Finite Elemente: Eine Einführung für Ingenieure

596 Pages·1999·16.842 MB·German

by  Professor Dr.-Ing. Klaus Knothe, Dipl.-Ing. Heribert Wessels (auth.)

Finite Elemente
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Klaus Knothe . Heribert Wessels
Finite Elemente
Eine Einfuhrung fur Ingenieure
Dritte, iiberarbeitete und erweiterte Auflage
mit 344 Abbildungen
Springer
Professor Dr.-Ing. Klaus Knothe
Technische Universităt Berlin
Institut ftir Luft-und Raumfahrt
MarchstraBe 12
10587 Berlin
Dipl.-Ing. Heribert Wessels
G6rlitzer StraBe 43
10997 Berlin
ISBN 978-3-662-07236-3
Die Deutsche Bibliothek -Cip-Einheitsaufnahme
Finite Elemente: eine Einftihrung ftir Ingenieure 1 Hrsg.: Klaus Knothe ;
Heribert Wessels. -3. • tiberarb. und erw. Aufl. -
2. Aufl. u.d.T.: Knothe, Klaus: Finite Elemente
ISBN 978-3-662-07236-3 ISBN 978-3-662-07235-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-07235-6
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© Springer-V erlag Berlin Heidelberg 1999
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1999
Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1999
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SPIN: 10669610 68/3020 -5 43 2 1 o - Gedruckt auf săurefreiem Papier
Vorwort zur dritten Auflage
Nachdem vor weit mehr als einem Jahr abzusehen war, daB die zweite Auflage des Buches
demnachst vergriffen sein wiirde, ist der Springer-Verlag an die Autoren mit der Bitte heran
getreten, eine dritte Auflage vorzubereiten. Nach einigem Zogem haben die Autoren zuge
stimmt, wobei die Anerkennung, die das Buch in den zuruckliegenden mehr als acht Jahren
gefunden hat, ein Ansporn war, der die Autoren die zu erwartenden Miihen in Kauf nehmen
lieB. Anders als bei der zweiten Auflage konnte es sich nicht einfach urn eine Neuauflage mit
Korrekturen und leichten Veranderungen handeln. Zunachst war eine Fiille kleinerer Fehler
zu korrigieren, die im Laufe der letzten Jahre insbesondere von Studenten, Mitarbeitern und
Kollegen, aber auch von den Autoren selbst erkannt worden waren. An einer Vielzahl von
Stellen wurden aufgrund der Erfahrungen in Lehrveranstaltungen Umstellungen und Ergan
zungen notwendig. Viele Zeichnungen wurden aus der ersten Auflage iibernommen, umfang
reiche Anderungen oder notwendig gewordene Neuzeichnungen wurden durchwegs am
Bildschirm durchgefiihrt. Das Grundkonzept und die Zielsetzung des Buches, die im Vor
wort zur ersten Auflage dargestellt sind, wurden beibehalten, da sich beides in der Lehrver
anstaltung Finite Methoden zur Konstruktionsberechnung bewahrt hatte. Wer das Buch erst
malig in der Hand halt, sollte in der im AnschluB auszugsweise beigefiigten Fassung des
Vorworts der ersten Auflage nachlesen.
Einen vielfach geauBerten Wunsch folgend, haben sich die Autoren entschlossen, zu fast
allen Ubungsaufgaben Losungen auszuarbeiten, auch wenn dadurch der Buchumfang deut
lich groBer wurde. Dabei zeigte sich, daB bei der Formulierung der Ubungsaufgaben viele
Anderungen, Erganzungen und Prazisierungen notwendig waren. Den mit der Ausarbeitung
der Losungen verbundenen Aufwand hatten die Autoren deutlich unterschatzt: Dieser Zeit
aufwand ist der Hauptgrund dafiir, daB die dritte Auflage erstjetzt erscheint und nicht schon
seit einem halben Jahr vorliegt. Einen deutlichen Hinweis an den Leser: Wer sich eine
Ubungsaufgabe vornimmt, soIl nicht gleich die Losung in Kapitel 14 aufschlagen sondern
sich erst seIber die Miihe machen, die Losung auszuarbeiten. Bei manchen Ubungsaufgaben
wird das auf Anhieb gelingen, bei anderen kann ein Wochenende erforderlich sein. Die Ge
nugtuung, wenn man die Losung gefunden hat, ist dann urn so groBer.
