Table Of ContentCURSO SUPERIOR
I
I
ADVER TENCIA
Este tratado de Geometría completa los cursos elemental y me·
dio, ya publicados para la primera enseñanza.
A más de numerosos ejercicios y problemas prácticos contiene
este libro Nociones de Agrimensura, Levantamiento de Planos y Ni
velación, que 56n como aplicación de los principios expuestos en él.
Las definiciones y teorías que encierra están en un todo con
formes con las de nuestro Curso de Geometría para la Segunda Ense
ñanza, de modo que los alumnos que pasaren de uno a otro curso, no
se verán precisados a estudiar otras definiciones, que si bien idénticas
en cuanto al fondo, no por eso dejarían de crearles a menudo serias
dificultades.
Se ha procurado exponer estos elementos de la ciencia geometflc3,
con la mayor sencillez y claridad posible, para facilitar de este modo
su estudio y generalizar más sus aplicaciones prácticas.
INTRODUCCION
PRELIMINARES
§ l. - Objeto de la Geometría.
I §'Ul G~om~tria es la ciencia de la extensión.
objeto es estudiar las propiedades, formas y dimensiones de
las figuras g¡:om¿trifQs.
Figura g~om¿tríca es una extensión determinada por puntos, lí~
n((/s o Sup(1'/icies.
m
La (xlensi6n considerada en los objetos materiales, es la por
ción-que ocupan del espacio absoluto y sin límites en que se hallan
colocados todos los cuerpos.
uei cuerpo, por pequeño que sea, es extenso en todos sentidos;
sin embargo la extensión se considera únicamente en tres sentidos
principales, llamados dimenúones, que se designan con los nombres
de -longitud o largo, latitud o ancho y altura que a veces se llama
grueso, espesor o profundidad.
En el volumen, la extensión está considerada en las tres dimen~
siones. Las superficies sólo tienen longitud y latitud, las líneas sólo
longitud, y el punto matemático no tiene extensión.
m
El volumen de un cuerpo está limitado por superficies. Un
sillar,por ejemplo, está limitado por sus caras.
Una porción de superficie está limitada por una línea. Por ejem.
pIo, las aristas del mismo sillar.
Una porción de línea está limitada. por dos puntos, v. gr.: los
vértices de ese sillar.
Cuando dos superficies se cortan, su intersección es una línea,
y la intersección qe dos líneas es un
pun~
ro (fig. 1).
m
Se puede considerar una línea ca
l~engendrada por un punto que se
mueve; una superficie, por 'una línea; y
mun s ólido, por una superficie.
Medir una figura es compararla
con la unidad de medida. Por lo tanto,
las longitudes, las áreas y los volúmenes
f,~. 1 se determinarán por su relación con la
unidad de la especie correspondiente.
8 GEOMETRIA
n. -
§ LÚlea.
r6""1 La línea más, sencilla es la recta.
D; hilo bien tirante nos da idea de la línea recta (Hg. 2).
l'
fi• . 2
La recta es ilimitada, es decir que se considera prolongada in~
definidamente.
'Se suele designar una recta por me
dio de dos letras que indican su direc
ción. Así se dirá: la recta MN'(fig. 3).
{1JLlámase segmento de recta, o más sencillamente recta, a la
porción de recta indefinida compren,di
da entre dos puntos determinados.
•
Para designar un segmento de recta se
FiJ· .. leen las letras de sus extremos; v. gr.:
la recta AB (fig. 4).,
La recta es la menor distancia entre dos puntos; por lo tanto la
recta es menor que cualquier otra Hnea que tenga los mismos extre
mos. La recta AB, por ejemplo (Hg. 5), es menor que la línea
ACmDEB .
Llámase linea quebrada o poligonal a la compuesta de varios
/
j'
Fi¡.6
segmentos de rectas unidos de dos en dos por uno de sus extFemos,
sin que dos consecutivos tengan la misma dirección.
Por ejemplo, la línea ABCDE (fig. 6).
[2J Un~a curva es aquella que ni
es recta, ni está formada de rectas.
Por ejemplo, la línea EFGH (fig. 7).
