Table Of ContentFinite Elemente Modelle der Statik
und Festigkeitslehre
Klaus Schier
Finite Elemente Modelle der
Statik und Festigkeitslehre
101 Anwendungsfälle zur Modellbildung
1 C
Klaus Schier
Littaustr. 4
35764 Sinn
Deutschland
[email protected]
ISBN 978-3-642-16620-4 e-ISBN 978-3-642-16621-1
DOI 10.1007/978-3-642-16621-1
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V
Vorwort
Das Berechnungswerkzeug „Finite Elemente Methode“ ermöglicht Vorbestimmung
und Überprüfung ingenieurtechnischer Erzeugnisse. Der Übergang vom realen Bauteil
zum Finite Elemente Modell nimmt eine Schlüsselstellung ein und entspricht dem
Anliegen des vorliegenden Lehr- und Arbeitsbuches.
Berechnungen sind im Ablauf des Konstruktions- und Entwicklungsprozesses ei-
nes technischen Gebildes enthalten. In der Phase der Auslegung des Produktes wer-
den äußere Lasten, Lagerungen und Randbedingungen bedeutungsvoll. Die Statik
liefert Erkenntnisse über den Kraftfluss und die Größe der Kräfte. Die Festigkeits-
lehre erbringt Aussagen zur Ertragbarkeit der Beanspruchungen.
Diese strukturelle Vorgehensweise wird im Buch aufgegriffen. Das Kapitel 2 zeigt
Modellbildungen aus dem Bereich der Statik. In den Kapiteln 3 bis 7 wird anhand
der 5 Beanspruchungsarten Zug, Druck, Biegung, Schub und Torsion die Modellie-
rung im Bereich der Festigkeitslehre gezeigt. Schwerpunkte sind Modelle des Ma-
schinenbaus und des Bauwesens.
In Kapitel 1 werden neben den Grundlagen der Finite Elemente Methode auch
Grundlagen der Technischen Mechanik behandelt. Für die Erläuterung des prinzipi-
ellen Konzeptes der Finite Elemente Methode wird aus dem Gebiet der Strukturme-
chanik der Zug-Druck-Stab verwendet.
Die Methodik des Buches berücksichtigt, dass FE-Lösungen durch eine Über-
schlagsrechnung verifiziert werden sollten. So sind den Kapiteln 2 bis 7 die klassi-
schen Ansätze der Technischen Mechanik vorangestellt. Da vorausgesetzt wird, dass
die Studierenden die Ausbildung in Mathematik, Technischer Mechanik, Festigkeits-
lehre und Werkstofftechnik abgeschlossen haben, erfolgt die Darstellung der Be-
rechnungsgleichungen nur in zusammengefasster Form.
Die Modelle werden in Berechnungstafeln dargestellt. Die Berechnungstafeln geben
bei der Modellbeschreibung eine Befehlsfolge und eine Bildfolge vor. In der Be-
fehlsfolge erscheinen die Abläufe zur Modellbildung in allgemeiner Form, so dass
die Nutzung des Buches unabhängig vom verwendeten FEM-Programm ist. Der
Anwender hat lediglich die allgemein gehaltenen Modellvorgaben an die jeweilige
Programm- und Befehlsstruktur anzupassen.
Die geometrischen Abmessungen der Modelle werden im kartesischen Koordina-
tensystem über die Eckpunkte definiert und nachfolgend zum Modell ausgebaut.
Elementetyp, Werkstoff, Vernetzungsdichte und Randbedingungen sind angegeben.
Die Bildfolge zeigt Darstellungen zu wichtigen Zwischenschritten. Neben der nu-
merischen Auswertung werden dort auch die Ergebnisse in grafischer Form gezeigt.
Es wird damit erreicht, dass unabhängig vom verwendeten FE-System ein Erfolgs-
vergleich gegeben ist.
VI Vorwort
Die Finite Elemente Methode ist das wichtigste Berechnungsverfahren für alle
Bereiche des ingenieurtechnischen Denkens. Das Optimieren von physikalisch-tech-
nischen Problemen erfolgt unter großer Praxisnähe. Es hat damit grundlegende Be-
deutung für die Ausbildung an technischen Hochschulen.
Das vorliegende Lehr- und Arbeitsbuch unterstützt den Lehr- und Lernprozess.
Für den Lehrenden wird die Lücke zwischen der mathematisch-theoretischen und
der programmspezifischen Literatur gefüllt. Der Schwerpunkt Modellbildung mit
seiner konstruktiven Grundausrichtung ermöglicht vielfältige Erweiterungen und
Vertiefungen.
Für die Studierenden liegen durch die besondere Art der Anwendungsbeispiele
Möglichkeiten des Selbststudiums vor. So können Fähigkeiten zum Verstehen des
Lehrgebietes FEM entwickelt und Fertigkeiten dazu erlangt werden.
Meiner Frau Ruth bin ich für ihre Liebe, Geduld und Unterstützung beim Schrei-
ben dieses Buches besonders verbunden, ich bedanke mich ganz herzlich.