In Kapitel6 und im Zusammenhang damit in Kapitel 13 wurden ebenfalls erhebliche Er
weiterungen vorgenommen, die den interessierten Leser in die Lage versetzen sollen, sich mit
alternativen Variationsprinzipien und den zugehorigen Finite-Elemente-Verfahren zu befas
sen. In einer Erganzung in Kapitel 12 wird auf die Moglichkeit hingewiesen, Finite-Ele
mente-Verfahren mit Verfahren fiir Mehrkorpersysteme zu verbinden. Die ursprungliche Ab
sicht, auf die Problematik von Fehlerabschatzungen und adaptiven Gitternetzverfeinerungen
VI Vorwort zur dritten Auflage
einzugehen, wurde in Anbetracht des Zeitaufwandes aufgegeben, der ftir die Ubungsaufga
ben erforderlich war. Die Autoren hoffen, daB auch die dritte Auflage des Buches Studenten
und Studentinnen an der Technischen Universitat Berlin und an anderen Hochschulen und
Fachhochschulen weiterhin den Einstieg in die Finite-Elemente-Methode erleichtert und auch
fUr andere Interessierte an Hochschulen, Forschungsinstituten und in der Industrie Anregun
gen bietet.
Die Lehrprogramme SCHEIB, FACHWK und ISOPAR, mit denen die Beispiele in den Kapi
teln 4 und 8 berechnet wurden, sind bei der Intemet-Adresse
http://ice.fb12.tu-berlin.de
unter ,downloads' zu finden, von wo aus sie von Interessenten heruntergeladen werden kon
nen. Die Einstellung weiterer Programme ist bis zum lahresende vorgesehen.
Auch am SchluB dieses Vorworts wollen die Autoren zunachst allen Studentinnen und
Studenten der Vorlesung Finite Methoden zur Konstruktionsberechnung, allen Mitarbeitern
des Fachgebiets Konstruktionsberechnung am Institut ftir Luft- und Raumfahrt und allen
Kollegen danken, die mit fundierter Kritik und mit einer Ftille von Anregungen dazu beige
tragen haben, daB das Buch die jetzt vorliegende Form angenommen hat. Besonderer Dank
gilt Professor Erich Wolf, der eine Reihe der Losungen zu den Ubungsaufgaben aus den
Kapitel 2, 3 und 6 sorgfaltig durchgesehen hat, so daB sie in der jetzigen Form (hoffentlich)
richtig sind.
Besonderer Dank gilt auch Frau Christine Koll yom Zeichenbtiro, die mit groBer Geduld
und Sorgfalt die vielen Diagramme und Zeichnungen erstellt hat und den Autoren bei der
Endredaktion geholfen hat. Herr Gerhard Kleintges war fUr die Funktionsflihigkeit der tech
nischen Einrichtungen verantwortlich. Es ging immer alles glatt. Auch ihm gilt der Dank der
Autoren. Den Mitarbeitern des Springer-VerI ages, insbesondere Herrn Lehnert, und der
Springer-Produktionsgesellschaft danken die Autoren fUr die hervorragende Zusammenar
beit.
Berlin, Mai 1999 Klaus Knothe und Heribert Wessels
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage
Das vorliegende Buch ist aus langjahriger Lehrerfahrung an der Technischen Universitat
Berlin entstanden. Es richtet sich an Studenten der Ingenieurwissenschaften von Universita
ten und Fachhochschulen und an Ingenieure in der industriellen Berechnungspraxis, die
einen Einstieg in die Methode der finiten Elemente suchen.
Bei Studenten, die erstmals mit der Methode der finiten Elemente in Beriihrung kommen,
findet man haufig die Erwartung vor, daB die Finite-Elemente-Methode ein Allheilmittel ist,
mit dem sich ohne groBe Probleme alle Fragestellungen behandeln lassen, bei denen einfa
che, analytische Methoden versagen. Die zugehorige Theorie wird fiir sehr kompliziert gehal
ten. Gliicklicherweise komme es aber auf das volle Verstandnis gar nicht an, daja umfang-
Vorwort zur dritten Auflage vn
reiche Programmsysteme vorliegen, die sich ohne theoretisches Hintergrundwissen als ,black
box' filr die Problembearbeitung einsetzen lassen.