Pi¡. 7
FiJ;.8
Un hilo aflojado representa una Hnea curva (fig. 8).
•
INTRODUCCION 9
Línea mixta es la compuesta
de partes rectas y partes curvas. Tal es
fi. . 9 la línea ABCD (fig. 9).
~ Se llaman convexas a las líneas quebradas o curvas cuando
rC":'\C ..
Fig. la ¡ "
una recta no puede cortarlas en -más de dos puntos (fig. 10).
§ III. - Superficie.
[!b] P.lano o stlPerficie plana es la superficie con la cual coinci
de en toda su extensión una recta aplicada a dos cualesquiera de
sus-puntos.
Por ejemplo, la superfi:ie del agua re
posada en corta extenSlOn. la de una
pizarra (fig. 11).
(ll] Superficie poliédrioa O queb1'ada
es la compuesta de planos consecutivos
que terminan en sus mutuas interseccio
nes.
FiS_ 11 Por ejemplo, la superficie total de un
cubo.
[H] Superficie curva es la que en ninguna de sus partes es pla
na, como por ejemplo la de una esfera.
§ IV. - División de la geometría.
~ La Geometrfa e/emen~al se divide en Geometría plana y Geo~
metda del espacio.
La Geometrfa plana estudia las propiedades de las figuras planas,
esto es, de aquellas cuyos elementos están en un mismo plano.
'. Los cuatro primeros libros de esta obra tratan de la Geometría
plana.
La Geometría del espacio estudia las propiedacks de las figuras
cuyos elementos no están en un mismo plano.
Los"'cuatro últimos libros de esta obra tratan de la Geometría del
espacio.
§ V. - Definiciones de algunos términos empleados en geometría.
00
Las figuras geométricas son:
Iguales, cuando superpuestas, coinciden en toda su extensión;
Equivalentes, cuando tienen la misma extensión sin' tener la mis~
roa forma;
Semejantes, cuando tienen la misma forma sin tener la misma
extensión.
10 GEOMJ::TRIA
111.'
Axioma es toda verdad evidente por sí misma.
Por ejemplo:
El lodo ~s igual a la suma de sus parus;
La par/e es menor que d todo;
Dos canridades iguales a una teraro son igualt:s entre sí .
.I1!J.
Teorema es una verdad qU{· necesita ser demostrada.
Por ejemplo: la suma de los tingulos de rm tricíngulo es igual a
dos ángulos rcctos.
IT9.l Problema es una cuestión que tiene por objeto buscar can ti·
dades-cJesconocidas. \'aliéndose para dio de otras conocidas.
Ejemplo: hacer pasar una circunferencia por tres puntos que no
estin en línea recta.
120.1 L1ámase proposici6n al enunciado de un axioma o de un
teorema.
Hipótesis ,es la suposición de una cosa posible o imposible, para
deducir de ella alguna consecuencia,
mJ
Coro/ario es la consecuencia que se deduce de una demos
tración.
Escolio es una observación acerca de una proposición ya rlemos
trada.
122.1
Lema es ~na proposición que sirve para facilitar la demos
tración de un teor:'!ma.
lñJ
El enunciado de una proposición consta de dos partes: la
hipótesis o supuesto, que es Jo que se supone cierto, y la conclusión
o consecuencia que resulta del supuesto.
En el siguiente enunciado: Todo punto de la bisectriz de .un án
gulo equidista de los lados de este ángulo, la hipótesis es: todo punto
de la bisectriz de un ángulo, y la conclusión: equidista de los lados
de este dngulo.
IHJ
Dos proposiciones so~ recíprocas cuando la segunda tiene
por hipótesis la conclusión de la primera, y por conclusión la hipóte
sis de la misma.
La recíproca del ejemplo anterior será: todo punto equidistante
de los lados de un ángulo pertenece a la bisectriz de dicho ángulo.
Hay proposiciones cuyas recíprocas son falsas. La proposición:
todos los ángulos "utos son iguales, tiene por recíproca: todos los
ttngulos iguales son rectos. La proposición es cierta, pero falsa su
recíproca.