Gießen, im Juni 2010 Klaus Schier
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung.........................................................................................................1
1.1 Grundlagen der Finite Elemente Methode............................................1
1.1.1 Das Wesen der Methode...............................................................1
1.1.2 Begriffsinhalte..............................................................................3
1.1.3 Elementebeschreibung................................................................12
1.1.4 Modellbildung............................................................................14
1.1.5 Problemstellungen der Technischen Mechanik..........................19
1.2 Grundlagen der Technischen Mechanik..............................................22
1.2.1 Statik...........................................................................................22
1.2.1.1 Kräftesysteme in der Ebene...............................................23
1.2.1.2 Gleichgewicht für Kräftesysteme in der Ebene.................25
1.2.2 Festigkeitslehre...........................................................................31
1.2.2.1 Beanspruchungsarten ........................................................32
1.2.2.2 Zur linearen Elastizitätstheorie..........................................38
1.3 Theorie der Finite Elemente Methode ................................................42
1.3.1 Grundbegriffe der Matrizenrechnung.........................................42
1.3.2 Herleitung einfacher finiter Elemente........................................47
1.3.2.1 Zug-Druck-Stab.................................................................48
1.3.2.2 Fachwerke..........................................................................55
1.4 Allgemeine FE-Programmierung........................................................62
1.4.1 Berechnungstafeln......................................................................62
1.4.2 Musterablauf am einfachen Stabmodell.....................................65
2 Statik starrer Körper ......................................................................................71
2.1 Tragwerke mit einem Grundelement...................................................71
2.1.1 Träger mit Festlager und schrägem Loslager.............................73
2.1.2 Träger mit Streckenlasten...........................................................76
2.1.3 Einseitig eingespannter Träger..................................................79
2.1.4 Träger mit Hebel.........................................................................82
2.1.5 Gekrümmter Träger....................................................................87
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2 Tragwerke mit mehreren Grundelementen .........................................90
2.2.1 Träger mit Pendelstütze.............................................................91
2.2.2 Scheibe mit Pendelstützen..........................................................94
2.2.3 Träger mit Verbundgelenk..........................................................97
2.3 Stabsysteme.......................................................................................103
2.3.1 Stäbe im Stabwerk....................................................................104
2.3.2 Stäbe im Kniehebeltrieb...........................................................107
2.3.3 Stäbe im Fachwerk...................................................................110
3 Zugbeanspruchungen....................................................................................117
3.1 Beanspruchung nach elementarer Festigkeitslehre...........................117
3.1.1 Zugspannungen, Verformungen, Temperatureinfluss ..............117
3.1.2 Berechnungen zum prismatischen Zugstab..............................121
3.2 Modellbildung Flach- und Rundstab ................................................123
3.2.1 Balkenelemente bei konstantem Querschnitt...........................123
3.2.2 Scheibenelemente bei konstantem Querschnitt........................127
3.2.3 Volumenelemente bei konstantem Querschnitt........................133
3.3 Modell Flachstab mit Querschnittsänderung....................................143
3.3.1 Flachstab mit Rille....................................................................143
3.3.2 Flachstab mit Bohrung .............................................................151
3.4 Modell Rundstab mit Querschnittsänderung ....................................160
3.4.1 Rundstab mit Rille....................................................................160
3.4.2 Rundstab mit Bohrung .............................................................164
3.5 Modell Temperatureinfluss ...............................................................172
4 Druckbeanspruchungen................................................................................177
4.1 Beanspruchung nach elementarer Festigkeitslehre...........................178
4.1.1 Druck........................................................................................178
4.1.2 Berührungsspannungen............................................................180
4.1.3 Berechnungen zum Druck........................................................183
4.1.4 Berechnungen zu Berührungsspannungen...............................185
4.2 Modellbildung Druck........................................................................188
4.2.1 Reiner Druck am prismatischen Druckstab..............................188
4.2.2 Reiner Druck am allgemeinen Druckstab ................................204
4.2.3 Knickung..................................................................................215
4.3 Modellbildung Flächenpressung.......................................................224
Inhaltsverzeichnis IX
4.3.1 Ebene Flächen ..........................................................................224
4.3.2 HERTZsche Pressung...............................................................231
4.4 Modellbildung Zapfen in Lagerschale..............................................248
4.5 Modellbildung Lochleibung..............................................................259
5 Biegebeanspruchungen .................................................................................269
5.1 Biegung nach elementarer Festigkeitslehre ......................................270
