Table Of ContentK. Vetters
Formeln und Fakten
Formeln und Fakten
Von Dr. Klaus Vetters
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
Stuttgart· Leipzig 1996
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian GroBmann, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider,
Prof. Dr. Günter Zeidier
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Karl Manteuffel
Autor:
Dr. Klaus Vetters
Technische Universität Dresden
Gadruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Vetters, Klaus:
Formeln und Fakten / von Klaus Vetters. -
Stuttgart; Leipzig : Teubner, 1996
(Mathematik tor Ingenieure und Naturwissenschaftler)
ISBN 978-3-8154-2091-1 ISBN 978-3-322-97615-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-97615-4
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jade Verwertung
auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulässig und strafbar. Das gilt besonders tor Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfil
mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1996
Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, Leipzig
Vorwort
Jeder Lemende und auch jeder Anwender der Mathematik wird gem auf eine Formelsamm
lung oder auf einen Wissensspeicher zurückgreifen. urn Fakten zu überprüfen, wenn das Ge
dächtnis überfordert ist, oder urn neue Informationen zu erhalten. Der vorliegende Band ent
hält neben grundlegenden mathematischen Formeln auch verbal beschriebenes Wissen. nämlich
zentrale Definitionen und Sätze ausgewählter mathematischer Fachgebiete.
Zielgruppe sind vor allem Studierende an Universitäten und Fachhochschulen. die mit der Ma
thematik konfrontiert sind. Deshalb wurde der Inhalt dieses Bandes der Reihe "Mathematik fiir
Ingenieure und Naturwissenschaftler" streng auf die Anforderungen des Grundstudiums in in
genieurwissenschaftlichen Studiengängen ausgerichtet. In Verbindung mit dem Besuch von
Vorlesungen und Seminaren, der Arbeit mit Lehrbüchem und der Nutzung mathematischer
Software wird diese Sammlung von Grundwissen der Höheren Mathematik sowohl dem Ler
nenden als auch dem Ingenieur in der Praxis hilfreich sein.
Bei der Arbeit am Manuskript haben mich viele Mathematiker beraten. Mein Dank gilt zuerst
den Herausgebem der Reihe, von denen ich konstruktive Hinweise erhieh, insbesondere Herm
Prof. eh. Gro6mann und Herrn Prof. K Manteuffel.
Die thematische Breite -von der Analysis über die Geometrie und Lineare Algebra bis zur Op
timierung, Stochastik und Nurnerik -war nur durch die kritische Beteiligung zahlreicher Fach
kollegen dieser Gebiete zu bewältigen. Dafiir danke ich besonders meiner Kollegin Frau
Dr. R. Storm und meinen Kollegen Herm Dr. W.-D. Klix und Herrn Dr. H Schönheinz. Für
die kritische Durchsicht bin ich den Herren Prof. H-G. Roos und Prof. W. Schirotzek sowie
Herm J. Weill vom Teubner-Verlag mit Dank verbunden.
Dresden, im Juni 1996 Klaus Vetters
Inhalt
Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze ............................ 9
Elementare mathematische Gesetze .................................. 11
Relationen ........................................................... 14
Mengen ............................................................. 15
Zahlen .............................................................. 16
Natürliche, ganze, rationale, reelIe Zahlen ............................. 16
KOlnplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
Kombinatorik ........................................................ 18
Permutationen .................................................. 18
Variationen .................................................... 18
Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
Koordinatensysteme ................................................... 19
Ebene Koordinatensysteme ........................................ 19
Räumliche Koordinatensysteme ..................................... 19
Verschiebung des Koordinatensystems ............................... 20
Drehung des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
Geometrie ........................................................... 22
Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
Räumliche Geometrie ............................................ 26
Analytische Geometrie des Raumes .................................. 28
Abbildungen, reeUe Funktionen ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
Begriffe bei reellen Funktionen ..................................... 32
SpezielIe Grenzwerte ............................................ 33
Regel von de l'Hospitai ........................................... 33
Elementare Funktionen ........................................... 34
SpezielIe Funktionen ............................................. 42
Lineare Algebra ...................................................... 43
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
Vektoren ...................................................... 44
Vektomormen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
Matrizen ...................................................... 47
Lineare Gleichungssysteme ....................................... . 49
Eigenwertaufgaben bei Matrizen ................................... . 50
Folgen 53
Zahlenfolgen ................................................... 53
Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variablen ..................... 55
Begriffe ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
Ableitungen elementarer Funktionen ................................. 56
Mittelwertsätze ................................................. 56
Inhah 7
Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen ........................ 58
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
Tabelle unbestimmter Integrale ..................................... 62
Tabelle bestimmter Integrale ....................................... 70
Uneigentliche Integrale ........................................... 71
Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
Linienintegrale l. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
Linienelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Anwendungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Gewöhnliche Differentialgleichungen ..................................... 74
Begriffe ...................................................... 74
Zurückfiihrung auf Systeme l. Ordnung .............................. 74
Differentialg1eichungen l. Ordnung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
Differentialg1eichungen 2. Ordnung .................................. 78
Lineare Differentialg1eichungen ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
Systeme l. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ...................... 81
Reihen .............................................................. 82
Endliche Reihen ................................................ 82
Unendliche Reihen .............................................. 82
Konvergenzkrnerien ............................................. 83
Funktionenreihen ............................................... 85
Potenzreihen ................................................... 86
Analytische Funktionen, Taylorreihe ................................. 87
Fourierreihen ................................................. " 89
Funktionen mit mehreren Variablen ...................................... 92
Punktmengen des Raumes Rn ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
Funktionen im R n .................................... . . . . . . . . . .. 93
Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen ................. 94
Partielle Ableitungen ............................................. 94
Totales Differential .............................................. 94
Richtungsableitung .............................................. 95
Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
Kettenregel .................................................... 96
Fehlerfortpflanzung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
Extremwertaufgaben und Optimierung ................................... 98
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
Extrema von Funktionen mit einer Variablen ........................... 99
Extrema von Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
Extrema mit Gleichungsrestriktionen ............................... " 101
Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 1
Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102
Berechnung (iterierte Integration) ................................... 102
8 Inhak
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
Oberflächenintegrale 1. Art ........................................ 103
F1ichenelemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
Dreifachintegrale ..................................................... 105
Berechnung (iterierte Jntegration) .................................... 105
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
Raumelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
Anwendungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108
Vektorfelder ................................................... 108
Parameterableitungen von Vektoren .................................. 108
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
Divergenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
Di1ferentialoperatoren 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. lil
Linienintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111
Oberflächenintegrale 2. Art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112
Jntegralsätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112
PartieUe Differentialgleichungen ......................................... 113
PartieUe Di1ferentialgleichungen 1. Ordnung ........................... 113
Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung ........................... 113
Stochastik ........................................................... 115
Zufä1lige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115
Wahrscheio1ichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115
Verteilungsfunktion und Dichte ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
Erwartungswert und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 118
Spezielle diskrete Verteilungen ..................................... 118
Spezielle stetige Verteilungen ...................................... 119
Zweidünewäona1eZ~ö6en ..................................... 120
Korre1ation und Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
Punktschätzungen ............................................... 122
Konfidenzintervalle .............................................. 123
SignifikanUests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
Statistische Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
Numerische Methoden ................................................. 128
Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
Matrizen-Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129
Nichtlineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
Approximationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
Numerische~tiation ......................................... 132
Numerische Jntegration ........................................... 132
Numerik fiir Anfimgswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133
Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135
Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze
Bezeichnungen im dekadischen System
Einheit umgangs- Vorsilbe Abk. Einheit Vorsilbe Abk.
sprachl. Bez.
lOl Zehn Deka da 10-1 Dezi d
102 Hundert Hekto h 10-2 Zenti c
103 Tausend Kilo k 10-3 Milli m
106 Million Mega M 10-6 Mikro
~
109 Milliarde Giga G 10-9 Nano n
1012 Billion Tera T 10-12 Piko P
1015 Billiarde Peta P 10-15 Femto f
1018 Trillion Exa E 10-18 Atto a
Im englisch-amerikanischen Sprachraum wird fiir eine Milliarde "one billion" gebraucht.
