Funktionales Denken

262 Pages·2018·5.437 MB·German

by  Tobias Rolfes

Landauer Beiträge zur
mathematikdidaktischen Forschung
Tobias Rolfes
Funktionales
Denken
Empirische Ergebnisse
zum Einfluss von statischen
und dynamischen Repräsentationen
Landauer Beiträge zur
mathematikdidaktischen Forschung
Reihe herausgegeben von
J. Roth, Landau, Deutschland
S. Schuler, Landau, Deutschland
In der Reihe werden exzellente Forschungsarbeiten zur Didaktik der Mathematik
an der Universität Koblenz-Landau publiziert. Sie umfassen das breite Spektrum
der Forschungsarbeiten in der Didaktik der Mathematik am Standort Landau, das
in der einen Dimension von empirischer Grundlagenforschung bis hin zur fachdi-
daktischen Entwicklungsforschung und in der anderen Dimension von der Unter-
richtsforschung bis hin zur Hochschuldidaktischen Forschung reicht. Dabei wird
das Lehren und Lernen von Mathematik vom Kindergarten über alle Schulstufen
und Schulformen bis zur Hochschule und zur Lehrerbildung beleuchtet. In jedem
Fall wird konzeptionelle Arbeit mit qualitativen und/oder quantitativen empiri-
schen Studien verbunden. In der Reihe erscheinen neben Qualifikationsarbeiten
auch Publikationen aus weiteren Landauer Forschungsprojekten.
Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/15787
Tobias Rolfes
Funktionales Denken
Empirische Ergebnisse
zum Einfluss von statischen
und dynamischen Repräsentationen
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Jürgen Roth
Tobias Rolfes
Landau, Deutschland
Dissertation der Universität Koblenz-Landau, 2017
Diese Arbeit ist zugleich eine Dissertation mit dem Originaltitel „Der Einfluss von
statischen und dynamischen Repräsentationen auf das funktionale Denken“ am
Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften der Universität Koblenz-Landau.
Landauer Beiträge zur mathematikdidaktischen Forschung
ISBN 978-3-658-22535-3 ISBN 978-3-658-22536-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-22536-0
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Geleitwort
Geleitwort
Funktionales Denken umfasst sowohl für den Mathematikunterricht als auch für
den Alltag grundlegende Fähigkeiten, die im schulischen Mathematikunterricht
durchgängig zu entwickeln und zu erweitern sind. Diese Aussage ist spätestens
seit der Meraner Reform, also seit dem Übergang vom vorletzten zum letzten
Jahrhundert, unter Mathematikdidaktiker/inne/n und vielen Mathematiker/inne/n
konsensfähig. Die Frage, wie eine Schulung dieser Fähigkeiten erfolgen sollte,
um eine möglichst gute Entwicklung zu erreichen, ist trotzdem bei Weitem nicht
vollständig empirisch geklärt. Im Rahmen der hier vorliegenden Dissertations-
schrift befasst sich Tobias Rolfes in mehreren Studien mit einer ganzen Reihe
von Teilaspekten, die zur Aufklärung dieser übergreifenden Frage beitragen.
Um sich dieser Frage empirisch nähern zu können, hat Tobias Rolfes einige
wesentliche und zum Teil neue theoretische Aspekte in die wissenschaftliche
Diskussion eingebracht. Für seinen theoretischen Zugriff auf die Phänomene im
Zusammenhang mit dem Anwenden und Lernen funktionalen Denkens hat er die
fachdidaktischen Sichtweisen auf funktionales Denken mit psychologischen The-
orien zu kognitiven Prozessen, nämlich dem Integrated Model of Text and Pic-
ture Comprehension (ITPC) und dem Adaptive Control of Thought-Rational
(ACT-R) zusammengebracht. Dadurch gelingt ihm die Analyse kognitiver Pro-
zesse beim Anwenden bzw. Lernen funktionalen Denkens, die ihm als Grundla-
ge einer angemessenen Hypothesenbildung für einen quantitativen Zugriff auf
wichtige Fragen im Zusammenhang mit dem funktionalen Denken dient. Auf
dieser Basis ist es ihm auch möglich, seine empirischen Ergebnisse sinnvoll zu
deuten.
Darüber hinaus diskutiert Tobias Rolfes die Rolle von externen Repräsentati-
onen für das funktionale Denken. Durch seine Unterscheidung zwischen der
Lern- und Nutzungseffizienz von Repräsentationen gelingt ihm ein neuer theore-
tischer und empirischer Zugriff auf die Frage, welche Auswirkung externe Re-
präsentationen auf kognitive Prozesse und deren Ergebnisse im Zusammenhang
mit funktionalem Denken haben. So kann er mit getrennten Studien einerseits
der Frage nachgehen, wie nutzungseffizient einzelne Repräsentationsformen mit
Blick auf konkrete Aufgabenstellungen zum funktionalen Denken sind. Dazu hat
er eine empirische Studie mit deutschen Schülerinnen und Schülern und eine
Studie mit US-amerikanischen Erwachsenen durchgeführt. Er konnte auf dieser
Datengrundlage zeigen, dass es keine grundlegenden Unterschiede zwischen
diesen Gruppen hinsichtlich der Nutzungseffizienz von Repräsentationen für die
VI Geleitwort