5.1.1 Einachsige Biegemomente.......................................................270
5.1.2 Mehrachsige Biegemomente....................................................273
5.1.3 Berechnungen zur einachsigen Biegung..................................275
5.1.4 Berechnungen zur mehrachsigen Biegung...............................276
5.2 Modelle mit einachsiger Biegung.....................................................277
5.2.1 Anwendung von 2D-Balkenelementen.....................................277
5.2.2 Anwendung von Scheibenelementen .......................................287
5.3 Modelle mit mehrachsiger Biegung..................................................307
5.3.1 Anwendung von 3D-Balkenelementen.....................................307
5.3.2 Anwendung von 3D-Profil-Balkenelementen..........................312
5.3.3 Anwendung von Schalenelementen .........................................321
5.3.4 Modelle mit Volumenelementen...............................................326
6 Schubbeanspruchungen...............................................................................335
6.1 Schub nach elementarer Festigkeitslehre..........................................335
6.1.1 Schubspannungen infolge Querkraft........................................335
6.1.2 Berechnungen zum Schub infolge Querkraft...........................344
6.2 Modelle zum Schub infolge Querkraft .............................................348
6.2.1 Kragträger mit Rechteck- und Kreisquerschnitt.......................348
6.2.2 Durchlaufträger mit Rechteckquerschnitt ................................362
6.2.3 Sandwich – Träger....................................................................368
6.2.4 Profile.......................................................................................371
6.3 Abscheren nach elementarer Festigkeitslehre...................................390
6.3.1 Scherspannungen......................................................................390
6.3.2 Berechnungen bei Scherbeanspruchungen...............................391
6.4 Modelle zur Scherbeanspruchung.....................................................391
6.4.1 Schneiden mit einfachem Modellansatz...................................392
6.4.2 Schneiden mit erweitertem Modellansatz ................................398
6.4.3 Abscheren mit Biegung............................................................405
X Inhaltsverzeichnis
7 Torsionsbeanspruchungen ............................................................................409
7.1 Torsion nach elementarer Festigkeitslehre........................................409
7.1.1 Einteilung der Beanspruchungen .............................................409
7.1.2 Torsionsspannungen und Verdrehwinkel..................................411
7.2 Berechnungen nach elementarer Theorie..........................................419
7.2.1 Verwölbungsfreie Querschnitte ................................................419
7.2.2 Nicht verwölbungsfreie Querschnitte.......................................420
7.3 Allgemeine Modellbildung Torsion..................................................422
7.3.1 Torsionsmomente und Randbedingungen................................422
7.3.2 Torsion mit Profil-Balkenelementen ........................................424
7.4 Erweiterte Modellbildung Torsion....................................................440
7.4.1 Torsion mit Scheibenelementen (achsensymmetrisch) ............440
7.4.2 Torsion mit Schalenelementen .................................................448
7.4.3 Torsion mit Volumenelementen................................................460
Verzeichnis der Berechnungstafeln..................................................................479
Literaturverzeichnis..........................................................................................485
Sachwortverzeichnis..........................................................................................487
1.1 Grundlagen der Finite Elemente Methode 1
1 Einführung
1.1 Grundlagen der Finite Elemente Methode
1.1.1 Das Wesen der Methode
Die Finite Elemente Methode stellt das umfassendste Berechnungswerkzeug für
viele Bereiche des Ingenieurwesens dar. Als computerorientiertes numerisches Ver-
fahren eignet sie sich vor allem zur Bearbeitung komplizierter, analytisch nicht be-
rechenbarer Bauteile.
Die Methode der finiten Elemente wurden von TURNER, CLOUGH, MARTIN
und TOPP 1956 für die Scheibe vorgestellt. CLOUGH führte 1960 den Begriff fini-
tes Element ein. Eine mathematische Basis wurde bereits 1943 von COURANT mit
der Entwicklung eines Verfahrens geschaffen, bei dem ein System in Dreiecke ein-
geteilt und mit numerischer Polynom-Interpolation eine Lösung approximiert wur-
de. Die begrenzten Rechenmöglichkeiten der damaligen Zeit ließen keine weitere
Entwicklung zu.
Die Fortschritte in der Computertechnik führten zu einem Entwicklungsschub, an
dem maßgeblich ZIENKIEWICZ, VEUBECKE, ARGYRIS u. a. beteiligt waren. Es
wurden die Zusammenhänge weiter untersucht, neue Elemente entwickelt und das
mathematische System umfassend begründet.
Das reale Bauteil wird gedanklich durch ein idealisiertes Modell aus finiten (lat.
‘beenden’, allgem. ‘bestimmt’) Elementen ersetzt, d. h. aus einfachen Bauelemen-
ten, deren elastisches Verhalten mathematisch formulierbar ist. Durch diese Zerle-
gung des komplexen Bauteils in einfache Abschnitte wird eine Berechnung mög-
lich, die jedoch nur eine Näherungslösung bezüglich des realen Bauteils darstellt.
Mit dem Werkzeug FEM können Probleme trotzdem wesentlich wirklichkeitsnä-
her gelöst werden als das die klassischen Mittel der Technischen Mechanik bzw. der
Maschinen-Elemente ermöglichen.
Zur Modellierung stehen verschiedenartige Elemente zur Verfügung, z. B. Stab-
elemente, Scheibenelemente, Volumenelemente. Konstruktionen aus Stäben bzw.
Tragwerke sind einfach zu erfassen. 3-D-Körper dagegen lassen immer mehrere
Möglichkeiten der Modellbildung zu.
Man stößt bei 3-D-Körpern mitunter an Grenzen. Sehr schnell können die Model-
le in Bereiche wachsen, wo die Rechenzeiten extreme Werte annehmen. Es kann oft
die Konturentreue nicht eingehalten werden, weil ansonsten die Elementeanzahl zu
K. Schier, Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre,
DOI 10.1007/978-3-642-16621-1_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
