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Fundamentos de matemática elementar lex me ZZ de matemática
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é uma coleção consagrada ao longo dos s to i
n
anos por oferecer ao estudante o mais P s d o elementar
completo conteúdo de Matemática oli e m s
edlae mseegnutainr.t eO fos rvmoalu:mes estão organizados nôm ate Gel
i m Complexos
o á
s tic
VOLUME 1 conjuntos, funções E a
q e Polinômios
VOLUME 2 logaritmos u le
a m
ç e
VOLUME 3 trigonometria õe n Equações
s ta
r
sequências, matrizes,
VOLUME 4
determinantes, sistemas
combinatória,
VOLUME 5 6
probabilidade
6
complexos, polinômios,
VOLUME 6
equações
VOLUME 7 geometria analítica G
e
os volumes contêm teoria e l
s
limites, derivadas, o
VOLUME 8 noções de integral exercícios de aplicação, além n
de uma seção de questões de ie
Z
VOLUME 9 geometria plana vestibulares, acompanhadas de Z
i
respostas. Há ainda uma série
VOLUME 10 geometria espacial
de artigos sobre história da
matemática comercial, matemática relacionados aos
VOLUME 11 matemática financeira,
temas abordados.
estatística descritiva
na presente edição, a seção
A coleção atende a alunos do ensino
de questões de vestibulares foi
médio que procuram uma formação
atualizada, apresentando novos
mais aprofundada, estudantes em fase
testes e questões dissertativas
pré-vestibular e também universitários que
selecionados a partir dos
necessitam rever a Matemática elementar.
melhores vestibulares do país.
novAS QUESTÕES dE vESTibUlArES
CAPA_FME_6 AL.indd 1 05/08/13 10:54
GELSON IEZZI
FUNDAMENTOS
DE MATEMÁTICA
ELEMENTAR
Complexos Equações
Polinômios
6
511 exercícios propostos
com resposta
227 questões de vestibulares
com resposta
8ª edição | São Paulo – 2013
I a VI iniciais FME6.indd 1 26/07/13 15:21
© Gelson Iezzi, 2013
Copyright desta edição:
SARAIVA S. A. Livreiros Editores, São Paulo, 2013
Rua Henrique Schaumann, 270 — Pinheiros
05413-010 — São Paulo — SP
Fone: (0xx11) 3611-3308 — Fax vendas: (0xx11) 3611-3268
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www.editorasaraiva.com.br
Todos os direitos reservados.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Iezzi, Gelson, 1939 —
Fundamentos de matemática elementar, 6 : complexos, polinômios, equa-
ções / Gelson Iezzi. — 8. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
ISBN 978-85-357-1752-5 (aluno)
ISBN 978-85-357-1753-2 (professor)
1. Matemática (Ensino médio) 2. Matemática (Ensino médio) — Problemas e
exercícios etc. 3. Matemática (Vestibular) — Testes I. Título. II. Título: Complexos,
polinômios, equações.