Lösung von Aufgaben zum funktionalen Denken gibt, sondern diese Nutzungsef-
fizienz im Wesentlichen von der Art der Aufgabenstellung abhängt. Dabei hat
sich insbesondere die Kategorisierung von Aufgabenstellungen hinsichtlich der
Frage bewährt, ob die Lösung einer Aufgabe anhand der Form des Funktions-
graphen ermittelt werden kann oder nicht. Falls dies nicht möglich ist, spricht
Tobias Rolfes von quantitativem funktionalen Denken, andernfalls von qualitati-
vem funktionalen Denken. Beim qualitativen funktionalen Denken unterschiedet
Tobias Rolfes wiederum, wie genau der Graph dazu inspiziert werden muss,
nämlich entweder nur grob oder genau. Seine empirischen Ergebnisse zeigen
interessante Vor- und Nachteile der Repräsentationen Graph, Tabelle und erwei-
tertes Säulendiagramm hinsichtlich der drei Subtypen des funktionalen Denkens.
Andererseits erforschte Tobias Rolfes in einer Interventionsstudie mit Schü-
lerinnen und Schülern auch, mit welcher Repräsentationsform die Aspekte funk-
tionalen Denkens nach Vollrath besonders gut gelernt werden können. Ein Er-
gebnis ist, dass das Lernen der Aspekte des funktionalen Denkens anhand von
Funktionsgraphen dazu führt, dass die Schülerinnen und Schüler anschließend
auch Aufgaben anhand von Tabellen lösen können, während es Schülerinnen und
Schülern, die funktionales Denken mit Tabellen gelernt haben, wesentlich
schwerer fällt, anschließend analoge Aufgaben anhand von Funktionsgraphen zu
lösen. Daraus lässt sich schließen, dass die Lerneffizienz von Funktionsgraphen
hinsichtlich der Aspekte Zuordnung und Kovariation des funktionalen Denkens
größer ist als die von Tabellen derselben funktionalen Zusammenhänge.
Nach diesem positiven Ergebnis zur Lerneffizienz von Funktionsgraphen
bzgl. des funktionalen Denkens ging Tobias Rolfes schließlich in einer weiteren
Studie folgender Frage nach: Ist das Lernen des schwierigen Aspekts Kovariati-
on bzw. Änderungsverhalten des funktionalen Denkens anhand von Funktions-
graphen und Situationen von der Art der Darbietung des Zusammenspiels von
Situation und Funktionsgraphen abhängig? Da es in der Literatur deutliche Be-
fürworter von dynamischen Repräsentationen gerade für Aufgaben zum Ände-
rungsverhalten gibt, hat sich Tobias Rolfes mit der Frage befasst, welche Aus-
wirkung das Lernen mit statischen bzw. dynamischen Repräsentationen auf die
Fähigkeit zum Erfassen des Änderungsverhaltens hat. Auch hier hat er eine Ver-
feinerung des Zugriffs auf dynamische Repräsentationen in die fachdidaktische
Diskussion eingebracht, indem er zwischen linear-dynamischen und interaktiv-
dynamischen Repräsentationen unterscheidet. Linear-dynamische Repräsentatio-
nen sind dabei solche, die man wie einen Film nur starten und stoppen, aber
nicht interaktiv bedienen kann. Interaktiv-dynamische Repräsentationen sind
etwa Konfigurationen auf der Basis von dynamischen Mathematik-Systemen,
Geleitwort VII

