Funktionentheorie: Eine Einführung

134 Pages·1993·4.4 MB·German

by  Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Springer-Lehrbuch
Klaus Jänich
Funktionen
theorie
Eine Einführung
3. Auflage
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH
Prof. Dr. Klaus Jänich
Fakultät für Mathematik
Universität Regensburg
8400 Regensburg
Mit 100 Figuren
Die 1. und 2.Auflage erschienen in der Reihe Hochschultext
mit dem Titel Eirifiihrung in die Funktionentheorie
Mathematics Subject Classification (1991): 30-01
ISBN 978-3-540-56337-2
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Jänich, Klaus: Funktionentheorie/Klaus Jänich. - 3. Aufl.
(Springer-Lehrbuch)
Bis 2.Aufl. u.d.T.: Jänich, Klaus: Einführung in die Funktionentheorie
ISBN 978-3-540-56337-2 ISBN 978-3-662-11803-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-11803-O
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977, 1980 und 1993
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1993
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Vorwort
Unter Funktionentheorie - wenn man ein Vorwort dazu
benutzen darf, direkt zum künftigen Leser zu sprechen,
anstatt darin die Kenner gleichsam um Erlaubnis für das
Buch zu bitten - unter Funktionentheorie also versteht
man nicht die "Theorie der Funktionen" schlechthin,
vielmehr ist Funktionentheorie der traditionelle Name für
die Theorie der komplexwertigen analytischen oder ho
lomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen.
Diese Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich, in
dem Sinne nämlich, daß man ihnen in vielen mathema
tischen Gebieten begegnet. Polynome sind zum Beispiel
holomorph, ebenso Sinus und Cosinus, die Exponential
funktion, der Logarithmus usw., wenn man sie als von
einer komplexen Variablen abhängig auffaßt.
Andererseits haben die holomorphen Funktionen er
staunliche Eigenschaften und gehorchen merkwürdigen
strikten Gesetzen, die man nicht ahnen kann, wenn man
diese Funktionen nur so im reellen Gewande der Analysis
daherkommen sieht.
Noch zu meiner Studienzeit machten die Mathematik
studenten meist erst im Hauptstudium mit der Funktio
nentheorie Bekanntschaft. Heute gehört zumindest eine
Einführung in die Funktionentheorie zur Grundausbil
dung, und als eine solche Einführung ist der vorliegende
Text gedacht. Er heißt zwar dritte Auflage, ist aber ei
gentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu
verfaßtes Buch. Beim Schreiben habe ich mir meine Leser
als Mathematikstudenten im dritten oder vierten Seme
ster vorgestellt, die, wie ich aus meiner Lehrerfahrung
vi Vorwort
weiß, durchaus keine begrifflichen Schwierigkeiten mit
der Funktionentheorie haben, denen aber in ihrer Stu
diensituation naturgemäß die Zeit fehlt, bereits ein um
fangreiches Werk durchzuarbeiten. Ich hoffe, daß dieser
schmale Band mit seinem zügigen Tempo einige Freunde
finden wird.
Regensburg, im November 1992 Klaus Jänich
Inhaltsverzeichnis
1. Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit ................. 1
1.2 Potenzreihen ................................. 2
1.3 Die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen ....................... 5
1.4 Übungs aufgaben ............................. 8
1.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............. 9
2. Der Cauchysche Integralsatz
2.1 Kurvenintegrale ............................. 10
2.2 Der Cauchysche Integralsatz
für ein Rechteck ............................. 11
2.3 Cauchyscher Integralsatz
für Bilder von Rechtecken ................... 14
2.4 Übungsaufgaben ............................ 17
2.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 18
3. Erste Folgerungen
aus dem Cauchyschen Integralsatz
3.1 Die Cauchyformel ........................... 20
3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz ........... 21
3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip ..... 24
3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen ......... 26
3.5 Identitätssatz und Gebietstreue .............. 29
3.6 Übungsaufgaben ............................ 32
3.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 33
Vlll Inhaltsverzeichnis
4. Isolierte Singularitäten
4.1 Die drei Typen isolierter Singularitäten ...... 35
4.2 Meromorphe Funktionen .......... " ......... 36
4.3 Laurentreihen ............................... 37
4.4 Laurentreihenentwicklung ................... 40
4.5 Anwendung auf isolierte Singularitäten ...... 42
4.6 Übungsaufgaben ............................ 43
4.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 44
5. Analytische Fortsetzung
5.1 Analytische Fortsetzung längs Kreisketten ... 46
5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel ...... 48
5.3 Analytische Fortsetzung längs Wegen ........ 50
5.4 Analytische Fortsetzung
und Kurvenintegrale ........................ 52
5.5 Homotopie von Wegen ...................... 54
5.6 Der Monodromiesatz ........................ 59
5.7 Übungsaufgaben ............................ 62