Es ist unbestreitbar, daB mit der sUindig steigenden Leistungsflihigkeit von Computern
prinzipiell auch die Moglichkeiten anwachsen, Finite-Elemente-Programme bei komplexen
Tragwerken einzusetzen. Nach der Erfahrung der Autoren ist parallel aber eine zweite Ent
wicklung zu beobachten: Je mehr sich die Leistungsfahigkeit von Rechnern erhoht, urn so
unkritischer werden groBe Finite-Elemente-Programmsysteme eingesetzt. Die Auseinander
setzung mit beiden Entwicklungen in Verbindung mit der oben zitierten Erwartungshaltung
hat die ZieIsetzung des Buches gepragt. Die Autoren mochten erreichen, daB folgendes deut
Iich wird:
• Der Einsatz eines Finite-Elemente-Programms ist selbst bei einfachen Problemen vielfach
mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden.
• Allen Ergebnissen von Finite-Elemente-Rechnungen muB man mit groBem MiBtrauen be
gegnen. Eine groBe Zahl von Unbekannten sagt noch nichts ilber die Gilte der Ergebnisse
aus. Kontrollen der Ergebnisse sind daher zwingend notwendig.
• Die rein forrnale Herleitung der meisten Finite-Elemente-Verfahren ist auBerordentIich ein
fach. Was man braucht, sind wenige, meist gleichbleibende Sachverhalte aus der Mecha
nik (oder einer anderen physikalischen Disziplin) und der numerischen Mathematik.
• Grilndliche Kenntnisse auf dem Gebiet der Mechanik und der numerischen Mathematik
sind allerdings erforderIich, wenn man Programmsysteme effektiv einsetzen und dabei
unnotigen Rechenaufwand verrneiden will, und insbesondere dann, wenn man selbst ein
Programm entwickeln will.
Filr eine Einfiihrung in die Methode der finiten Elemente sind nach Ansicht der Autoren Pro
bleme zweidimensionaler Strukturen pradestiniert, in der Strukturrnechanik insbesondere das
Scheibenproblem. Hierbei treten die gleichen Fragestellungen wie bei dreidimensionalen
Kontinua auf, anders als bei dreidimensionalen Kontinua ist eine grafische Darstellung aber
noch ohne groBere Schwierigkeiten moglich. Ahnliche Aufmerksamkeit wird Platten als der
zweiten Gruppe ebener Flachentragwerke gewidmet. Fachwerke und Rahmentragwerke wer
den bewuBt erst im AnschluB an ebene Flachentragwerke angesprochen, da bei ihnen eine
Reihe atypischer Besonderheiten auftreten. Auf die Behandlung von Schalentragwerken wird
im Rahmen dieser Einfiihrung verzichtet.
Die Entwicklung der Finite-Elemente-Methode erfolgt in allen Fallen, ausgehend von den
mechanischen Grundgleichungen, konsequent aus dem Prinzip der virtuellen Verriickungen.
rm Mittelpunkt stehen hierbei statische Beanspruchungen; die Elemententwicklung fiir
dynamische Probleme und Stabilitatsprobleme wird ebenfalls angesprochen. Exemplarisch
wird am Beispiel der Wiirrneleitung gezeigt, daB auch bei anderen physikalischen Aufgaben
stellungen nichts prinzipiell Neues zu erwarten ist.
Berlin, Miirz 1991 Klaus Knothe und Heribert Wessels
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung .............................................. .
