Geometria

414 Pages·2010·2.241 MB·Spanish

by  Ivorra Castillo Carlos

Carlos Ivorra Castillo
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GEOMETRIA

La geometr´ıa ilumina el intelecto y templa la
mente. Todas sus pruebas son claras y ordenadas.
Apenascabenerroresenelrazonamientogeom´etrico,
pues est´a bien dispuesto y ordenado. As´ı, no es pro-
bable que la mente que se aplica a la geometr´ıa con
regularidad cometa errores. De este modo, quien
sabe geometr´ıa adquiere inteligencia.
Ibn Khaldun

´
Indice General
Introducci´on ix
Cap´ıtulo I: La geometr´ıa absoluta 1
1.1 Axiomas de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Axiomas de ordenacio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 A´ngulos y tria´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Axiomas de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Suma de a´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Ma´s propiedades de segmentos, ´angulos y tria´ngulos . . . . . . . 16
1.7 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 El axioma de continuidad, c´ırculos y circunferencias . . . . . . . 21
Cap´ıtulo II: Medida de segmentos, ´angulos y arcos 27
2.1 Longitud de segmentos. Nu´meros reales . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Complementos sobre nu´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Amplitud de a´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Arcos y sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Cap´ıtulo III: La geometr´ıa eucl´ıdea 49
3.1 El axioma de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Semejanza de tria´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Relaciones entre ´angulos y arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Las razones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Propiedades de los tria´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Cap´ıtulo IV: La geometr´ıa anal´ıtica 73
4.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Espacios afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Coordenadas cartesianas y baric´entricas . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Espacios eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Los giros y la medida de a´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Complementos sobre trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.8 C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
v
vi ´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo V: Nu´meros complejos 115
5.1 Definicio´n y propiedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 La clausura algebraica de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Construcciones con regla y comp´as . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4 Pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Geometr´ıa discontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.6 Ap´endice: El teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Cap´ıtulo VI: Biyecciones afines 139
6.1 El grupo af´ın y el grupo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 El teorema fundamental de la geometr´ıa af´ın . . . . . . . . . . . 146
6.4 Isometr´ıas y semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5 Clasificaci´on de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6 Clasificaci´on de isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Cap´ıtulo VII: La geometr´ıa af´ın 183
7.1 Incidencia y paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Homotecias y traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3 Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4 Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal. . . . . . . . . . . . . 194
7.5 Axiomas de ordenacio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Cap´ıtulo VIII: La geometr´ıa proyectiva 205
8.1 Espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2 Homograf´ıas y coordenadas homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3 Perspectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4 Caracterizaci´on axioma´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.6 Razones dobles y separaci´on harmo´nica . . . . . . . . . . . . . . 235
8.7 Espacios sobre cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Cap´ıtulo IX: Secciones c´onicas 251
9.1 Clasificaci´on de formas bilineales sim´etricas . . . . . . . . . . . . 251
9.2 C´onicas proyectivas y afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.3 La polaridad de una co´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.4 El teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.5 Propiedades de las co´nicas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.6 Homograf´ıas entre c´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.7 C´onicas sobre cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.8 Complexificacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
´INDICE GENERAL vii
Cap´ıtulo X: La geometr´ıa parabo´lica 299
10.1 Espacios parabo´licos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.2 El plano eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.3 El plano de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.4 Propiedades m´etricas de las c´onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.5 Espacios de dimensiones superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Cap´ıtulo XI: La geometr´ıa circular 349
11.1 La proyeccio´n estereogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
11.2 Transformaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.3 Homograf´ıas en la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
11.4 Conservaci´on de a´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
11.5 El teorema de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Cap´ıtulo XII: La geometr´ıa hiperb´olica 363
12.1 El plano hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.2 Medida de segmentos y ´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.3 El modelo de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.4 Trigonometr´ıa hiperbo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
12.5 Las isometr´ıas hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Cap´ıtulo XIII: La geometr´ıa el´ıptica 387
13.1 El plano el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Bila´teros y tria´ngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
13.3 Isometr´ıas el´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.4 Trigonometr´ıa el´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Bibliograf´ıa 397
´Indice de Materias 398

