Table Of ContentFismat B-Inferno
Vamo passar carai!
Notas de aula feitas com o mais
genuíno ódio
OBSERVAÇÕESLEGAIS
PartedessematerialéumestudosobreolivroNikiforov,A.F.SpecialFunctionsofMath-
ematical Physics: A Unified Introduction with Applications. ISBN 0-8176-3183-6, e não
possui qualquer intenção de infringir as regras do uso das fontes. Os autores não se re-
sponsabilizam pelo uso inadequado desse material nem pelas consequências aos usuários
e/outerceiros. Oleitoréinteiramenteresponsávelpelousodomaterial. Éexpressamente
recomendadooestudocombaseemoutrasfontesemateriais. Essematerialédedomínio
público. Asimagensutilizadasnessematerialsãodedomíniopúblicodisponíveisnainternet
e são utilizadas com fins acadêmicos. Esse material foi produzido e distribuído sem fins
lucrativos. Essematerialpossuiúnicaeexclusivafinalidadedeestudoacadêmico. Todoo
conteúdodesse materialé fictícioenão possuiqualquer relaçãocom arealidade. Ninguém
develerestematerial.
Estetrabalhofoifeitorepletodeódio,comopropósitodeauxiliarosalunosnadisciplina
de físicamatemática B, docurso de físicada Universidade de Brasília. Esperamos que este
livroajudetodosaquelesquesofremtantoparapassarnessamatériamaligna. Todosque
participaramdesteprojetoconseguiramaaprovaçãoengolindoascontasretardadascontidas
nestelivro. Recomendamosfortementequeseapeguemaomaisprofundoódioapartirde
agora.
Osveteranos. Primeiraedição.
Contents
1 Revisão de análise complexa ................................... 7
1.1 Preliminary Lemmas and Definitions 7
1.1.1 ReviewofGreen’sTheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 MLInequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Holomorphicfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Cauchy’s Riemann Equation 8
1.3 First Cauchy Theorem 8
1.4 Second Cauchy Theorem 9
2 Primeiro Módulo ............................................... 11
2.1 Equação Hipergeométrica 11
2.2 Polinômios do Tipo Hipergeométrico. Fórmula de Rodrigues 12
2.3 Representação Integral para Funções do Tipo Hipergeométrico 17
2.4 Relações de Recorrência e Fórmulas Diferenciais 18
2.5 Polinômios Ortogonais Clássicos 24
2.6 Consequências da Fórmula de Rodriguez 31
2.6.1 Expressarosy ’semfunçãodey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
n n
2.6.2 Relaçãoentreoscoeficientesdaexpansãopolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Funções Geratrizes 35
2.8 Ortogonalidade dos Polinômios do Tipo Hipergeométrico 38
2.8.1 Tabelasdospolinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6
2.9 Algumas Propriedades dos Polinômios Ortogonais 41
2.9.1 Unicidadedosistemadepolinômiosortogonaisdadaumafunçãopesoρ . . . 43
2.9.2 Relaçõesderecursividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9.3 AfórmuladeDarboux-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.9.4 Propriedadesdoszeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.5 Paridadedepolinômiosdeacordocomaparidadedafunçãopeso . . . . . . . 47
2.9.6 Expansãodefunçõesemsériesdepolinômiosortogonaisclássicos . . . . . . . . . 49
2.9.7 Fechamentodesistemasdepolinômiosortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10 Funções do Segundo Tipo 51
2.10.1 Representaçõesintegrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10.2 Fórmulaassintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11 Relações de Recursão e Fórmulas de Diferenciação 54
2.12 Algumas Funções Especiais Relacionadas a Q (z) 55
0
2.13 Equação Diferencial de Bessel e suas Soluções 56
2.14 Propriedades Básicas das Funções de Bessel 64
3 Homeworks ................................................... 69
3.1 Variável Complexa 69
3.2 Funções Γ e β 70
3.3 Equação Hipergeométrica 73
3.4 Polinômios Ortogonais 74
1. Revisão de análise complexa
1.1 Preliminary Lemmas and Definitions
1.1.1 Review of Green’s Theorem
Let C ⊂R2 with finite border given by ∂C and two differentiable maps P:R2 →R and
Q:R2 →R,thenthefollowedisstatedastruewithoutproof:
(cid:73) (cid:90)(cid:90) (cid:18)∂Q(x,y) ∂P(x,y)(cid:19)
(P(x,y)dx+Q(x,y)dy)= − dxdy. (1.1)
∂x ∂y
Thelineintegralontheleftsideistakeninthecounter-clockwisedirection.
1.1.2 ML Inequality
LetD⊂Cwithfiniteborder∂Dand f :D→C,ifthemaximumofthefunctionrestricted
tothesetDisM,thatis,max |f|=M and∂DhasalengthL,thefollowingholds:
D
(cid:12)(cid:90) (cid:12) (cid:12)(cid:90) (cid:12) (cid:12)(cid:90) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) fdz(cid:12)≤(cid:12) Mdz(cid:12)=M(cid:12) dz(cid:12)=ML. (1.2)
(cid:12) ∂D (cid:12) (cid:12) ∂D (cid:12) (cid:12) ∂D (cid:12)
1.1.3 Holomorphic function
A holomorphic function f in a set D⊂C, so far, is no more than an analytical function
inthecomplexspace. Thatis,onewithderivatives ofallorderssuchthatitcanbeTaylor
expandedaroundanarbitrarypointz .
o
f(n)(z )
f(z)= ∑ o (z−z )n. (1.3)
o
n!
n=0
8 Chapter 1. Revisão de análise complexa
1.2 Cauchy’s Riemann Equation
Theorem1.2.1 Let f withatleastitsfirstderivative f(cid:48). WritethefunctionasaR2 →R2
mappinginordertoseparatetherealandimaginaryparts:
f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y). (1.4)
Then,theexistenceofthefirstderivativesimplies
∂u(x,y) = ∂v(x,y),
∂x ∂y (1.5)
∂v(x,y) = −∂u(x,y).