1. 1 Beispiele aus Konstruktionsberechnung und Mechanik •••••••••••••••
1.2 Einordnung einer Finite-Elemente-Rechnung in den ProzeB der
Konstruktionsberechnung •••••••••••••••••••••••••••••••••• 5
1. 3 Finite-Elemente-Verfahren fUr allgemeine Feldprobleme •••••••••••••• 7
1.4 Die Finite-Elemente-Methode und andere Diskretisierungsverfahren 8
1.5 Zur historischen Entwicklung der Finite-Elemente-Methode •••••••••••• 11
1.6 Gliederung des Buches ••.••••••••••••••••••••••••••••••••. 17
2 Differentialgleichungsformulierungen fur Probleme der
Strukturmechanik ......................................... 21
2.1 Tragwerkstypen .••.••.•••••••••••.•••••••.••.•••.••••.•• 21
2.2 Grundgleichungen und Randbedingungen fUr Scheibe und Stab ••••••••• 24
2.2.1 ZustandsgroBen fUr Scheibe und Stab •••••••••••••••••••.•• 24
2.2.2 Gleichgewichtsbedingungen •••••••••••••••••••••••••••• 25
2.2.3 Materialgesetz (Elastizitatsgesetz) ••••••••••••••••••••••••• 27
2.2.4 Kinematische Aussagen ••••••••••••••••••••••••••••••• 28
2.2.5 Verschiebungsdifferentialgleichungen •••••••••••••••••••••• 28
2.2.6 Randbedingungen ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 29
2.2.7 Zusammenfassung und Erweiterung auf dreidimensionale Kontinua 33
2.3 ZustandsgroBen von Balken und Platten ••••••••••••••.••••.••••• 35
2.4 Grundgleichungen fUr Balken und Platten •••••••.•••••••••••••.•• 38
2.5 Ubungsaufgaben ••••••••••.•••••••...•••.•••••••.•.••••. 41
3 Das Prinzip der virtuellen Verriickungen und das Prinzip yom
Minimum der potentiellen Energie ........................... 49
3 .1 Was ist das Prinzip der virtuellen Verriickungen und wie setzt man es ein? • • 50
3.2 Ableitung des Prinzips der virtuellen Verriickungen aus den
Gleichgewichtsbedingungen ••••••••••••••••••••••••••••••••• 55
3.3 Das Prinzip yom Minimum der potentiellen Energie (Dirichletsches
Variationsprinzip) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 59
3.4 Zulassige Verschiebungszustiinde ••••••••••••••••••••••••••••• 63
3.5 Das Prinzip der virtuellen Verriickungen fUr einzelne Kontinua •••••••••• 65
Inhaltsverzeichnis IX
3.5.1 Das Prinzip flir dreidimensionale Kontinua, Scheiben und Dehnstabe 65
3.5.2 Das Prinzip flir Balken und Platten .•.••....•..•....•.•.•.. 65
3.6 Obertragung des Prinzips der virtuellen Verrtickungen auf die
Warmeleitungsaufgabe ....•..........••..•....•.•...•.•.•. 69
3.6.1 Grundgleichungen der Warmeleitung .......••.•..•.•.••... 70
3.6.2 Das Prinzip der virtuellen Temperatur ..•••.....•.•..•.•.... 73
3.6.3 Analogie zwischen den Grundgleichungen der Warmeleitung und den
Grundgleichungen der Strukturmechanik ....•..••.••....... 74
3.7 Ubungsaufgaben ...•....•...•........•..•.•••....•...... 76
4 Finite-Elemente-Verfahren fUr Scheibentragwerke ond Fachwerke 85
4.1 Ein Verfahren der finiten Elemente flir Scheibentragwerke ••••......... 85
4.1.1 Vorbemerkung: Globale oder lokal begrenzte Ansatze ...••••.... 86
4.1.2 Verschiebungsansatz flir ein Rechteckelement .•.••..••...•.•• 88
4.1.3 Stetigkeit des Verschiebungsansatzes •••••.•••.•••.•.•.•.•• 91
4.1.4 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verrtickungen durch
Einflihrung des Verschiebungsansatzes ..•.••.••.••.••••.•• 93
4.1.5 ErmittJung der Steifigkeitsmatrix und der Lastvektoren flir
Rechteckelemente ...•...•...•.....•..........•.•.•.. 95
4.1.6 Aufbau und Losen des Gleichungssystems ......•..••....... 103
4. 1.7 Berechnung der Schnittkrafte und der Formanderungsenergie 108
4. 1. 8 Anschauliche Interpretation ....•.....•.••..•.•..•....•. 109
4. 1.9 Zusammenfassung ............•..........•.•.•.•.••. 114
4.1.1 0 Einfache Beispielrechnung ..•...••..•...•...•.••.•..... 118
4.1.11 Verbesserte Schnittkraftberechnung ........•......•...••.. 128
4.2 Mechanisch begrtindete Anforderungen an ein Finite-Elemente-Verfahren •.. 132
4.2.1 Stetigkeit des Verschiebungsansatzes .......••..•..•.•..•.. 133
