Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten

488 Pages·1998·34.39 MB·German

by  Univ.-Professor Dr.Ing. Josef Betten (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Josef Betten
Finite Elemente
fOr Ingenieure 2
Variationsrechnung,
Energiemethoden,
Na heru ngsverfa hr en,
Ni chtl in ea ritaten
Mit 37 Abbildungen
, Springer
Univ.-Professor Dr.-Ing. JOSEF BETTEN
Lehr-und Forschungsgebiet
Mathematische Modelle in der Werkstoftkunde
RWTHAachen
Augustinerbach 4
D-52062 Aachen
ISBN 978-3-540-63240-5 ISBN 978-3-662-07237-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-07237-0
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Betten, Josef:
Finite Elemente fUr Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Nliherungsverfahren,
Nichtlinearitaten I Josef Betten -. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong;
London; Mailand; Paris; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer 1998
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Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998
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Einbandentwurf: Struve & Partner, Heidelberg
Satz: Camera ready Vorlage durch Autor
SPIN 10549496 62/3020-5 43 21 0 -Gedruckt auf saurefreiem Papier
Vorwort
Seit einigen lahren halte ich an der RWTH Aachen im Winter- und Sommerseme
ster Vorlesungen und Ubungen zur Finite-Elemente-Methode (FEM) for Ingenieu
re. Der Umfang dieser Lehrveranstaltungen ist mit V2!fJ2 pro Semester durch
StudienpHine festgelegt.
Vorlesungsinhalte und vollstandige Losungen der Ubungsaufgaben fUr beide
Semester wurden bisher als "Umdruck" herausgegeben. Nachdem eine vierte kor
rigierte Auflage vergriffen war, habe ich mich entschlossen, die Vorlesungen roit
den vollstandig gelOsten Ubungsaufgaben in zwei Banden zu verOffentlichen. Der
im September 1997 erschienene Band 1 bezieht sich auf das Wintersemester. Die
Lehrveranstaltung des Sommersemesters ist im jetzt vorliegenden Band 2 verOf
fentlicht.
Meine Lehrveranstaltung "Finite-Elemente-Methode fUr Ingenieure I,ll" soli
Studierenden ingenieurswissenschaftlicher Fachrichtungen (ab 5. Semester) einen
leichten Zugang zur FEM verschaffen und kann soroit auch als intensive Vorberei
tung auf Studien- und Diplomarbeiten dienen, in denen sehr haufig die FEM als
unverzichtbares Hilfsmittel eingesetzt werden muG. Darnit entfallen fUr viele Stu
dien- und Diplomarbeiter(innen) lange Einarbeitungszeiten.
Neben dem Zweck eines Vorlesungsmanuskriptes soIl das vorliegende Buch
und der erste Band auch Doktoranden und bereits in der Praxis tatigen Ingenieu
ren, die zur Behandlung von Problemen der Strukturmechanik oder der Kontinu
umsmechanik (solids and fluids) auf Naherungsverfahren angewiesen sind, einen
Einstieg in die FEM verschaffen.
Nach meinen Erfahrungen bevorzugen Studierende ingenieurswissenschaftli
cher Fachrichtungen die induktive Methode. Aus diesem Grund behandele ich
Variationsrechnung, Energiemethoden, modifiziertes RITZ-Verfahren, Residuen
verfahren und Nichtlinearitiiten erst imjetzt vorliegenden zweiten Band.
Der erste Band beginnt roit sehr einfachen finiten Elementen. In Kapitel 3 wird
mit Hilfe der Matrix-Steifigkeitsmethode bereits eine Ftille von Aufgaben der
Strukturmechanik gelost, die sich roit dem mechanischen Verhalten diskreter Sy
steme befaBt. Dazu ziihlt auch die Berechnung von EigenJrequenzen und Eigen
Jormen diskreter Systeme (~Strukturdynamik).
Die Anwendung der FEM auf kontinuierliche Systeme (~Kontinuums­
mechanik) ist wesentlich anspruchsvoller. In Kapitel 4 des ersten Bandes wird als
Moglichkeit, das Gleichgewicht eines Korpers (Kontinuums) auszudrticken, das
Prinzip der virtue lien Verschiebungen benutzt und die Steifigkeitsmatrix ftir line
are1astische finite Elemente ermittelt.