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 63
6. Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes
6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung
des Cauchyschen Integralsatzes .............. 64
6.2 Die Umlaufszahl ............................ 65
6.3 Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes .............. 69
6.4 Cauchyformel und Residuensatz ............. 72
6.5 Übungsaufgaben ............................ 74
6.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ............ 75
7. Der Residuenkalkül
7.1 Vorbemerkungen ............................ 77
7.2 Integrale über die ganze reelle Achse ......... 78
7.3 Hauptwerte ................................. 80
7.4 Integrale über die positive reelle Halbachse .. 83
7.5 Integrale über ein Intervall ............ " .... 84
Inhal tsverzeichnis ix
7.6 Das Null- und Polst ellen zählende Integral .. 85
7.7 Übungsaufgaben ........................... 88
7.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben ........... 89
8. Folgen holomorpher Funktionen
8.1 Kompakte Konvergenz ..................... 91
8.2 Blätterzahlen von Grenzfunktionen ......... 92
8.3 Lokal beschränkte Folgen ................... 94
8.4 Der Satz von Montel ....................... 96
8.5 Übungsaufgaben ........................... 97
8.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ........... 98
9. Satz von Mittag-LefHer
und Weierstraßscher Produktsatz
9.1 Der Satz von Mittag-LefHer ................ 99
9.2 Die Partialbruchzerlegung von l/sin 2 z .... 100
9.3 Unendliche Produkte ...................... 102
9.4 Der Weierstraßsche Produktsatz ........... 104
9.5 Übungsaufgaben .......................... 107
9.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ......... 108
10. Der Riemannsche Abbildungssatz
10.1 Der Satz .................................. 110
10.2 Erster Beweisschritt ....................... 112
10.3 Zweiter Beweisschritt ..................... 114
10.4 Dritter Beweisschritt ...................... 116
10.5 Übungsaufgaben .......................... 117
10.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben ......... 117
Literaturverzeichnis ......................... 119
Register ....................................... 120
1
Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit
Eine Funktion J : U - C auf einer offenen Teilmenge U C C
heißt komplez differenzierbar
an der Stelle Zo EU, wenn
!im J(z) - J(zo) =: f'(zo) f
%.. ... %0 z - Zo zo - C
existiert. Ist J überall in U kom
plex differenzierbar, so nennt
man J holomorph. Die holo- Fig. 1. Komplexwertige FUnk
morphen Funktionen sind der tion auf offenem ucc
Gegenstand dieses Buches. - Ersichtlich ist eine holomorphe
Funktion immer stetig, und wie in der reellen Analysis nennt
man f' die Ableitung von J und J eine Stamm/unktion von
J'. Für die Ableitung gelten die üblichen Summen-, Produkt-,
Quotientenregeln: Sind J, 9 : U - C holomorph, so auch J + 9
und J . 9 und, falls 9 keine Nullstellen hat, auch J/ g, und die
Ableitungen sind
(f + g)' = f' + g'
(f.g)'=f'.g+J.g'
(~)' = J'g ~ Jg'
Auch die Kettenregel finden wir wie zu erwarten vor: Sind
U ~ V ~ C holomorph, so auch 9 J, und es gilt
0
(g 0 f)'(z) = g'(f(z»· J'(z).
2 Kapitel 1. Holomorphe Funktionen
Selbst die Beweise sind die gleichen wie in der Differentialrech
nung einer reellen Veränderlichen, man braucht beim Lesen nur
an komplexe statt an reelle Variable zu denken.
Da konstante Funktionen und die Identität z z holomorph
f-+
sind, sind es auch alle durch Polynome mit komplexen Koeffi
zienten gegebenen Funktionen, ferner auch alle durch rotionale
Funktionen (Quotienten von Polynomen) gegebenen Funktionen
U --) C , sofern in U keine Nullstellen des Nenners liegen. Damit
haben wir schon eine große Menge Beispiele holomorpher funk
tionen. Eine weitere große Klasse liefern uns die konvergenten Po
tenzreihen.
1.2 Potenzreihen
Wie man sich erinnert oder hier erfährt, ist die Menge der Kon
vergenzpunkte einer Potenzreihe E::'=o a"zn "kreisförmig" in
dem Sinne, daß ein p E [O,ooJ existiert (der sogenannte "Kon
vergenzradius"), so daß die Reihe für Izl < p gewiß kon- und
für Izl > p gewiß divergiert. Konvergiert nämlich E::'=o anz(j , so
bilden die Summanden ja jedenfalls eine
zo Nullfolge, und deshalb wird E::'=o anzn ,
das ist E::'=o anz(j( ffo)n , durch die geo
r metrische Reihe in If fo I majorisiert und
konvergiert also für Izl < Izol auch, so
gar absolut. Auf diese Weise folgt auch,
daß die Reihe für jedes 0 S; r < p auf
vFeigrg. e2n. zEpuinn keti nmziigte rI zKool>n r {zllzl S; r} gleichmäßig konvergiert und
sichert gleichmäßige Kon deshalb insbesondere auf {zllzl < p},
vergenz auf ganz J(r also im Innern des Konvergenzkreises,
eine stetige Funktion darstellt. Es gilt aber sogar:
Lemma: Sei E::'=o anzn eine Potenzreihe mit dem Konvergenz
radius p. Dann ist die durch fez) = E::'=o a"z" gegebene Funk
tion f : {zllzl < p} --) C holomorph, und die Ableitung kann
gliedweise gebildet werden: f'(z) = E::'=l nanz"-l .