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Nozioni preliminari
Sommario
1.1 Insiemi e funzioni
1.2 Logica elementare
1.3 Numeri e operazioni
1.4 Prerequisiti
Esercizi
Per cominciare lo studio di un nuovo argomento e` utile fissare un punto di partenza.
Bisogna stabilire un linguaggio comune, definire i termini di uso frequente e convenire
inanticiposucosasiasuppostonoto.Perinostriscopi,unbuonpuntodipartenzae` la
teoriaingenua(1)degliinsiemi.Probabilmentel’avraigia` incontrataneituoistudiprece-
denti;perognievenienzaquestocapitolocominciarichiamandoneiconcettidibase.Si
prosegueconunabrevediscussionedeinumerierelativeoperazioni,sempreconl’inten-
todiripassarealcuniconcettifondamentaliefissareunavoltapertuttelaterminologia.
Ilcapitolosiconcludeconunveloceriepilogodeiconcettimatematicichesisupponetu
abbia imparato alle scuole superiori.
(1)Cosı` chiamataperdistinguerladallabenpiu` complicataeinteressanteteoriaassiomatica
degli insiemi.
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2 Capitolo1–Nozionipreliminari
1.1 Insiemi e funzioni
Cominciamointroducendobrevementealcunenotazionieunpo’diterminologia(ovve-
roqualchesimboloenonpochinomi).SeAe` uninsieme,scriveremoa2Aperindicare
chel’elementoaappartieneall’insiemeA,ea2= Aperindicarecheanonappartienead
A.SeBe` unaltroinsiemeicuielementiappartengonotuttiancheadA,diremocheBe`
unsottoinsiemediA(ochee` contenutoinA),escriveremoB(cid:2)A(oppureA(cid:3)B,chesi
legge‘‘AcontieneB’’).SeinoltreBe` effettivamentediversodaA–cioe` Acontienedegli
elementichenonappartengonoaB–diremocheBe` unsottoinsiemepropriodiA,escri-
veremoB(cid:4)A(oA(cid:5)B).L’insiemevuoto,cioe` l’insiemeprivodielementi,sara` indicato
con[.Essendoprivodielementi,l’insiemevuotoe` sottoinsiemediqualsiasialtroinsie-
me.
Unasituazionechecapitera` spessosara` quelladidoverconsiderare‘‘ilsottoinsiemeB
deglielementidell’insiemeAchegodonodellaproprieta` tale’’.Insimboli,questadefini-
zione sara` abbreviata in
B¼fa2Aja gode della proprieta` taleg:
Per esempio, se indichiamo con N l’insieme dei numeri naturali, il sottoinsieme B dei
multipli di 3 puo` essere rappresentato da B¼fn2Njn e` divisibile per 3g, o anche
da B¼fn2Njn¼3k per qualche k2Ng.
Siano ora A e B due insiemi qualunque.
Figura1.1-Operazionifrainsiemi.
u L’intersezioneA\BdiAeBe` l’insiemecontenentesologlielementichestannosiain
A sia in B (vedi la Figura1.1.(a)). Se A\B¼[, diremo che gli insiemi A e B sono
disgiunti.
u L’unioneA[BdiAeBe` l’insiemechecontienetuttiglielementidiAassiemeatutti
gli elementi di B (vedi la Figura 1.1.(b)).
u LadifferenzaAnBdiAeBe` l’insiemechecontieneesattamentequeglielementidiA
che non stanno in B (vedi la Figura 1.1.(c)).
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1.1Insiemiefunzioni 3
u IlprodottocartesianoA(cid:6)BdiAeBe` l’insiemedellecoppieordinateða;bÞ,doveae`
un qualunque elemento di A e b e` un qualunque elemento di B.
Se esisteun concetto che caratterizza la matematica modernae` il concetto di funzione.
Praticamentetuttalamatematica(elageometrianone` dameno)nefaunusocontinuo.
Non ti sorprendera` quindi scoprire che il resto di questo primo paragrafo e` dedicato a
una discussione delle funzioni e delle loro proprieta`.