4.2.2 Darstellbarkeit von Starrkorperverschiebungszustanden •...•.... 134
4.2.3 Darstellbarkeit konstanter Verzerrungszustande ............... 136
4.2.4 Symmetrie der Steifigkeitsmatrix ..•..•.•.•••..••........ 139
4.2.5 Positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix ••...••..•..••.•... 140
4.2.6 Kriterien flir die Wahl von Ansatzfunktionen ...............• 142
4.2.7 Uberprtifung der Matrizen des 4-Knoten-Rechteckelementes ...•.• 143
4.3 Ein Verfahren der finiten Elemente fi.ir Fachwerke ..............•... 146
4.3.1 Elementierung ..................•...•.•.....•.....• 147
4.3.2 Das Prinzip der virtuellen Verrtickungen ..•....•....••....• 148
4.3.3 1. Schritt: FestJegung des Elementtyps ..................... 148
4.3.4 2. Schritt: Differentiation des Verschiebungsansatzes ..••....... 150
4.3.5 3. Schritt: Auswertung der Elementintegrale •.....•....••.... 150
4.3.6 4. Schritt: Aufbau der Systemmatrizen .•.•.•....••....••.•• 151
4.3.7 5. Schritt: Losen des Gleichungssystems ..•...•..•.....•..• 152
4.3.8 6. Schritt: Berechnung der Schnittkrlifte ••.•...••.••....•..• 153
4.3.9 Ermittlung des exakten Verschiebungsansatzes ••••.•....••.•. 154
x Inhaltsverzeichnis
4.3.10 Beispielrechnung ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 156
4.3 .11 Erweiterung auf raumliche Fachwerke ••••••••••••••••••••• 156
4.4 Ubungsaufgaben •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 158
5 Umsetzung des Verfahrens zu einem Finite-Elemente-Programm ••. 165
5. 1 Dateneingabe und Ergebnisausgabe •••••••••••••••••••••••••••• 165
5.2 Einbau der Elementmatrizen in die Systemmatrix ••••••••••••••••••• 168
5.3 Einbau der Verschiebungsrandbedingungen in die Systemmatrizen ••••••• 173
504 Direkter Aufbau der Matrizen des gefesselten Systems •.••••••••••••. 175
5.5 Losen des Gleichungssystems •••••••••••••••••••••••••••.•.• 176
5.6 Ubungsaufgaben •.••.•••••••••••••••••••••.••••••.•••.•. 183
6 Zur Klassifikation von Elementen und Ansatzfunktionen 187
6. 1 Finite Elemente in der Deformationsmethode •••••••••••••••••••••• 187
6.2 Problemtypen beim KraftgroBenverfahren •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 193
6.3 Ubungsaufgaben ••.•••••••••••••••••••.••••••••••••••••• 196
7 Ansatzfunktionen fur Elemente vom Scheibentyp • . . . . . • . . . . • • . • 201
7.1 Einleitung •.•••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••• 201
7.2 Ansatzfunktionen flir Rechteckelemente durch Produktbildung •••••••••• 202
7.3 Ansatzfunktionen flir Randpunkt-und Dbergangselemente •••••••••••• 210
7.3. 1 Formfunktionen fUr Randpunktelemente •••••••••••••••••••• 211
7.3.2 Entwicklung der Steifigkeitsmatrix von Randpunktelementen ••••.• 219
7.3.3 Formfunktionen flir Ubergangselemente ••••.••.••.••••••••• 220
7.4 Schiefwinklige und krummlinig berandete Elemente ••...••••..•••.•. 223
704.1 Einleitung .•••.••.•.•.••••.•.••••••••••.•••••.•••• 223
704.2 Abbildungsvorschriften zur Approximation der Elementgeometrie ••• 225
704.3 Einflihrung des Verschiebungsansatzes ••••••••••••••••••••• 227
70404 Transformation des Differentialoperators und des Bereichsdifferentials 230
704.5 Aufbau von Elementmatrizen und -vektoren •••••••••••••••••• 232
704.6 Anmerkungen zur numerischen Integration und zur
programmtechnischen Umsetzung •••••••••••••••••••••••• 234
7.5 Ansatzfunktionen flir Dreieckelemente •••••••••••••••••••••••••• 236
7.5.1 Dreieckskoordinaten ••••••••••••••••••••••••••••••••• 237
7.5.2 Formfunktionen flir gradlinig berandete Dreieckelemente ••••••••• 239
7.5.3 Transformation des Differentialoperators und des FUi.chendifferentials 242
7.5.4 Integration •••••••••••••••.•••••••••••••••••••••••• 243
7.5.5 Krummlinig berandete Dreieckelemente ••• • • • • • • • • • • • • • . • • • 244
7.6 Anmerkungen zu inkompatiblen Ansatzen •••••••••••••••••.•••••• 245
7.7 Ubungsaufgaben ••.••.•••••••••••••••••••••••••••.•••••• 248