Auswahl mathematischer Zeichen
siehe auch Relationen, Mengen, Zahlen, Funktionen, Lineare Algebra, Differential- und
Integralrechnung
Zeichen Bedeutung Zeichen Bedeutung
gIeich +, - Vorzeichen plus, minus
.- definierend gIeich ± zuerst plus, dann minus
"* ungIeich + zuerst minus, dann plus
- stets gIeich, identisch 0 Grad
t nicht stets gIeich, nicht identisch I Minute (~o Grad)
"" etwa gIeich Sekonde ( ~o Minute)
< kleiner (a,b) offenes IntervalI a<x<b
S kleiner oder gIeich [a,bJ abgeschlossenes IntervalI asxsb
« wesentlich kleiner (a,bJ links offenes, rechts abgeschlossenes
> grö6er IntervalI a<xsb
~ grö6er oder gIeich [a,b) links abgeschlossenes, rechts offenes
» wesentlich grö6er IntervalI asx<b
proportional, ähnIich und so weiter / Platz fiir Substitution
.1 senkrecht auf a(s)e AufZählung mit Anfang a,
- kongruent Schrittweite s und Ende e
parallel ((,N,Q,~,l ~ Zahlen
10 Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze
Mathematische Konstanten (gerundet)
1t = 3.141592653590 10 = 0.017 453292520 1 = 57.29577951 0
e = 2.718281828459 l' = 0.000290888209 1 =3437.746771'
C = 0.577215664902 1" = 0.000004848137 1 = 206264.8062"
Potenzen der Zahl 2 und Fakultäten
n 2n n! n 2n n!
2 11 2048 39916800
2 4 2 12 4096 479001600
3 8 6 13 8192 6227020800
4 16 24 14 16384 87 178 291 200
5 32 120 15 32768 1 307 674 368 000
6 64 720 16 65536 20 922 789 888 000
7 128 5040 17 131072 355 687 428 096 000
8 256 40320 18 262144 6 402 373 705 728 000
9 512 362880 19 524288 121645100 408 832 000
10 1024 3628800 20 1048576 2 432 902 008 176 640 000
Bernoullische Zahlen
_ n-l[ 2n-l ,n-l k Bk ]
Bn-(-I) 2(2n+l)+(2n)·~1(-I) (2n-2k+l)!(2k)! (n= 1,2, ... )
n Sn n Sn n Sn n Sn
1 1 7 174611
1 6 4 30 7 6 10 33()
2 310 5 656 8 3561107 11 185'435183
3 1 6 691 9 43867 12 236364091
42 2730 798 2730
Eulersche Zahlen
En = (_I)n-11:1( -I)k( 2n )Ek (n= 1,2, ... ;mitEo= I)
k=O 2k
n En n En n En
o 3 61 6 2702765
1 4 1385 7 199360981
2 5 5 50 521 8 19391 512 145
Elementare mathematische Gesetze 11
Auswahl mathematischer Funktionen
siehe auch Abbildungen und Funktionen, Lineare Algebra, Stochastik
Symbol Bedeutung Symbol Bedeutung
+-·*1+ Grundrechenoperationen n! 1·2···· ·n (Fakultät)
jX nicht negative Zahl y mit y2 = x '!/X nicht negative Zahl y mit yn = X
( Quadratwurzel) (n-te Wurzel) fiir x ;:: 0
n n
LXi xl +x2 + ... +xn (Summe) IIxi xl ·x2···· ·Xn (Produkt)
i-I i=l
afiira:;;b max {a,b} afiira;::b
min {a, b} (Minimum) (Maximum)
bfiira;::b bfiira:;;b
gröBte ganze Zahl y mit y :;; x kleinste ganze Zahl y mit y ;:: x
LxJ fxl
(Abrundung auf ganze Zahl) (Aufrundung aufganze Zahl)
sgn(x) lfiirx>O lxi x fiirx;::O
Ofiirx=O (Signum) -x fiir x < 0
-1 fiir x<O
I
I
Elementare mathematische Gesetze
Ungleichungen (mit x,y, z, u, vER)
l J .
• Aus x<y und y<z folgt x<z. • Aus 0 < x <y folgt >
• Aus x<y und z>O folgt x·z<y·z. • Aus x<y und z<O folgt x·z>y·z.
• Aus x <y folgt x+z <y+z fiir alle ZE R.
• Aus O<x<y und O<u<v folgt x·u<y·v.
• Aus ~ < ~ und u > 0 und v > 0 folgt ~ < ~:~ < ~ .
Bernoullische Ungleichung: (1 +x)n;:: 1 +nx fiir x> -1 und nE N
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: (xlYl + ... +XnYn)2 :;; (xi + ... +x~)(Yi + ... +y~)
Beträge (mit x,y ER)
I-xl = lxi Ix·yl = Ixl·lyl
Dreiecksungleichungen
Ix +yl :;; lxi + Iyl (Gleichheit gilt fiir gleiches Vorzeichen von x undy.)
Ilxl-lyll :;; Ix+yl (Gleichheit gilt fiir verschiedenes Vorzeichen von x undy.)