VI Vorwort
Neben Dreieckselementen h6herer Ordnung werden auch Viereckselemente
der LAGRANGE- und SERENDIPITY-Klasse und Ubergangselemente ausfiihrlich im
ersten Band diskutiert. Dartiber hinaus wird die konforme Abbi/dung zur Erzeu
gung krummliniger Elemente eingesetzt.
Die meisten Ubungsaufgaben konnen "von Hand" ohne Hilfsrnittel, d.h. unter
Klausurbedingungen, gelOst werden. Sehr umfangreiche Ubungen sind nur aus
zugsweise als Klausuraufgaben geeignet. Einige Aufgaben sind bewuBt sehr ein
fach gestelIt (und als Klausuraufgaben schon zu leicht), darnit der ,,Neuling" die
prinzipielIe Vorgehensweise schnelI durchblicken kann und nicht hinter einer
"black box" steht und auf Ergebnisse wartet, denen er nur miBtrauisch gegentiber
stehen kann.
Einige Ubungsaufgaben enthalten im AnschluB an die "zu FuB-Rechnung" ei
nen Computerausdruck. Hierbei wurde die Software "MAPLE V, Release 4",
verwendet. MAPLE ist ein "mathematisches Formelmanipulations-Programm ",
mit dem interaktiv gearbeitet werden kann. Mit Hilfe solcher "Formel
manipulations-Systeme" (FMS) ist es moglich, Berechnungen mit unausgewerteten
Ausdrticken (Symbolen) durchzufiihren.
Die sogenannte Computer-Algebra ist in den letzten lahren verstarkt entwickelt
worden - MAPLE etwa seit Anfang der SO-er lahre. Weitere Programme sind
MATHCAD (basierend auf MAPLE), MATHEMATICA, MACSYMA, REDUCE
und AXIOM, die ebenfalls sehr leistungsstark und anwenderfreundlich sind. le
nach Einsatzgebiet bietet das eine oder andere System mehr oder weniger Vorteile.
Die zusammengestelIten Ubungsaufgaben solIen den Vorlesungsstoff erganzen
und vertiefen. Es werden auch Ubungen aus Aufgabengebieten angeboten, die aus
Zeitgrtinden in den Vorlesungen nicht behandelt werden konnen. Aus Platzgriin
den konnten nicht zu jeder Ziffer Ubungsaufgaben abgedruckt werden, so daB eine
Vielzahl von bereits ausgearbeiteten Aufgaben noch in der Schublade liegen muB.
Erganzend zu den Vorlesungen und Ubungen in FEM biete ich ein Praktikum
"Praktische Einfiihrung in FEM-Programme I, H" fiir Studierende an, das mein
Mitarbeiter, Herr Dipl.-Ing. U. NAVRATH, am Rechenzentrum der RWTH Aachen
durchfiihrt. ledem Teilnehmer steht ein PC zur Verfiigung, so daB ein intensives
Einarbeiten in FEM-Programme moglich ist. Dem Rechenzentrum der RWTH
Aachen sei an dieser StelIe fiir die BereitstelIung von Schulungsraumen und PCs
gedankt. Ohne diese Untersttitzung ware die Durchfiihrung eines solchen Prakti
kums nicht moglich.
AlIen, die mit bestimmten FEM-Programmen in ihrer Berufspraxis arbeiten
mtissen, wie beispielsweise mit ABAQUS / ADINA / ANSYS / COSMOS /
MARC / NASTRAN etc., etc. werden Spezialkurse empfohlen, die man aber erst
dann effektiv besuchen kann, wenn man bereits die Grundlagen der FEM be
herrscht.