GEOMETRIA PLANA
LIBRO I
LINEAS RECTAS, ANGULOS
y POLIGONOS
CAPITULO
§ 1. - Angulos.
Definiciones
[1D Angula es una figura plana que forman dos rectas que se
corta"o y terminan en su punto de in
t tersección. Esas rectas Se llaman' lados dd
ángulo y el pumo en que se cortan,
vfí~:lUn se con
ángulo designa la sola
letra del vértice, o con tres letras colo
cadas una en cada lado, y otra en el vér
tice. Al leer se pone siempre en medio
la letra del vértice.
Así el ángulo de la fig. 12 se leerá
ángulo A o ángulo BACI.
A veces se designa un ángulo con una
fil' n lleo rram m(fiingú. sc1u3l)a. j por ejemplo el ángu
illJ
Dos ángulos son iguales cuando superpuestos, coinciden sus
•
Iad~
@:.J La magnitud o valor de un ángulo sólo depende de la ma
yor o menor abertura de sus lados, y no /
L-.~
de la longitud de éstos, ya que. siempre
se los supone indefinidos. Así, el ángulo
. FJ,.I" O ~,ayor que el ángulo E (fig. 14).
l12:J Angulas adyacent~s son los que
tienen el mismo vércice y un lado "::0·
mún; por ejemplo, los ángulos m y n
(fi~).
---_ Ll!!:J Una recta es p~rp~ndicll'lar a
....... ....;:,.. otra cuando forma con ella dos ángulos
adyacentes iguales, y oblicua cuando di·
chos ángulos son desiguales.
Fig. 15
Así la recta AB es perpendicular a
rm eD en la fig. 16, Y oblicua en la fig 17.
Angulo recto es aquel cuyos lados son perpendiculares en·
tte sí.
1 Al igual que algunos autores modernos, pa.ra. abreviar la e"$crltura. de
~ pa.labra ángulo, abrazaremos las......letras que setlalan esa figura con el
a.gno ...............q ue.se lee ángulo. Asl,~13Aa:-se leerá: ángulo A, ángulo BAO.
r
12 , GEOMETRIA •• LIBRO 1
• Fos:.16
r'I. 17
Los ángulos m, n (fig. 16) son rectos.
132.1
Un ángulo es agudo cuando es menor que un ángulo recto,
y obtuso en el caso contrario.
Por ejemplo, en la fig. 17 el ángulo n es agudo, y obtuso el án·
gula m.
133.1
Angulas complementarios son aquellos cuya suma es igual a
un recto y suplementarios aquellos cuya suma es igual a dos rectos.
En la fig 19 los ángulos HAn y BAB' son complementarios, y
suplementarios los ángulos BAe y BAO.
Complemento de un ángulo es lo que le falta para valer un án
gulo recto.
Suplemento de un ángulo es lo que le falta para valer dos ángu
los rectos.
134.1
Axioma. Dos linguJos iguales tienen complementos y suple
mentos iguales.
Recíprocamente, dos ángulos que tient:n complementos o suple
mentos iguales son igua1es.
135.1
Dos ángulos son opuestos por el
vértice cuando los lados del uno són las
~ prolongaciones de los lados del otro;
v. g.: los ángulos m, n (Iig. 18).
136.1
Bisectriz de un ángulo es la recta
/ i""
que, pasando por su vértice, divide al
ángulo en dos partes iguales.
Teorema
~ Por un punto tomado en una recta se puede levantar una
perpendicular a esta recta, y sóio una.
Sea e! punto A tomado en la recta eD.
II? Por el punto A se puede levanta,. una perpendicular a CD.
En efecto, tracemos una oblicua cual
quiera AB y hagámosla girar alrededor
de! punto A. El ángulo n, menor que
el ángulo m, aumenta constantemente,
en tanto que el ángulo adyacente m dis
minuye en lo que e! otro aumenta.
Claro está que la recta AS ile~ará a
tener una posición en que los ánzulos
Fi,.19 rn y n sean iguales, entonces AB' será
perpendicular a CD (NO 30).
CAP. l. -ANGULOS 13
2<'> Y sólo una pel·pendicular.
