Table Of Content\.
GElSON IEZZI
7
FUNDAMENTOS DE '"
MATEMATICA
ELEMENTAR
GEOMETRIA ANALíTICA
68 exercícios resolvidos com resposta
289 exercícios propostos com resposta
216 testes de vestibular com resposta
AAAl
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
APRESENTACÃO
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
I
Composição e desenhos
AM Produções Gráficas Ltda.
Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo
Artes
Atual Editora Ltda. "Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
Fotolitos ao n(vel da escola de 'Z? grau. Desenvolvendo os programasem geral adotados para
Marka Silk Screen Ltda. o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
Rua Albuquerque Maranhão. 272 - S. Paulo vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interressados na "rainha
Impressão e acabamento dasciências".
Companhia MelhoramentosdeSão Paulo No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos"
Indústriasde papel procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
RuaTito. 479 -S. Paulo Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
eteoremasestãosempreacompanhadosdas respectivasdemonstrações.
CIr-Brasil. Catalogação-na-Fonte Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação
câmarc_ IIl-3silcüa do Livro, S1'
crescentededificuldade. Partimosdeproblemassimplesetentamoschegaraquestões
Fundamentos de matemática elementar (por) Gelaon que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
977 leui (e outros) são Paulo, Atual Ed.• 1977-7&
.1-7 seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios
Co-autores: Carlos Murakami. Osvaldo DoIee e 5a
muel Hazzanô a autoria dos vohDlles individuais va resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
ria entre os 4 aut.ores.
Conteúdo: v.l. Conjuntos. funções. 1977.-v.2. sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
Logaritmos. 1977,-v.3. TrigoTIOllletria. 1978,-
v.4. SequUências, matrizes determinantes. sistemas. a resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir
1977.-v.5. C(mlbínatôria, probabilidade. 1977.-
v.6. Complexos, polinômios, equações. 1977.-v.7. à procura doerrocometido.
Geometria analítica. 1979.
1. Matematica (29 grau) I. Dolce, Osvaldo, 1938- /'; última parte de cada volume é constitu(da por testes de vestibulares até
11. Iezzi, Gelson, 1939-111. Hazzan, Samuel, 1946
IV. Murakami. Carlos, 1943- 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
77-1473 CDD-510
QueremosconsignaraquinossosagradecimentossincerosaoProf. Dr. Fernando
fndic~ psra catálogo sistE'rnãtico:
1. Matematica 510 Furquim deAlmeidacujoapoiofoi imprescind(vel paraquepudéssemoshomenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidasesua obras.
Finalmente, como há sempre uma enormedistância entre oanseio dos autores
Todos os direitos reservados a e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma apre
ATUAL EDITORA LTOA ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais agra
Rua José Antônio Coelho, 785 decemos.
Telefones: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil Osautores
,
INDICE
CAPITULO I - COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
I. Noções básicas . l-G
11. Posiçõesde um pontoem relação ao sistema . 3-G
111. Distânciaentre dois pontos . 6-G
IV. Razãode secção . 10-G
V. Coordenadasdo pontodivisor . 12-G
VI. Condição para alinhamento de três pontos . 18-G
VII. Complemento-Cálculode determinantes . 21-G
V111. Demonstração de teorema de geometria plana . 24-G
CAPITULO 11 - EQUAÇAO DA RETA
I. Equaçãogeral . 25-G
11. Intersecção de duas retas . 30-G
111. Posições relativas de duas retas . 31-G
IV. Feixe de retas concorrentes . 38-G
V. Feixe de retas paralelas . 43-G
VI. Formasda equaçãoda reia . 45-G
CAPfTULO 111 - TEOREMA ANGULAR
I. Coeficiente angular . 51-G
11. Cálculo de m . 53-G
111. Equação de uma reta passando por P(xo'Yo) . 56-G
IV..Condiçãode paralelismo . 58-G
V. Condição de perpendicularismo . 61-G
VI. Ângulo de duas retas . 70-G
CAPITULO IV - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA RESPOSTAS
I. Translaçãode sistema . 77-G Cap(tulo I 183-G
11. Distânciaentre pontoe reta . 78-G Cap(tulo 11 184-G
111. Área dotriângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83-G Capl'tulo I11 185-G
IV. Variaçãode sinal da função E(x, y) = ax +by+c . 87-G Capl'tulo IV 188-G
V. Inequações do 1'?grau . 90-G Capl'tulo V 190-G
VI. Bissetrizesdos ângulosde duas retas . 93-G Capfwlo VI 191-G
VII. Complemento-Rotaçãode sistema . 98-G Cap(tulo VII 194-G
CAPITULO V - CIRCUNFERENCIA TESTES
I. Equação reduzida _ : . 99-G Pontoe reta 195-G
11. Equação normal . 100-G Circunferência 209-G
111. Reconhecimento . 100-G Cônicas 216-G
IV. Pontoecircunferência . 106-G Lugaresgeométricos 221-G
V. Inequaçõesdo2'?grau . 108-G Respostas 229-G
VI. Reta ecircunferência ' . 112-G
VII. Duascircunferências . 117-G
CAPITULO VI - PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS
I. Problemasde tangência 123-G
11. Determinaçãodecircunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129-G
111. Complemento 140-0
CAPITULO VII - CONICAS
I. Ell'pse 143-G
11. Hipérbole 148-G
111. Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153-G
IV. Reconhecimentode umacônica 158-G
V. Intersecçõesdecônicas 164-G
VI. Tangentesauma cônica :.. 165-G
CAPITULO VIII - LUGARES GEOMETRICOS
l. Equaçãodeum L.G , 171-G
11. -Interpretaçãode uma equaçãodo2'?grau . . . . . . . . . . . . . . . .. 176-G
René Descartes
(1596 -1650)
Geometria e Ãlgebra fazem as pazes
CAPÍTULO I
René Descartes nasceu na França, de famllia nobre, recebeu suas primeiras COORDENADAS
instruções no colégio jesulta de La Fleche, graduando·se em Direito, em Poitier.
Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o CARTESIANAS NO PLANO
Prlncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês
no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da épocacomo Faulhaber,
Desarguese Mersenne eéconsideradoo "Pai da Filosofia Moderna".
Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método" onde
expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e
qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela maté
ria contigua. Esta teoria só foi superada pelo raciocinio matemático de Newton. I. NOÇÕES BÁSICAS
Suas idéias filosóficas e cientificas eram muito avançadas para a época mas
sua matemática guardava caracterlsticas da antigüidade tendo criado a Geometria
1. Consideremos dois eixos x ey per
Analltica numa tentativa de volta ao passado. y y'
pendiculares em O, os quaisdeterminam
Durante o perlodo em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em o plano0'. x
1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler:
v+f = a +2 onde v,f easão respectivamenteo número de vértices, faces earestas Dado um ponto P qualquer, PE 0',
conduzamos por eleduas retas:
deum poliedro simples.
Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde x' li x e y' Ii y
com a Analltica, embora os objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu
"Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Denominemos P1 a intersecção de
Álgebra. Seu objetivoera por processosalgébricos libertaraGeometria da utilização x com y' e P2 a intersecção de y com
de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da x'.
Álgebra, tão obscura e confusa paraa mente, através de interpretaçõesgeométricas. o
Nestas condições definimos:
Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do
mesmo principio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema a) abscissa de P é o número real xp = OP[
das três equatro retas de Pappus. Percebendo aeficiência de seus métodos publicou b) ordenada de P é o número real Yp = OP2
"A Geometria", que consta de três livros, onde dá instruçõesdetalhadas para resol c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indicados
ver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das.ovais na forma de um par ordenado (xp, yp) onde Xp é o primeiro termo.
de Descartes importantes em Óptica e ensina como descobrir raizes racionais e d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox)
achar soluçãoalgébrica de equaçõescúbicasequadráticas. e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy)
f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o
Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Acade·
sistema xOy.
mia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o
g) origem do sistema é o ponto O
invernoescandinavo, morrendo prematuramenteem 1650.
h) plano cartesiano é o plano O'
1-G
2. Exemplo 2? Parte
Dado o par ordenado de números reais (xp, yp), existem P, E x e
Vamos localizar os pontos 0(-3,4), P2 E Y tais que OP, = xp e OP2 = yp.
5
E(-7, -3), F(4, -5), G("2' Se construirmos x' /I x por P e y' /I y por P essas retasvão concorrer
2 "
em P. Assim, a todo par (xp, yp) corresponde um único ponto P, P E Ci.
no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número repre
senta a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. Esquema: (xp, yp) ~ (PI, P2) ~ P
y '\ j""
4. Notemos que os pares ordenados
c
(4, 2) e (2, 4) não são iguais. Eles se
1-- diferenciam pela ordem de seustermose,
--f---~-L I
f---- -- r-
I I portanto, não representam o mesmo pon --- i----"1 14.21
._-1--1--- jI I to do plano cartesiano.
t i
I --1 De maneira mais geral, se a e b·
---+----+---+---+--)I I J _
t são números reais distintos, então: +--_~____L_~
I
I *- O x
t --t-------- (a, b) (b, a)
i
II !I
I
II o A , x
i tII -f--e-I+ 5lí.tica APlapnrai:ncipal conseqüência do teorema do item 3 é que em Geometria Ana-
I
--e -!----------t-------- a) "dar um ponto P" significa dar o par ordenado (xp, yp);
I
__1-
B
--- b) "pedir um ponto P" significa pedir o par de coordenadas (xp, yp);
.