mit denen man interagieren und diese nach eigenen Vorstellungen manipulieren
kann. Es zeigte sich, dass dynamische Repräsentationen – bei entsprechenden
Aufgabentypen – einen signifikant größeren Lernzuwachs ermöglichen als stati-
sche Repräsentationen.
Insgesamt fällt auf, mit welcher großen Sorgfalt Tobias Rolfes sowohl die
jeweiligen Experimente und Erhebungsinstrumente konzipiert, als auch die em-
pirischen Auswertungen geplant und kenntnisreich durchgeführt hat. Dies er-
möglicht es ihm die Ergebnisse klar zu fassen, deren jeweilige Bedingungen
deutlich herauszuarbeiten und in ihrer Tragweite darzustellen. Auch der Umfang
der empirischen Experimente, immerhin drei Experimente und ein Quasi-
Experiment, ist für eine Dissertation durchaus beachtlich.
Diesem Buch ist nicht nur aufgrund seiner Ergebnisse beachtenswert, son-
dern auch wegen der Implikationen, die sich daraus für weitere Untersuchungen
zum funktionale Denken ergeben. Darüber hinaus sind einige Ansätze hilfreich
für die Entwicklung von Unterrichtskonzepten zur Schulung der entsprechenden
Fähigkeiten.

Landau, 17.02.2018
Jürgen Roth
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Die Arbeit beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit dem Einfluss von externen
Repräsentationen auf das Anwenden und Lernen funktionalen Denkens. Dazu
wird in den theoretischen Grundlagen zunächst der Begriff des funktionalen
Denkens geklärt und elaboriert sowie die Rolle der Repräsentationen für das
funktionale Denken diskutiert. Darauf aufbauend werden aus kognitionspsycho-
logischer Perspektive mit dem Integrated Model of Text and Picture Compre-
hension und dem Adaptive Control of Thought-Rational zwei informationstheo-
retische Modelle für die kognitiven Prozesse beim Anwenden und Lernen funk-
tionalen Denkens betrachtet. Die theoretischen Grundlagen schließen mit der
Definition der Lerneffizienz externer Repräsentationen in Abgrenzung zu der
Nutzungseffizienz externer Repräsentationen ab.
Im quantitativ-empirischen Teil werden mehrere Experimente berichtet. In
Experiment E1a und Experiment E1b wurde schwerpunktmäßig die Nutzungsef-
fizienz von Tabellen und Graphen beim funktionalen Denken untersucht. Die
empirischen Daten zeigten, dass für quantitatives funktionales Denken eine Ta-
belle nutzungseffizienter als ein Graph war. Dagegen hing die Nutzungseffizienz
beim qualitativen funktionalen Denken davon ab, ob der Graph nur grob oder
detailliert inspiziert werden musste. So war ein Graph für qualitatives funktiona-
les Denken nur nutzungseffizienter als eine Tabelle, wenn der Graph zur Lösung
der Aufgabe nur grob inspiziert werden musste. War dagegen eine genaue In-
spektion der Form des Graphen notwendig, war die Tabelle nutzungseffizienter.
Die Ergebnisse des Experiments E1b gaben Hinweise darauf, dass für das funk-
tionale Denken die Nutzungseffizienz externer Repräsentationen relativ unab-
hängig von Sprache, kulturellem Hintergrund und Alter der Testpersonen ist.
In Quasi-Experiment QE2 wurde das multirepräsentationale Lernen funktio-
nalen Denkens sowohl mit Tabellen als auch mit Graphen mit dem monoreprä-
sentationalen Lernen verglichen, bei dem entweder nur mit Tabellen oder nur mit
Graphen gelernt wurde. Die Ergebnisse des Quasi-Experiments zeigten, dass
multirepräsentationales Lernen beim qualitativen funktionalen Denken Vorteile
in der Lerneffizienz bewirkt. Beim quantitativen funktionalen Denken konnte
jedoch keine höhere Lerneffizienz vom multirepräsentationalen Lernen vergli-
chen mit dem monorepräsentationalen Lernen ausschließlich mit Graphen nach-
gewiesen werden. Allerdings deuteten die Ergebnisse auch darauf hin, dass mul-
tirepräsentationales Lernen mehr Zeit benötigt als monorepräsentationales Ler-
nen, dafür aber zu höheren Lernzuwächsen führen kann.
X Zusammenfassung

In Experiment E3 wurde die Lerneffizienz von statischen, linear-
dynamischen und interaktiv-dynamischen Repräsentationen für das funktionale
Denken miteinander verglichen. In den Ergebnissen zeigte sich, dass beide For-
men dynamischer Repräsentationen lerneffizienter als statische Repräsentationen
waren. Allerdings konnte kein Unterschied in der Lerneffizienz zwischen inter-
aktiv-dynamischen und linear-dynamischen Repräsentationen nachgewiesen
werden.