DEFINIZIONE1.1
Unafunzione(oapplicazione)fradueinsiemiAeBe` unaleggecheassociaaciascun
elementodiAunoeunsoloelementodiB.L’insiemedipartenzaAe` ildominiodella
funzione;l’insiemediarrivoBilcodominio.Insimboli,unafunzionefdidominioAe
codominio B verra` indicata con f:A!B. Se la funzione f manda l’elemento a2A
nell’elemento b2B, scriveremo(2) b¼fðaÞ, e diremo che b e` immagine di a
tramite f. L’insieme degli elementi di B che sono immagine tramite f di elementi
di A e` l’immagine di f, e viene indicata con Im f oppure con fðAÞ; in simboli
fðAÞ¼fb2Bjb¼fðaÞ per qualche a2Ag¼ffðaÞ2Bja2Ag:
OSSERVAZIONE1.1
Possiamopensarelafunzionef:A!Bcomeunaspeciediscatolanera,conuningres-
so e un’uscita (vedi la Figura 1.2). Ogni volta che in ingresso entra un elemento del
dominio,lascatolanera–lafunzione–loelaboraepoiemettedall’uscitaunelemento
delcodominio.None` importantelanaturadeglielementi deldominioedelcodomi-
nio(possonoesserenumeri,rette,patate,cavalleggeriprussianioqualsiasialtracosa)
ne´ iltipodiprocessidigestivicheavvengonoall’internodellascatola.Somme,prodot-
ti,classificheoforminedasabbia,tuttoe` ammissibile,purche´ilprocedimentousatosia
semprelostesso:ognivoltacheiningressoinfiliamolastessapatata,inuscitadobbia-
mo ottenerelastessa cipolla –a ognielemento deldominio viene associatounoe un
solo elemento del codominio, appunto.
Figura1.2-Unafunzionecomescatolanera.
Questaanalogiacipermettedidirequandoduefunzionisonouguali.Perinostriscopi,
duescatolenerecheproduconosemprelostessooggettoquandoiningressoricevonolo
stesso elemento sono indistinguibili: non potendo vedere come sono fatte dentro, se si
comportano nello stesso modo per noi coincidono.
DEFINIZIONE1.2
Duefunzionif:A!Beg:A!B(conlostessodominioelostessocodominio,s’in-
tende)sonouguali,escriveremof¼goppuref(cid:7)g,seesolosefðaÞ¼gðaÞperogni
a2A.
Vediamo ora qualche esempio.
(2)Oppure a7!f b,osemplicemente a7!b, se ilcontestoindividua chiaramentedi quale fun-
zionesi tratta.
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4 Capitolo1–Nozionipreliminari
1.1
Se A e` un insieme, la funzione id :A!A che associa a ogni elemento di A se stesso
A
(cioe` id ðaÞ¼a per ogni a2A) si chiama l’identita` di A.
A
1.2
SianoAeBinsiemi,eb 2Bunelementodato.Laleggef:A!Bcheassociab aogni
0 0
elemento di A (in simboli, fðaÞ¼b per ogni a2A) e` una funzione, detta funzione co-
0
stante di valore b .
0
1.3
Siano A e B gli insiemi A¼f1;2;3;4g e B¼fa;b;c;d;eg. La legge f:A!B data da
fð1Þ¼b, fð2Þ¼a, fð3Þ¼d, fð4Þ¼b e` una funzione. Possiamo rappresentarla con
un disegno come in Figura 1.3.
Figura1.3-Rappresentazionegraficadiunafunzione.
DEFINIZIONE1.3
Sia f: A!B una funzione. Se A (cid:2)A e` un sottoinsieme di A, l’immagine di A
1 1
tramitefe` l’insiemefðA Þ(cid:2)BdelleimmaginideglielementidiA (vedilaFigura 1.4.(
1 1
a)). Viceversa, se B (cid:2)B, l’insieme degli elementi di A la cui immagine tramite f ap-
1
partieneaB (vedilaFigura1.4.(b))sichiamaimmagineinversaf(cid:8)1ðB ÞdiB tramite
1 1 1
f; in simboli,
f(cid:8)1ðB Þ¼fa2AjfðaÞ2B g(cid:2)A:
1 1
Chiaramente, f(cid:8)1ðBÞ¼A per qualunque funzione f:A!B (perche´?).
Figura1.4-(a)Immagine;(b)Immagineinversa.
1.4
Sia f:A!B la funzione definita nell’Esempio 1.3, e poniamo A ¼f2;4g e
1
B ¼fb;d;eg. Allora fðA Þ¼fa;bg e f(cid:8)1ðB Þ¼f1;3;4g.
1 1 1
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1.1Insiemiefunzioni 5
1.5
La classifica della quinta giornata del girone d’andata del campionato di serie A del
2009/2010 e` una funzione che associa a ogni squadra di serie A un numero naturale:
ilsuopunteggio.Daquestopuntodivista,ilcampionatoconsistenelcambiarefunzione
ogni domenica.
