tangentes.
Considérons un point fixe AA' d’une circonférence de centre 00' et un
point variable BB', voisin du premier.
Dans le triangle isocèle OO'AA'BB', le double de l’angle OO'AA'BB',*
augmenté de l’angle BB'OO'AA', est égal à ± ir.
Quand le point BB' se rapproche indéfiniment du point AA', l’angle
BB'OO'AA' tend vers zéro, et par suite l’angle OO'AA'BB'tend vers ±:
It
Donc, la tangente à la circonférence en un point AA' est perpendiculaire
à l’extrémité du rayon OO'AA' qui aboutit au point de contact AA'.
Et réciproquement, la perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon est tan­
gente à la circonférence.
Corollaire I. —On peut toujours mener à une circonférence deux tangentes
parallèles à une droite donnée non isotrope, et on n’en peut mener que
deux.
Corollaire II. — Toute tangente est parallèle aux cordes que le diamètre
mené par le point de contact partage en deux parties égales.