Beispielsweise bietet die Firma CAD-FEM GmbH in Grating bei Miinchen
jahrlich Schulungsserninare zum FEM-Programm ANSYS an. AIs Referenten
stehen Mitarbeiter der Firma CAD-FEM, Anwender aus der Industrie und Hoch
schulIehrer zur Verfiigung. So fiihre ich seit einigen lahren ein Seminar tiber vis
koelastisches und viskoplastisches Verhalten (lnelastizitiit) verschiedener Werk-
VII
stoffe zusammen mit einem Mitarbeiter der Firma CAD-FEM und einem Anwen
der aus der Glasindustrie durch. Die Erfahrungen, die ich hierbei sarnmle, kommen
auch meinen Lehrveranstaltungen zugute. Aus diesem Grunde bin ich der Firma
CAD-FEM dankbar, daB sie mich als Referenten eingeladen hat. Die meisten
Kursteilnehmer(innen) sind Anwender(innen) aus der Industrie. Es sind aber auch
Studierende und Doktoranden eingeladen, die nur eine geringe Teilnahmegebiihr
entrichten miissen.
Viele Anwender erwarten von FEM-Programmen Losungen, die man kritiklos
iibernehmen kann. Eine Erhohung der Anzahl der Elemente (h-Methode) erhoht
den Rechenaufwand und muB nicht immer zu einer gewiinschten Verbesserung der
Ergebnisse fuhren, wie ausfuhrlich in Ubungsaufgaben diskutiert wird. Vielfach ist
die Erhohung des Polynomgrades der shape functions (p-Methode) erfolgreicher,
wie an vielen Beispielen gezeigt wird. SchlieBlich ist auch die r-Methode
(repositioning) ein wirksames Mittel zur Erhohung der Genauigkeit von FEM
Losungen. Hierbei bleibt die Anzahl der Elemente, der Knoten und auch der Frei
heitsgrade pro Knoten erhalten, wahrend die Knotenpunkte "optimal" gegeneinan
der verschoben werden. Durch derartige Verschiebungen kann eine Netzverfeine
rung an StelIen hoher Spannungskonzentration (Kerben, scharfe Ubergange etc.)
erzeugt werden, wahrend in weniger kritischen Bereichen das Netz aufgeweitet
wird.
Bevor man ein aufwendiges FE-Programm selbst entwickelt, weil kein geeigne
tes kommerzielles Programm zur Verfugung steht, sollte man griindlich iiberlegen,
ob nicht and ere Verfahren mit geringerem Aufwand zum Ziel fuhren, insbesondere
bei einfachen Randkonturen. Daher werden im Textteil und in Ubungsaufgaben
des ersten Bandes die Finite-Differenzen-Methode (FDM) und die Methode der
Obertragungsmatrizen mit der FEM verglichen.
Aufgrund des reichhaltigen Angebotes von kommerziellen FE-Programmen
halten viele Anwender grundlegende Kenntnisse in Mechanik, in Tensorrechnung
und in numerischer Mathematik fUr weniger wichtig. Was ntitzt jedoch ein auf
wendiges Rechenprogramm, wenn das mathematische ModelI des Problems frag
lich ist?
Leistungsfahige Programme, wie z.B. ABAQUS etc., beriicksichtigen neben
physikalischen Nichtlinearitiiten auch geometrische Nichtlinearitiiten. Somit muB
der Anwender so1cher FEM-Programme u.a. mit der Theorie endlicher Verzerrun
gen vertraut sein und als mathematisches Hilfsmittel die Tensorrechnung einsetzen
konnen.
In beiden Banden habe ich jedoch weitgehend die Tensornotation nicht ver
wendet, da Studierende im 5. Semester aufgrund ihres Studienplanes mit der Ten
sorrechnung noch nicht vertraut sind. An einigen StelIen im Textteil und auch in
einigen Ubungen habe ich mich jedoch der eleganten und bequemen Tensorrech
nung bedient.
AlIen Studierenden, die insbesondere zur Priifungsvorbereitung meine Vorle
sungs- und Ubungsskripte kritisch durchgearbeitet haben, mochte ich danken. Sie
haben durch ihre Kritik und einige Anregungen dazu beigetragen, daB der zweite
Band die jetzt vorliegende Form besitzt.
VllI Vorwort
Gedankt sei an dieser Stelle Herrn Dr.-Ing. W. HELISCH, Herrn Dipl.-Ing. U.
NA VRATH und Herrn cand.ing. M. WIEHN, die rnit unermiidlicher Sorgfalt und
groBem Geschick die reproduktionsreife Vorlage auf einem PC-486 erstellt haben.