Ogni funzione in cui sia il dominio il codominio sono costituiti da un numero finito di
puntipuo` venirevisualizzataconundisegnosimileallaFigura1.3:l’essenzialee` cheda
ognipuntodeldominiodevepartireunaeunasolafreccia.Perintenderci,iduedisegni
dellaFigura1.5nonrappresentanofunzioni:ilprimoperche´ aunelementodeldominio
vengonoassociatidueelementidelcodominio,eilsecondoperche´ aunelementodeldo-
minio non viene associato alcun elemento del codominio.
Figura1.5-Leggichenonrappresentanofunzioni.
1.6
Ilprezzoallitrodellabenzinadalbenzinaioall’angoloe` unafunzionecheassociaaogni
giornodegliultimitreanniunnumero–ede` unafunzionesfortunatamentenondecre-
scente.
1.7
Laleggecheassociaaognigiornodell’anno2010ilprezzoallitrodellabenzinainItalia
none` unafunzione.Infatti,ilprezzocambiadabenzinaioabenzinaio,percuinonsipuo`
associare a ciascun giorno dell’anno un unico prezzo.
1.8
Un tipo particolare di funzioni e` costituito dai polinomi. Un polinomio (a coefficienti
reali, in una variabile(3)) e` una funzione p:R!R della forma
pðtÞ¼a tnþa tn(cid:8)1þ(cid:9)(cid:9)(cid:9)þa ; ð1:1Þ
n n(cid:8)1 0
dove R indica l’insieme dei numeri reali, n2N e` un numero naturale detto grado del
polinomio,ea ;...;a 2Rsononumerireali,icoefficientidelpolinomio.Inparticolare,
0 n
a e` dettoterminenoto,ea 6¼0coefficientedirettivo.Ipolinomidigradozerosonoesat-
0 n
tamente le costanti. Per noi, un polinomio sara` sempre una funzione, e mai una miste-
riosacombinazioneformaledilettereenumeri.IndicheremoconR½t(cid:10)l’insiemedituttii
polinomi(acoefficientireali,inunavariabile),econR ½t(cid:10)l’insiemedeipolinomidigra-
n
do minore o uguale a n2N.
1.9
Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono funzioni da R in R, come pure l’espo-
nenziale;illogaritmoinvecee` unafunzionechehal’insiemedeinumerirealipositivico-
me dominio ed R come codominio.
(3) Unavolta vista ladefinizione dovrebbe essere chiaro come costruire polinomi in piu` va-
riabili, evedremo frapoco chene esistonoanche conaltri tipi dicoefficienti.
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6 Capitolo1–Nozionipreliminari
DEFINIZIONE1.4
Siaf:A!BunafunzionedaAaB.SeA e` unsottoinsiemediA,lafunzionefchia-
1
ramente determina anche una legge che a ogni elemento di A associa un elemento
1
diB(lastessaleggediprima),equindiunafunzionedaA aB.Questanuovafunzio-
1
nesichiamarestrizionedifadA ,esiindicaconfj .Secapitera`,scriveremofðA Þe
1 A1 1
nonfj ðA Þperindicarel’immaginedifristrettaadA ,inmododanoncomplicare
A1 1 1
troppo le formule.
1.10
La funzione f¼pj :N!R che associa a ogni numero naturale il suo successore e` la
N
restrizione a N del polinomio p:R!R dato da pðtÞ¼tþ1.
Ovviamente,nontuttelefunzionigodonodellestesseproprieta`.Peresempio,nonsem-
pretutti glielementi delcodominiodiunafunzionesono immaginedielementi deldo-
minio;ingenerale,l’immaginee` unsottoinsiemepropriodelcodominio.Lefunzioniper
cui cio` non accade meritano un nome speciale.
Figura1.6-Funzionisurgettiveenonsurgettive.
DEFINIZIONE1.5
Selafunzionef:A!Be` talecheognielementodelcodominioarrivadaunodeldo-
minio – cioe` Imf¼B – diremo che f e` surgettiva.
In termini della rappresentazione grafica introdotta nell’Esempio 1.3, una funzione e`
surgettiva se ogni elemento del codominio e` raggiunto da almeno una freccia: nella Fi-
gura1.6 la funzione a sinistra e` surgettiva, quella a destra no.