∂x ∂y
Proof. Theexpressionforthederivativeintermsoflimitsis
f(z)− f(z ) u(x,y)+iv(x,y)−u(x ,y )−iv(x ,y )
f(cid:48)(z )= lim 0 = lim 0 0 0 0 . (1.6)
0
z→z0 z−z0 xy→→yx0 x+iy−x0−iy0
0
Asthederivativeexistsinz ,thelimitmustbethesameidependentlyofthepathtakenfrom
0
ztoz orfrom(x,y)to(x ,y )ifwelookatthecomplexspaceasaR2 space. Withthisin
0 0 0
mind, choose the paths (x,y )(cid:55)→(x ,y ) and (x ,y)(cid:55)→(x ,y ). We can then equivalently
0 0 0 0 0 0
writethelimitasinanyofthetwofollowingforms:
u(x,y )−u(x ,y ) v(x,y )−v(x ,y )
= limx→x 0 0 0 +ilimx→x 0 0 0
y→y00 (x−x0) y→y00 (x−x0)
or
u(x ,y)−u(x ,y ) v(x ,y)−v(x ,y )
= limx→x 0 0 0 +ilimx→x 0 0 0 .
y→y00 i(y−y0) y→y00 i(y−y0)
Thesummandsabovecoincidewiththedefinitionofpartialderivativessothattheycanbe
furthersimplifiedas
= ∂u(x ,y )+i∂v(x ,y )
∂x 0 0 ∂x 0 0
or
= −i∂u(x ,y )+∂v(x ,y ),
∂y 0 0 ∂y 0 0
since both expression must be equal, we can compare real and imaginary parts to obtain
1.5. (cid:4)
1.3 First Cauchy Theorem
Theorem 1.3.1 Let f be a complex function holomorphic on M ⊂C. Then, for A⊂M
connected:
(cid:73)
f(z)dz=0 (1.7)
∂A
Proof. Writing f(z)=u(x,y)+iv(x,y)anddz=dx+idy:
(cid:73) (cid:73)
f(z)dz= (u(x,y)+iv(x,y))(dx+idy).
∂A
1.4 Second Cauchy Theorem 9
Separatingtheintegralintorealandimaginarypartsyields
(cid:73) (cid:73)
(u(x,y)dx−v(x,y)dy)+i (u(x,y)dy+v(x,y)dx).
ByGreen’sTheorem1.1,theabovecanberewrittenas
(cid:90)(cid:90) (cid:18)∂u ∂v (cid:19) (cid:90)(cid:90) (cid:18)∂u ∂v (cid:19)
(x,y)+ (x,y) dxdy+ (x,y)− (x,y) dxdy
∂y ∂x ∂x ∂y
andfromCauchy-Riemann’sequation1.5,bothintegrandsevaluatetozero. (cid:4)
1.4 Second Cauchy Theorem
Theorem 1.4.1 Let f holomorphic in M ⊂ C and a point z0 ∈ M−∂M. Then, for a
connectedsetA⊂M containingthepointz :
0
(cid:73) f(z)
dz=i2πf(z ). (1.8)
0
z−z
∂A 0
Figure1.1
Proof. Wewillusethepathpresentedinfigure1.1,whereC is∂Ainthenegativedirection
2
(so that theC path is taken in the positive direction for convenience). The pathC is a
1 1
circular path with radius ε <diam(C ) and center z . The integral over the pathsC and
2 0 3
C willcancelastheywillbecoveredinoppositedirections. Thetotalintegralovertheset
4
boundedbyC ,C C andC ,whichwillbedenotedbyBis
1 2 3 4
(cid:73) f(z) (cid:73) f(z) (cid:73) f(z)
dz= dz+ dz.
z−z z−z z−z
∂B 0 C1 0 C2 0
10 Chapter 1. Revisão de análise complexa
MakethefollowingsubstitutionofvariablesinthepathC :
1
z(cid:55)→z +εeiφ,
0
dz=iεeiφdφ.
ThissubstitutionturnstheintegraloverC into
1
(cid:90) 2π f(z +εeiφ) (cid:90) 2π
0 iεeiφdφ =i f(z +εeiφ)dφ.
εeiφ 0
0 0
In the limit ε →0, the integral evaluates to i2πf(z ). From Cauchy’s First Theorem 1.7,
0
f(z)
theintegrand overthesetBisholomorphicasthesingularpointz islocatedoutside
z−z 0
0
ofit. Forthisreason,thisintegralevaluatestozero. Finally,joininguptheaforementioned
conclusions
(cid:73) f(z)
0= dz+i2πf(z ).
0
z−z
C1 0
AsthepathC is∂Aintheoppositedirection:
1
(cid:73) f(z)
0=− dz+i2πf(z )
0
z−z
∂A 0
whichissimplyequation1.8. (cid:4)
