Table Of ContentGéométrie des espaces de tenseurs, application à
l’élasticité anisotrope classique et généralisée
Nicolas Auffray
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Nicolas Auffray. Géométrie des espaces de tenseurs, application à l’élasticité anisotrope classique et
généralisée. Mécanique des solides [physics.class-ph]. Université Paris-Est, 2017. tel-01576384
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Submitted on 23 Aug 2017
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École Doctorale SIE
Laboratoire Modélisation et Simulation Multi Echelle
HDR
Nicolas Auffray
Géométrie des espaces de tenseurs,
application à l’élasticité anisotrope
classique et généralisée
Spécialité : Mécanique
Soutenue le 02 Février 2017 devant un jury composé de :
Rapporteur B.Desmorat (MaîtredeConférences-HDR,UPMC)
Rapporteur S.Forest (DirecteurdeRecherche,MINESParisTech)
Rapporteur J.F.Ganghoffer (ProfesseurdesUniversités,UniversitédeLorraine)
Examinateur G.Geymonat (DirecteurdeRecherche,ÉcolePolytechnique)
Examinateur Q.-C.He (ProfesseurdesUniversités,UPEM)
Examinateur F.dell’Isola (ProfesseurdesUniversités,Sapienza-UniversitàdiRoma)
Examinatrice E.Rouhaud (MaîtredeConférences-HDR,UTT)
Examinateur K.Sab (DirecteurdeRecherche,ÉcoledesPontsParisTech)
HDReffectuéeauseinduLaboratoireModélisationetSimulationMultiEchelle
del’UniversitéParis-EstMarne-la-vallée
HDRbientôtdisponibleencrèmedejour
iv
Table des matières
I SynthèseProfessionnelle ix
I.1 CurriculumVitaeetvoletadministratif 1
1.1 ÉtatCiviletSituationProfessionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Postes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Activitésd’enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Descriptiondesactivitésderecherche 7
2.1 Résumédestravauxderecherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Modélisationdesmilieuxarchitecturéspardesmodèlesgénéralisés . . . 9
2.1.2 Représentationdegroupeetmilieuxcontinus . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Activitésderecherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Productionscientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II Détaildescontributions 19
II.1 Classesdesymétriedestenseursdecomportement 21
1.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Symétriephysiquevs. symétriematérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Classedesymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2 Lessous-groupesfermésdeO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.3 Symétrietensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4 Classedesymétriephysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Algèbredesloisdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Décompositionharmoniquedestenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
vi TABLEDESMATIÈRES
1.4.1 ReprésentationsirréductiblesdeSO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2 ReprésentationsirréductiblesdeO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.3 Décompositionharmoniquedel’espaceEla . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.4 FormulesdeClebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5 OpérationsdeClips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2 Autourdesinvariantsdutenseurd’élasticité 53
2.1 Problématiqueinitiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Lathéoriedesinvariantsdansunecoquilledenoix . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Reconstructioninvariantedutenseurd’élasticité2D . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1 Décompositionharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2 Based’intégrité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3 Classesdesymétrieetinvariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.4 Interprétationmécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.5 Reconstructiondutenseurd’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Extensionàl’élasticité3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.1 H4: invariantsetstratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.2 Based’intégritédeEla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
II.3 Applicationàlamécaniquedesmatériauxarchitecturés 85
3.1 Uneobservationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Constructiond’unmilieucontinugénéralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Élasticitémicromorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Élasticitéàgradientdedéformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3 Analysedel’élasticitéàgradient2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 Retoursurlesclassesdesymétrie2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.2 Classesdesymétrie2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.3 Naturedescouplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4 Propagationd’ondedansunmilieuélastiqueàgradient . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.1 Tenseuracoustiquegénéralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.2 Conservationdel’énergie,vecteurdePoyntingetvitessedel’énergie . . 108
3.4.3 Vitessedegroupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4.4 Applicationsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
TABLEDESMATIÈRES vii
Conclusionettravauxàvenir 115
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6 Directionsàexplorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6.1 Conceptionoptimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6.2 Basefonctionnellepourletenseurd’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6.3 Extensionàladynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6.4 Enbref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A Notations 121
B Constructiondesmatricesanisotropes 125
C Dictionnaireentrelesdifférentesnotationscristallographiques 131
Bibliography 144
viii TABLEDESMATIÈRES
Partie I
Synthèse Professionnelle
Description:Cours magistraux, travaux dirigés et pratiques algèbre. Pour cela, on exploite le lien entre les espaces de tenseurs et les espaces de formes binaires. Nous avons ainsi repris et ré-interprété les .. multi-physiques, à l'endommagement anisotrope, à l'élasticité non-linéaire, aux fonction