Porque si la perpendicular AH' se desviara, por poco que fuese,
a la derecha o a la izquierda, dejarían los ángulos m y n de ser
iguales, y' entonces la recta sería oblicua.
Luego, por un punto tomado en una
recta se puede levantar una perpendi-
A'J V
cular a esta recta, y sólo una.
I3 8.IColorario. Para obtener el com
plemento de un ángulo, se levanta en-el
vértice. una perpendicular a uno cualquie
ra de sus lados; el ángulo !lAD (fig. 20)
es el complemento del ángulo BAC.
Fig, 20
Teorema.
139.1
Dos ángulos adyacentes cuyoJ lados exteri01'es están en línea
recta son suplementarios.
Sean los ángulos CAB o m y DAS o n, cuyos lados exteriores
AC y AD están en línea recta.
Tracemos AE perpendicular a eo,
los Jos ángulos CAE y DAE son rectos
(N\' 31); lu~o: "-
m=l recto+i
f1'= 1 recto-l'
Sumando ordenadamenre, esto es,
miembro con miembro, tendremos:
Fig, 2] ~ + {¡=2 rectos
l:.uego, dos ángulos adyacentes, ..
/ uJ
Corolarios. - 1. Para hallar el
suplemento de un ángulo, basta prolon
gar por el vértice uno walquiua de sus
lado .. ; el ángulo EAC es el suplemento
del ángulo EAD (fig. 22).
F'g. 22
JI. La suma de los ángulos canseCll
c-utivos formados en un punto de una recta y a un mismo lado de
esta recta, es igual a dos ángulos rectos.
Porque si se levanta la perpendicular AH (fig. 23), la suma de
los dos ángulos rectos BAe, SAD es igual a la suma de los ángulos
m. n, r, y recíprocamente.
./
/ •
• """ I
-, Fil,24
IIJ. La JUma de todos los dngrdo .• consecutitlOJ formados olrede
Jor d~ un punto O (fig. 24) en un plano es igual a cuatro ángulos
~t'dos.
14 GEOMETRIA. ~ LIBRO t
Para demostrarlo basta prolongar uno de los lados, AO per
ejemplo, y de ese modo tendremos dos ángulos rectos a cada lado
de la recta AB.
[3L]
Teorema recíproco. Cuando dos ángulos adyacenus son su
pl(m~nta/'ios, sus lados exteriores estdn en línea recta.
cm Teorema.
Cuando dos ángulos son suplementarios, sus bisectrices for-
man un ángulo recto.
I
• • Sean los ángulos suplementarios AOB,
\\ BOe; y sean OE y OF las bisectrices.
\ ,....... Tenemos:
+
\ ........... 2r 25 = 2 rectos;
'. - 1 +
.,----.:...;o~---.:.'---- uego r s= 1 rc:cto
FiJ_ 25 Teorema.
ffi]
Dos ángulos opuestos por d vértice son iguales.
Sean m y n dos ángulos opuestos por el vértice.
Siendo AB una línea recta, el ángulo
m tiene por suplem~nto el ángulo s.
El ángulo n tiene también por suple
mento el ángulo s a causa de la recta
CD, luego, los ángulos m y n son igua
les por tener el mismo suplemento.
/ Fig.26 o Del propio modo se demostraría la
A igualdad de los ángulos opuestos $ y t.
Luego, ·dos ángulos opuestos .. _
§ 11. - Perpendiculares y oblicuas.
Lema.
00
Toda línea poligonal COnvexa es menor que cualquier otra
línea envolvente que tenga las mismos extremos.
Sea ABC una línea convexa envuelta
por otra ADFC, y con los mismos extre
mos A y C.
Para demostrar que ABe es menor,
prolonguemos AB. La recta es más cor
ta que cualquier otra línea que tenga los
mismos extremos (NI? 7); luego:
+ < +
• Fil'_ 27 y AHBe < BBEE +1 EAFD + FDeE
Sumando ordenadamente estas dos desigualdades, tendremos:
+ + < + + + +
AB BE Be AD DE BE EF Fe;
y suprimiendo BE en cada miembro, resultará:
1 >mayor que.
<menor que.