;
c) todo ponto P procurado representa duas incógnitas (xp e yp).
-~---'----
H I F
3. Teorema 11. POSiÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA
Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pa
y
res ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca. 6. Os eixos x e y dividem o plano
cartesiano em quatro regiões angulares
Demonstração
chamadas quadrantes, que recebem os no- 29quadrante lI?quadrante
la Parte mes indicados na figura. É evidente que:
As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci, PE 1<:> quadrante == xp ;;;. O e yp ;;;'0 O x
corresponde um único par de pontos (P" P2) sobre os eixos x e y respecti PE 2<:> quadrante == xp ';;;0 e yp ;;;'0
vamente e,~rtanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais PE 3<:> quadrante == xp ';;;0 e yp ';;;0 3<'>quadrante 49quadrante
que xp ~ OP, e yp ~ OP2.
P E 4<:> quadrante == xp ;;;'0 e yp ,;;; O
Esquema: P ------> (P" P2) ------> (xp, yp)
3-G
2-G
7. Um ponto pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada 10. Um ponto pertence à bissetriz dos
é nula:
'quadrantes pares se, e somente se, tiver
=
P E Ox yP ~ O coordenadas simétricas:
Isto significa que o eixo das abscissas é o conjunto dos pontos de ordenada
nula:
Isto significa que a bissetriz b
24
Ox ~ {(a, O) I a E IR} é o conjunto dos pontos de coordenadas _L_....L_--.l._-Cl -..,.----,--,ri-
simétricas.
Notemos que, para todo número real a, o ponto (a, O) pertence ao eixo
das abscissas. b24 ~ {(a, -a) I a E IR}
Notemos que, para todo a real, o
a.
Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa é ponto (a, -a) pertence à bissetriz b24•
nula:
=
P E Oy xp ~ O 11. Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, então todos os Seus pontos
têm a mesma ordenada.
Isto significa que o eixo das ordenadas é o conjunto dos pontos de abscissa
Se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, então todos os seus pontos
nula:
têm a mesma abscissa.
Oy ~ {(O, b) I b E IH}
Também valem as reciprocas dessas duás propriedades.
Notemos que, para todo número real b, o ponto (O, b) pertence ao eixo
das ordenadas.
EXERC(CIO
9. Um ponto pertence à bissetriz dos
G.l Dados os pontos:
quadrantes (mpares se, e somente se, ti
ver coordenadas iguais: A1500, 5001 ElO, O)
61-600, -600) F1711,01
C1715, -7151 GiO, -517)
P E b13 = xp YP
01-1002,1002) H1-321, O)
Pergunta-se quais são pertencentes:
Isto significa que a bissetriz b
13 a) ~o primeiro quadrante;
é o conjunto dos pontos de coordenadas
bl ao segundo quadrante;
iguais:
c) ao terceiro quadrante;
d) ao quarto quadrante;
b ~ {(a, a) I a E IR}
13 e) ao eixo das abscissas;
f) ao eixo das ordenadas;
Notemos que, para todo a real, g) à bissetriz dos quadrantes ímpares;
o ponto (a, a) pertence à bissetriz b13. h) à bissetriz dos quadrantes pares.
4-G 5-G
111. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 13. Exemplo
1
Calcular a distância entre os pontos A(-2, 5) e B(4, -3).
12. Dados dois pontos A(x" yIl e B(X2' Y2), calculemos a·distância dentre
eles. d = '11(X2 - xIl2 + iY2_y,)2 =
= '11(4 +2)2 + (-3- 5)2 Y
1~ Caso: AB li Ox YI A• B• A
d =dA,BI = IX2 - XI I ,I ,I .. = '1136 +64 = 10
01
AI B, X Observemos que, se mudarmos a
ordem das diferenças, d não se altera:
Y
~ Caso: AB li Oy B2 T d = V(XI-X2)2+(YI-Y2)' O X
'11
d = dA2B2 = IY2 - YII = (-2 - 4)2+(5+3)2 -------- B
'11
AI ---------- A = 36+64 = 10
O X
:f? Caso: AB *'Iox e AB »:IOY 14. Convém observarmos que, como a ordem dos termos nas diferenças de abs
cissase ordenadas não influi no cálculo de d, uma forma simples da fórmula
Y da distância é:
.. onde Llx = X2 - XI ou Llx = X, - X2 (é indiferente)
O X O X LlY=Y2-Y, ou Lly = Y, - Y2 (é indiferente)
Temos inicialmente:
AC Ii Ox = YC = YI} = C(X2, yIl
BC Ii Oy = Xc = X2
De acordo com ·os casos iniciais, temos:
dAC = Ixc - xA I = IX2 - xII EXERCICIOS
dBC = IYB - Yc I = IY2 - YII
G.2 CalcularadistânciaentreospontosA(1,31eBl-l,41.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC temos:
d2 = dic + d~c = (X2 - xIl2 + (Y2 _ y,)2 G.3 Calcularadistância doponto PI--6,BIàorigemdosistemacartesiano.