13-02579 CDD-510.7
Índice para catáslogo sistemático:
1. Matemática: Ensino médio 510.7
Fundamentos de Matemática Elementar — vol. 6
Gerente editorial: Lauri Cericato
Editor: José Luiz Carvalho da Cruz
Editores-assistentes: Fernando Manenti Santos/Juracy Vespucci/Guilherme Reghin Gaspar/
Livio A. D’Ottaviantonio
Auxiliares de serviços editoriais: Daniella Haidar Pacifico/Margarete Aparecida de Lima/Rafael Rabaçallo
Ramos/Vanderlei Aparecido Orso
Digitação de originais: Rodinelia da Silva Leite
Pesquisa iconográfica: Cristina Akisino (coord.)/Enio Rodrigo Lopes
Revisão: Pedro Cunha Jr. e Lilian Semenichin (coords.)/Aline Araújo/Patrícia
Cordeiro/Rhennan Santos/Felipe Toledo/Fernanda Antunes/
Tatiana Malheiro
Gerente de arte: Nair de Medeiros Barbosa
Supervisor de arte: Antonio Roberto Bressan
Projeto gráfico: Carlos Magno
Capa: Homem de Melo & Tróia Design
Imagem de capa: Ben Miners/Ikon Images/Getty Images
Ilustrações: Conceitograf/Mario Yoshida
Diagramação: TPG
Encarregada de produção e arte: Grace Alves
Coordenadora de editoração eletrônica: Silvia Regina E. Almeida
Produção gráfica: Robson Cacau Alves
Impressão e acabamento:
731.325.008.003
Rua Henrique Schaumann, 270 Ð Cerqueira CŽsar Ð S‹o Paulo/SP Ð 05413-909
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Apresentação
Fundamentos de Matemática Elementar é uma coleção elaborada com o objeti vo de
oferecer ao estudante uma visão global da Matemática, no ensino médio. De senvolvendo os
programas em geral adotados nas escolas, a coleção dirige-se aos vestibulandos, aos uni-
versitários que necessitam rever a Matemática elementar e tam bém, como é óbvio, àqueles
alunos de ensino médio cujo interesse se focaliza em adq uirir uma formação mais consistente
na área de Matemática.
No desenvolvimento dos capítulos dos livros de Fundamentos procuramos seguir uma
ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceç ões bem
conhecidas da Matemática elementar, as proposições e os teoremas estão sempre acompa-
nhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescent e
de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que en volvem
outros assuntos já vistos, levando o estudante a uma revisão. A sequência do tex to sugere
uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos
propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final de
cada volume, o aluno pode encontrar as respostas para os problemas propostos e assim ter
seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constituída por questões de vestibulares, selecionadas
dos melhores vestibulares do país e com respostas. Essas questões podem ser usadas para
uma revisão da matéria estudada.
Aproveitamos a oportunidade para agradecer ao professor dr. Hygino H. Domingues, au-
tor dos textos de história da Matemática que contribuem muito para o enriquecimento da obra.
Neste volume abordamos o estudo dos números complexos, dos polinômios e das equa-
ções polinomiais. Os dois últimos capítulos complementam o terceiro, enfatizando o estudo
das equações recíprocas e a determinação do mdc e do mmc de dois polinômios.
A teoria passou por cuidadosa revisão, fazendo-se as simplificações ou acréscimos jul-
gados pertinentes. As respostas dos exercícios foram conferidas minuciosamente. No manual
do professor estão resolvidos todos os exercícios mais complicados.
Finalmente, como há sempre uma certa distância entre o anseio dos autores e o valor
de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apreciação so bre este
trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agradecemos.
Os autores
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Sumário
CAPÍTULO I — Números complexos .......................................................... 1
I. Operações com pares ordenados ...................................................... 1
II. Forma algébrica ............................................................................... 6
III. Forma trigonométrica ....................................................................... 17
IV. Potenciação ..................................................................................... 32
V. Radiciação ...................................................................................... 38
VI. Equações binômias e trinômias ........................................................ 46
Leitura: Números complexos: de Cardano a Hamilton ................................. 50
CAPÍTULO II — Polinômios ....................................................................... 53
I. Polinômios ...................................................................................... 53
II. Igualdade ........................................................................................ 54
III. Operações ....................................................................................... 59
IV. Grau ............................................................................................... 65