Un’altracosachepuo` accaderee` cheadueelementidiversideldominiounafunzione
associ la stessa immagine; le funzioni per cui questo non e` vero hanno un nome.
DEFINIZIONE1.6
Se la funzione f:A!B associa elementi diversi del codominio a elementi diversi del
dominio–cioe` sea 6¼a implicafða Þ6¼fða Þ–diremochelafunzionefe` iniettiva.
1 2 1 2
In termini della solita rappresentazione grafica, una funzione e` iniettiva se su ogni ele-
mentodelcodominioarrivaalpiu` unafreccia(mapuo` anchenonarrivarnealcuna):nel-
la Figura 1.7 la funzione a sinistra e` iniettiva e quella a destra no.
Figura1.7-Funzioniiniettiveenoniniettive.
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1.1Insiemiefunzioni 7
DEFINIZIONE1.7
Una funzione f:A!B sia iniettiva sia surgettiva verra` detta bigettiva (o biiettiva, o
biunivoca). Una funzione bigettiva associa a ciascun elemento del codominio uno e
un solo elemento del dominio(4); se b2B, esiste un unico a2A tale che fðaÞ¼b.
Questo ci permette di definire una funzione da B ad A, la funzione inversa
f(cid:8)1:B!A, ponendo f(cid:8)1ðbÞ¼a, dove a2A e` quell’unico elemento tale
che fðaÞ¼b. Le funzioni bigettive si dicono anche invertibili.
Usandodinuovolarappresentazionegraficadell’Esempio1.3,unafunzionee` bigettiva
se su ogni elemento del codominio arriva esattamente una freccia, e in tal caso la fun-
zioneinversasiottieneinvertendoilsensodellefrecce.Perintenderci,nessunadellefun-
zioninelleFigure1.6e1.7erabigettiva,mentrelaFigura1.8cenemostraunainvertibile
(a sinistra) assieme alla sua inversa (a destra).
Figura1.8-Unafunzionebigettivaelasuainversa.
OSSERVAZIONE1.2
Attenzioneanonconfondereiconcettidifunzioneinversaediimmagineinversa.La
funzione inversa f(cid:8)1 associa aogni elemento del codominiodi f unelemento deldo-
miniodif,edesistesoltantoquandolafunzionefe` bigettiva.L’immagineinversa,in-
vece, associa a un sottoinsieme del codominio un sottoinsieme del dominio – per cui
none` unafunzionedefinitasulcodominio–edesistesempre,anchequandolafunzio-
ne f non e` bigettiva.
OSSERVAZIONE1.3
Attenzioneancheanonconfondereiconcettidifunzioneedifunzioneiniettiva.Una
funzionef:A!BassociasempreaognielementodiAunoeunsoloelementodiB;per
unafunzioneiniettivainveceognielementodiBe`immaginedialpiu`unelementodiA,
che e` un concetto ben diverso. In una funzione qualunque, da ogni elemento del do-
minio parte esattamente una freccia; in una funzione iniettiva, su ogni elemento del
codominioarrivaalpiu` unafreccia.Traparentesi,unafunzionef:A!Be` surgettiva
seognielementodiBe`immaginedialmenounelementodiA,ebigettivaseognielemen-
to di B e` immagine di uno e un solo elemento di A.
DEFINIZIONE1.8
Supponiamo di averedue funzioni f:A!Be g:B!C, dove il codominio dif coin-
cide col dominio di g. In tal caso possiamo definire una nuova funzione, la composi-
zione g(cid:11)f:A!C delle funzioni f e g, tramite la formula
(cid:2) (cid:3)
ðg(cid:11)fÞðaÞ¼g fðaÞ : ð1:2Þ
(4)Inuncertosenso,questovuoldirecheildominioeilcodominiohannolostessonumerodi
elementi; in Acenesono tantiquantiin B.
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8 Capitolo1–Nozionipreliminari
Perognia2A,lag(cid:11)fe` effettivamenteunafunzione:infatti,associaaciascuna2A
ununicoelementodiB,eassociaaquest’ultimoununicoelementodiC,percuig(cid:11)fe`
una legge che a ciascun elemento di A associa uno e un solo elemento di C (vedi la
Figura 1.9).
Figura1.9-Composizionedifunzionecomescatolenere.