G.4 Calcularadistância entreospontosAla - 3,b+4)e Bla+2,b- 8).
então:
G.5 Calcularo perímetrodotriângulo ABC,sendodados A12, 1),B(-I,31 eC14,-2).
6-G 7-G
G.6 Provarqueotriângulocujosvérticessão A12, 2), BI-4,-6) eC(4,-12) éretângulo.
G) Ix - 8)2 + Iv - 1112 ~ Ix + 412 + Iv + 5)2
r -
Solução ~ - 16x + 64 + 22x + 121 ~ x2 +Sx + 16 + V2 + lOV + 25
-24x - 32v ~ -1441
Para demonstrar que um triângulo é retângulo basta provar que as medidas dos seus la
dos verificam a relação de Pitágoras: "o quadrado da medida do' maior lado é igual
à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados". 3x + 4V lS (1)
2
dAB 1&)2 + (i'>y)2 (2 + 4)2 + 12 + 6)2 = 100
d~C (3) Ix + 412 + Iv + 5)2 ~ Ix +6)2 + Iv - 912
1&)2'+ 16v)2 (4 + 4)2 + 1-6 + 12)2 = 100 ~ +Sx + 16 + V2 + 10V + 25 = x2 + 12x + 36 +t - lSv + Sl
dtA 1&)2 + (6V)2 (2 - 4)2 + 12 + 12)2 = 200 -4x + 2Sv ~ 76= -
2 2 2
enta-o dCA = dAB + dBC
x -7V -19 (2)
G.7 Determinar x de modo que O triângulo ABC seja retângulo em B. Sãodados: AI4,5),
Bll, 1) e Clx,41.
De 121, temos x ~ 7V -=19 que substitui=ndo em (1) dá:
G.8 Se P(x, V) eqüidista de AI-3, 71 e B(4, 3), qual é a relação ..xistente entre 317v - 191 + 4v = 18 25V = 75 V ~ 3 = x 7, 3 - 19 = 2
x e V?
R""posta: P(2, 3).
dpA = dpB ==> Ix + 312 + Iv - 7)2 (x - 4)2 + Iv - 3)2 G.13 Dados os pontos Mia, O) e NIO, a), determinar P de modo que o triângulo MNP
então' seja equilátero.
~ +6x +~ +Y: - 14V + 49 = x2 - Sx + 16 + V2 - 6v +9 G.14 Dados os pontos B12, 3) e CI-4, 11, determinar o vértice A do triângulo ABC,
16x - 14V +" 49) - I-Sx + 16 - 6v) = O = == sabendo que ê o ponto do eixo y do qual se vê BC sob ângulo reto.
14K - 8v + 33 = O Solução Y
Resposta: 14x - 8v + 33 = O
A E v
A(x, V) {1.2)) AC 1 AB ==>
G.9 Dados Alx, 5), B(-2, 3) e C14, 11, obter x de modo que A seja eqüidistante de
BeC.
={11 x2=O 2 2 B
G.10 Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscIssas. sabendo que é eqüidistante 2) dAC + dAB dBC C
dos pontos AIl, 31 e B(-3, 5).
x
De (2) temos:
G.ll Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que eqüidista de A(8, -8)
e B(12, -2). Ix + 412 + Iv - 1)2 + Ix - 2)2 + Iv - 3)2 12 + 412 + 13 _ 1)2
Levando em Conta que x =- O, temos:
G~2 Dados os pontos AIS, 11), BI-4, -5) e C(-6, 9), obter o -circuncentro do triân
gulo ABC. 16 + (V2 - 2V + 1) + 4 + (V2 - 6v + 91 = 36 t 4
2V2 - Sv - 10 = O ==> V2 - 4v - 5 = O ==> V ~ -1 ou V= 5
Solução
o Resposta: A(O, -1) ou AlO, 5)
circuncentro (centro da circunferência
circunscrita ao triângulo) é um ponto P BI ~f' I
G.15 Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices consecutivos de um quadrado. determinar os
eqüidistante dos três vértices. Ú < J outros dois vértices.
·~sv
Plx, vi (1) dpA = dPB G.16 Dados AIS, 7) e C(-2, -31, extremidades da d>iagonal de um quadrado, calcular as
l<'J dpB = dpC coordenadas dos vértices B e O, sabendo que xB xO"
8-G
9-G