Introduccio´n
Lageometr´ıaes,juntoalateor´ıadenu´meros,unadelasramasm´asantiguas
de la matem´atica. Si por un momento restringimos el t´ermino para referirnos
a lo que los antiguos griegos entend´ıan como tal, podemos decir que su objeto
deestudioest´a´ıntimamentearraigadoennuestraformadeconcebirlarealidad.
Todalainformacio´nquerecibimosdelmundoquenosrodea,todoloquevemos,
o´ımos y tocamos, lo procesamos en primera instancia en t´erminos geom´etricos.
Sin embargo, no podemos considerar a las leyes formales que rigen el espacio
tridimensional que percibimos como una parte de la f´ısica. Al contrario que
las leyes f´ısicas, las leyes de la geometr´ıa nos son dadas a priori, en cuanto que
ninguna experiencia puede confirmar o refutar ninguna de ellas. Por ejemplo,
podemos asegurar a priori que es imposible percibir una recta que posea dos
paralelas por un mismo punto.1 Nuestra intuicio´n geom´etrica nos permite de-
cidir inmediatamente la verdad o falsedad de un gran nu´mero de afirmaciones.
A su vez, de todas ellas se sigue mediante razonamientos l´ogicos un cuerpo
de teoremas no menos numeroso que, si nuestra intuicio´n no alcanza a validar
directamente, al menos los corrobora en instancias particulares.
Los antiguos griegos exploraron en profundidad este cuerpo de teoremas y
llegaron a comprender en gran medida su estructura lo´gica. Tanto es as´ı que
en sus exposiciones m´as elaboradas, el modelo de las cuales son, sin duda, los
ElementosdeEuclides,noso´losedemuestranconungransentidodelrigortodos
loshechosnoevidentes,sinoqueinclusolosquecualquieradar´ıatranquilamente
por obvios son demostrados a partir del m´ınimo nu´mero de principios a los que
el autor pudo reducirlos.
FermatyDescartesdescubrieronquelageometr´ıacomoteor´ıalo´gicaesequi-
valente a una estructura algebraica, esencialmente al espacio vectorial R3, en el
sentido de que los puntos, rectas, planos, circunferencias, etc. pueden ser iden-
tificados con ciertos subconjuntos de R3 de modo que los teoremas geom´etricos
sobre estos conceptos se corresponden con los teoremas algebraicos sobre sus
conjuntos asociados. As´ı surgio´ la llamada geometr´ıa anal´ıtica y con ella la
clave para una comprensio´n mucho ma´s profunda de la geometr´ıa en general.
Ela´lgebraesespecialmentedadaaencontrarprincipiosprofundos,pocoevi-
dentes por s´ı mismos pero enormemente iluminadores. El que una determinada
afirmacio´n se nos aparezca o no como evidente es una cuesti´on psicolo´gica sin
1Porsupuesto,salvoquepervirtamoselsignificadodelapalabra“recta”yloconfundamos,
porejemplo,conunconceptof´ısicocomopuedaserelde“trayectoriadeunrayodeluz”.
ix
x Introduccio´n
ningu´n significado matema´tico, por lo que la geometr´ıa axioma´tica al estilo de
Euclides se considera hoy, con razo´n, como algo superado. El tratamiento al-
gebraico de la geometr´ıa, aparte de ser lo´gicamente m´as simple, nos abre las
puertas de “otras geometr´ıas”, es decir, de otras teor´ıas algebraicas lo suficien-
temente cercanas a las de la geometr´ıa tradicional eucl´ıdea como para que sea
justoenglobarlasbajoelmismonombre. Elcasoma´selementaleslasustituci´on
del exponente en R3 por cualquier otro nu´mero natural. No tenemos ninguna
intuicio´n que pueda aplicarse a R4, pero el cambio de un 3 por un 4 apenas
modifica la teor´ıa algebraica, que de hecho se desarrolla sin dificultad y por
el mismo precio en el espacio general Rn. Otros casos menos triviales son las
geometr´ıas no eucl´ıdeas o las geometr´ıas basadas en los nu´meros complejos.
La algebrizacio´n de la geometr´ıa no supone u´nicamente un cambio de len-
guaje. En el siglo XIX la geometr´ıa, al igual que las dema´s ramas de la ma-
tem´atica, experimento´ un desarrollo gigantesco en varias direcciones. Por un
lado,Ponceletsento´lasbasesdelageometr´ıaproyectiva,quevieneademostrar
que nuestra intuicio´n nos proporciona una imagen sesgada de una estructura
algebraica m´as regular de lo que los ojos nos muestran. Esta regularidad se
pone de manifiesto postulando la existencia de puntos infinitos. Gracias a ellos,
una hip´erbola y una elipse pueden considerarse como una misma figura vista
desde posiciones distintas (la primera con dos puntos en el infinito y la segunda
contodossuspuntosfinitos). Sipostulamoslaexistenciadepuntosimaginarios
(en el sentido de los nu´meros complejos) la regularidad de la geometr´ıa se mul-
tiplica una vez ma´s. Por otra parte, Gauss mostro´ las posibilidades del ca´lculo
diferencialaplicadoalestudiodelassuperficies. Lageometr´ıadiferencialeshoy
la aproximacio´n ma´s potente a la mayor´ıa de las ramas de la geometr´ıa.
Elobjetodeestelibroespresentarunapanora´micadelageometr´ıapreviaa
la geometr´ıa diferencial. Ma´s precisamente, de la geometr´ıa sin topolog´ıa. Hay
varias razones por las que consideramos u´til conocer las t´ecnicas no topol´ogicas
engeometr´ıa. Porunaparteentreellasseencuentranlast´ecnicasgenuinamente
algebraicas, que son de gran valor en s´ı mismas y por sus posibilidades de
aplicacio´n. En muchos casos el ´algebra suple con razonamientos conceptuales
exquisitamente limpios lo que en un enfoque ma´s directo se convertir´ıa en una
ristra de c´alculos, concluyentes pero ciegos.
En segundo lugar, y a pesar de que ma´s arriba la hayamos calificado de
anticuada, es interesante conocer la geometr´ıa sint´etica, es decir, la geometr´ıa
tradicional que parte de axiomas evidentes intuitivamente. Esta aproximacio´n
es la u´nica que justifica que ciertas ramas del a´lgebra describen realmente las
leyes de nuestra intuicio´n. Formalmente es posible evitarla, pero con ello se
incurre en una especie de “estafa legal”. Pensemos por ejemplo en un resultado
tancla´sicocomoelteore(cid:2)madePit´agoras. Podemosdefinirlanormadeunvector
de R2 como (cid:1)(x,y)(cid:1) = x2+y2 y la perpendicularidad como (x,y) ⊥ (x(cid:1),y(cid:1))
si y s´olo si xx(cid:1)+yy(cid:1) =0, y a partir de aqu´ı demostrar el teorema de Pit´agoras,
pero esa demostraci´on, lo´gicamente irrefutable, no puede convencer a nadie
de la validez del teorema si antes no se nos “demuestran” las definiciones, si
antes no se nos convence de que si tomamos un papel cuadriculado y clavamos
las dos puntas del compa´s en los ´angulos opuestos de un recta´ngulo de lados