1.11
Dati i tre insiemi A¼f1;2g, B¼fa;b;cg, C¼f~;};|;€g, definiamo le funzioni
f:A!Beg:B!Cconfð1Þ¼c,fð2Þ¼b,gðaÞ¼|¼gðbÞ,egðcÞ¼~.Alloralacom-
posizionedifege` lafunzioneg(cid:11)f:A!Cdatadaðg(cid:11)fÞð1Þ¼~eðg(cid:11)fÞð2Þ¼|(vedi
la Figura 1.10).
Figura1.10-Composizionedifunzioni.
1.12
Siano f:N!R e g:R!R le funzioni date da fðnÞ¼2nþ3 e da gðxÞ¼2x. Allora
la composizione di f e g e` la funzione g(cid:11)f:N!R data da
ðg(cid:11)fÞðnÞ¼g(cid:2)fðnÞ(cid:3)¼gð2nþ3Þ¼22nþ3:
Notachel’immaginedig(cid:11)fe` contenutainN,anchesel’immaginedige` benpiu` grande
(e` l’insieme di tutti i numeri reali positivi).
1.2 Logica elementare
Faredellamatematica vuoldiregiungereadeterminateconclusionitramitecertiragio-
namenti(5).Capitadunquespessodiusarefrasicome‘‘implica’’,‘‘perogni’’osimili;per
risparmiare tempo sono stati inventati dei simboli che le rappresentano.
Invecedi‘‘implica’’capitera` discrivere‘‘¼)’’,mentre‘‘e` equivalentea’’sara` talvolta
sostituito da ‘‘()’’. Puo` succedere che ‘‘tale che’’ sia sostituito da due punti ‘‘:’’ o da
(5)Lo studiodella strutturadi questi ragionamentie` compito della logica matematica.
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1.2Logicaelementare 9
unabarraverticale‘‘j’’.Invecedi‘‘perogni’’avoltescriveremo‘‘8’’,ealpostodi‘‘esi-
ste’’ a volte scriveremo ‘‘9’’. Un esempio per chiarire: se P e` l’insieme dei numeri pari,
eNl’insiemedeinumerinaturali,lafrase‘‘perogninumeropariaesisteunnumerona-
turale m tale che a¼2m’’ diventa
8a2P 9m2N:a¼2m:
Capitera` talvoltaanchediscrivere‘‘9!’’,chesignifica‘‘esisteunico’’.Peresempio,sevo-
lessimo sottolineare che esiste un unico numero naturale m tale che a¼2m potremmo
scrivere
8a2P 9!m2N:a¼2m:
1.13
Proviamoascrivereconquestisimboliledefinizionidifunzioneedifunzionebigettiva.
La legge f:A!B e` una funzione se
8a2A 9!b2B:b¼fðaÞ;
una funzione f:A!B e` bigettiva se e solo se
8b2B 9!a2A:b¼fðaÞ:
OSSERVAZIONE1.4
Non si possono scambiare impunemente i simboli 8 ed 9; la formula
8a2P 9m2N:a¼2m
significa una cosa ben diversa dalla formula
9m2N:8a2Pa¼2m:
Laprimaformulavuoldire‘‘perogninumeropariaesisteunnumeronaturalem(che
dipende da a) tale che a¼2m’’, che e` ovviamente vero. La seconda formula invece
vuol dire che ‘‘esiste un numero naturale m (uno solo, ben determinato) tale che
per ogni numero pari a si ha a¼2m’’, ovvero ogni numero pari e` il doppio del
nostrom,lostessoqualunquesiailnumeropariconsiderato,affermazionechiaramen-
te falsa.
Capitera` piu` volte in seguito di dover negare una frase che comincia con ‘‘per ogni’’ o
con‘‘esiste’’.Lanegazioneesattadi‘‘perogniasuccedequesto’’e` ‘‘nonperogniasuc-
cedequesto’’,ovvero‘‘esisteunapercuinonsuccedequesto’’,chee` bendiversodaldire
‘‘perognianonsuccedequesto’’.Analogamente,lanegazioneesattadi‘‘esisteunbper
cuisuccedequesto’’e` ‘‘nonesisteunbpercuisuccedequesto’’,cioe` ‘‘perognibnonsuc-
cede questo’’.