V. Divisão ............................................................................................ 69
VI. Divisão por binômios do 1º grau ........................................................ 80
Leitura: Tartaglia e as equações de grau três ............................................. 98
CAPÍTULO III — Equações polinomiais ...................................................... 100
I. Introdução ....................................................................................... 100
II. Definições ....................................................................................... 101
III. Número de raízes ............................................................................. 104
IV. Multiplicidade de uma raiz ................................................................ 111
V. Relações entre coeficientes e raízes (Relações de Girard) ................... 114
VI. Raízes complexas ............................................................................ 128
VII. Raízes reais .................................................................................... 132
VIII. Raízes racionais .............................................................................. 140
Leitura: Abel e as equações de grau > 5 ................................................... 146
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CAPÍTULO IV — Transformações .............................................................. 148
I. Transformações ............................................................................... 148
II. Equações recíprocas ........................................................................ 159
CAPÍTULO V — Raízes múltiplas e raízes comuns ...................................... 171
I. Derivada de uma função polinomial .................................................... 171
II. Raízes múltiplas .............................................................................. 177
III. Máximo divisor comum ..................................................................... 182
IV. Raízes comuns ................................................................................ 186
V. Mínimo múltiplo comum ................................................................... 190
Leitura: Galois: nasce a Álgebra Moderna .................................................. 196
Respostas dos exercícios ........................................................................ 199
Questões de vestibulares ......................................................................... 211
Respostas das questões de vestibulares .................................................. 247
Significado das siglas de vestibulares ...................................................... 250
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NÚMEROS COMPLEXOS
CAPÍTULO I
Números
complexos
I. Operações com pares ordenados
1. Seja R o conjunto dos números reais. Consideremos o produto cartesiano
R R 5 R2:
R2 5 {(x, y) | x [ R e y [ R}
isto é, R2 é o conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y são números reais.
Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c, d), de R2 para dar três importantes
definições:
a) igualdade: dois pares ordenados são iguais se, e somente se, apresentarem
primeiros termos iguais e segundos termos iguais.
(a, b) 5 (c, d) ⇔ a 5 c e b 5 d
b) adição: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par ordenado
cujos primeiro e segundo termos são, respectivamente, a soma dos primeiros e a
soma dos segundos termos dos pares dados.
(a, b) 1 (c, d) 5 (a 1 c, b 1 d)
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NÚMEROS COMPLEXOS
c) multiplicação: chama-se produto de dois pares ordenados a um novo par
ordenado cujo primeiro termo é a diferença entre o produto dos primeiros termos e o
produto dos segundos termos dos pares dados e cujo segundo termo é a soma dos
produtos do primeiro termo de cada par dado pelo segundo termo do outro.
(a, b) ? (c, d) 5 (ac 2 bd, ad 1 bc)
2. Conjunto dos números complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto
dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a
adição e a multiplicação conforme o item 1.
É usual representar-se cada elemento (x, y) [ C com o símbolo z; portanto:
z [ C ⇔ z 5 (x, y), sendo x, y [ R
3. Aplicações
1ª) Dados z 5 (2, 1) e z 5 (3, 0), calcular z 1 z , z ? z e z2.
1 2 1 2 1 2 1
Temos:
z 1 z 5 (2, 1) 1 (3, 0) 5 (2 1 3, 1 1 0) 5 (5, 1)
1 2
z ? z 5 (2, 1) ? (3, 0) 5 (2 ? 3 2 1 ? 0, 2 ? 0 1 1 ? 3) 5 (6, 3)
1 2
z2 5 z ? z 5 (2, 1) ? (2, 1) 5 (2 ? 2 2 1 ? 1, 2 ? 1 1 1 ? 2) 5 (3, 4)
1 1 1
2ª) Dados z 5 (1, 2) e z 5 (3, 4), calcular z tal que z 1 z5 z .
1 2 1 2
Temos:
z 1 z 5 z ⇒ (1, 2) 1 (x, y) 5 (3, 4) ⇒ (1 1 x, 2 1 y) 5 (3, 4) ⇒
1 2
1 1 x 5 3 x 5 2
⇒ ⇒
2 1 y 5 4 y 5 2
portanto z 5 (2, 2).
3ª) Dados z 5 (1, 21) e z 5 (2, 3), calcular z tal que z ? z5 z .
1 2 1 2
Temos:
2 Fundamentos de Matemática Elementar | 6
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