Die vielen Skizzen hat Herr T. HOFS, Auszubildender zum Technischen Zeich
ner, rnit den Programmen AutoCAD und CorelDraw 5.0 angefertigt. Fiir seine
Unterstiitzung mochte ich mich bedanken.
Mein Dank gilt auch meiner wissenschaftlichen Mitarbeiterin, Frau Dr.-Ing. A.
EL-SCHENNA WI, die mich beim Korrekturlesen unterstiitzt hat.
Die gesamte redaktionelle Koordination lag in den Handen von Herrn
Dipl.-Ing. U. NAVRATH.
Dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. D. MERKLE und Herrn
Dr. H. RIEDESEL sei gedankt fiir die Aufnahme meinerManuskripte und die ver
sHindnisvolle und vorbildliche Zusammenarbeit , die ich auch bei der Drucklegung
meines Buches "Kontinuumsmechanik" im lahre 1993 als angenehm empfand.
Herrn H. SCHOENEFELDT und Frau K. KLoSE, verantwortlich fiir die technische
Produktion des Buches, danke ich fiir die reibungsfreie Koordination.
Aachen, im Dezember 1997 losef Betten
Inhaltsverzeichnis
Band 2
5 Variationsrechnung
5.1 EULERsche Differentialgleichung filr Funktionale
der Fonn F(x, u, u', ... , u(n)) 1
5.2 Isoperimetrische Probleme 13
5.3 Funktionale mit mehreren Argumentfunktionen 16
5.4 Erweiterung auf Mehrfachintegrale 18
6 Energiemethoden I Variationsprinzipe 23
6.1 Anwendung des Prinzips vom Minimum des
Gesamtpotentials auf diskrete Systeme 24
6.2 Prinzip der virtuellen Arbeit 32
6.3 Die Satze von CASTIGILIANO 41
6.4 Anwendung des ersten Satzes von CASTIGILIANO
auf ein finites Balkenelement 44
6.5 Anwendung des ersten Satzes von CASTIGILIANO
auf ein elastisches Kontiniuum 55
6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom
stationaren Wert des Gesamtpotentials 56
6.7 Das HAMILTONsche Prinzip 65
7 Niiherungsverfahren 72
7.1 Das klassische RA YLEIGH-Rnz-Verfahren
und die FE-Methode 72
7.2 Verfahren der gewichteten Residuen,
insbesondere GALERKIN, und die FEM 109
7.3 Existenz eines Variationsprinzips 132
7.4 Naherungsfehler und Konvergenz 139
8 Nichtlinearitaten 146
8.1 Verschiedene L6sungsmethoden 149
8.2 Fixpunktiteration 157
8.3 Nichtlineare diskrete Systeme 161
8.4 Geometrische Nichtlinearitat 176
8.5 Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe 181
8.6 Zeitschrittverfahren 189
X Inhaltsverzeichnis
Losungen der Ubungsaufgaben 199
Literaturverzeichnis 465
Sachwortverzeichnis 471
Band 1
1 Einfiihrung
2 Matrixmethoden 11
3 Matrix.Steifigkeitsmethode 15
3.1 Steifigkeitsmatrizen von Federn 16
3.2 Steifigkeitsmatrizen fUr Stabelemente 35
3.3 Steifigkeitsmatrizen fUr Fachwerke 45
3.4 Steifigkeitsmatrizen fUr Biegebalken 60
3.5 Vergleich zwischen Steifigkeits-und Ubertragungsmatrix 73
3.6 Inhomogene Randbedingungen 83
4 Elastisches Kontinuum 85
4.1 Dreieckselement fUr ebene elastische Probleme 86
4.2 Verschiebungsansatze hOherer Ordnung 112
4.2.1 Quadratischer Verschiebungsansatz 113
4.2.2 Kubischer Verschiebungsansatz 115
4.3 Natiirliche Koordinaten im finiten Dreieckselement
(Flachenkoordinaten) 116
4.4 Rechteckelemente der LAGRANGE-Klasse 125
4.5 Rechteckelemente der SERENDWITY-KJasse 138
4.6 Ubergangselemente 145
4.7 Isoparametrische finite Elemente 152
4.8 Einsatz konformer Abbildungen in der FEM 162
Losungen der Ubungsaufgaben 171
Literaturverzeichnis 319
Sachwortverzeichnis 323