1.14
Vogliamonegarelafrase‘‘tuttiigattisonoverdi’’(chee` unmodopiu` correttogramma-
ticalmentedidire‘‘perognigattosuccedecheilgattoe` verde’’).Comeabbiamoappena
osservato,lanegazioneesattae` ‘‘nontuttiigattisonoverdi’’,ovvero‘‘esistealmenoun
gattochenone` verde’’.Lafrase‘‘nessungattoe` verde’’(cioe` ‘‘nonesisteungattover-
de’’)puressendoveranone` lanegazionedelnostroenunciatooriginale‘‘tuttiigattiso-
noverdi’’;e` un’affermazionemoltopiu` forte,emoltopiu` difficiledaverificare(perfar
vedereche‘‘tuttiigattisonoverdi’’e` falsabastatrovareunsologattononverde;perfar
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10 Capitolo1–Nozionipreliminari
vedere che ‘‘nessun gatto e` verde’’ e` vera devi controllare il colore di tutti i gatti sulla
terra).
1.15
Quale` lanegazionedellafrase ‘‘esistevitasugli altripianeti delsistema solare’’? Lari-
spostaesattae` ‘‘nonesistevitasuglialtripianetidelsistemasolare’’,cioe` ‘‘tuttiglialtri
pianetidelsistemasolaresonoprividivita’’.L’affermazione‘‘esisteunpianetadelsiste-
ma solare privo di vita’’ non esclude che ci sia un altro pianeta ancora su cui esiste la
vita, per cui non e` la risposta esatta.
Come forse gia` sai, una parte notevole della matematica consiste nel decidere se certe
affermazioni sono vere o false. In alcuni casi, per stabilirlo basta un esempio; in altri,
invece, anche diecimila esempi sono inutili, ede` necessarioun ragionamentoche copra
inunavoltasolatuttiicasipossibili(inaltreparole,e` necessariaunadimostrazione).Un
tipicoproblemadellostudentenovizioe` esattamentecapirequandoe` necessariaunadi-
mostrazione, e quando invece e` sufficiente un esempio. L’idea di fondo e` che la dimo-
strazionee` legataal‘‘perogni’’,mentrel’esempioall’‘‘esiste’’.Pervederesel’affermazio-
ne‘‘perogniasuccedequesto’’e` vera,devidimostrarloconunragionamentovalidoper
ognivaloredia.Invece,pervederesel’affermazione‘‘esisteunbpercuisuccedequesto’’
e` vera, ti basta trovare un singolo esempio (un singolo valore di b) per cui e` vero.
1.16
Supponiamodivolervederesel’affermazione‘‘ognimarineamericanopossiedeunadi-
visaverde’’e` vera.Inquestocasogliesempisonoinutili:anchedopoavercontrollatogli
indumentidimigliaiadimarinenonpotremmoancoraescluderel’esistenzadiunmarine
senzadiviseverdi.Ciserveunragionamentogenerale;possiamoperesempiodirecheil
regolamentomilitareprescrivesenzaeccezionicheognimarineabbiaunadivisaverde,e
cosı` dimostrare la verita` della nostra affermazione senza bisogno di esempi.
1.17
Adesso vogliamo invece stabilire la verita` dell’affermazione ‘‘talvolta piove di domeni-
ca’’. In questo caso basta un esempio; e` sufficiente una domenica di pioggia per verifi-
care che l’affermazione e` corretta.
Riassumendo:quandotivienechiestodidecideresel’affermazione‘‘perogniasuccede
questo’’e` veraofalsa,haiduepossibilita`:sepensisiavera,devidimostrarloperqualun-
quevaloredia;seinvecepensisiafalsa(cioe` chesiaveroche‘‘esisteunapercuiquesto
nonsuccede’’),tibastatrovareunesempioincuie` falsa.Analogamente,perfarvedere
chel’affermazione‘‘esisteunbpercuisuccedequesto’’e` verabastatrovareunesempio,
cioe` un b specifico per cui ‘‘questo’’ succede; se invece ritieni sia falsa, devi dimostrare
che per ogni valore di b ‘‘questo’’ non accade.
Un’altra frase che compare spesso in matematica e` ‘‘se succede A allora capita
anche B’’, che si abbrevia(6) in ‘‘A implica B’’ o addirittura in ‘‘A¼)B’’. E` importante
rendersicontocheunafrasedelgenerenondicenullasuBquandoAnonsiverifica.Un
esempioperchiarire:ancheselafrase‘‘sesigiocadigiovedı` allorailPontederae` intesta
allaclassificadelcampionatodiserieA’’fossevera,nonsapremmonullasullaeffettiva
posizioneinclassificadelPontedera,inquantolepartitesigiocanosabatoedomenica.
(6)SidiceanchecheAe` condizionesufficienteperche´ accadaB,echeBe` condizionenecessaria
perche´ succeda A.
