Finite Differenzen und Elemente: Numerische Lösung von Variationsproblemen und partiellen Differentialgleichungen

314 Pages·1989·12.67 MB·German

by  Dr. phil. nat. Dietrich Marsal (auth.)

Dietrich Marsal
Finite Differenzen
und Elemente
Numerische Lasung von
Variationsproblemen und
partiellen Differentialgleichungen
Mit 64 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo 1989
Dr. phil. nat. Dietrich Marsal
Professor an der Universitat Stuttgart
8399 Ering am Inn
ISBN 978-3-540-50192-3 ISBN 978-3-642-49948-7 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-642-49948-7
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Marsal, Dietrich: Finite Differenzen und Elemente:
numer. Liisung von Variationsproblemen u. partietten Differentialgleichungen/Dietrich Marsal.
Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo: Springer, 1989
ISBN 978-3-540-50192-3
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1989
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236213020-543210
Vorwort
Der vorliegende Text ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fur den
Selbstunterricht, die Rechenpraxis und.Obungen. Er richtet
sich an jeden Interessierten,mag ~r Physiker oder Ingenieur,
Analytiker oder Numeriker, Chemiker orler Geowissenschaftler
sein, und mag er grope oder geringe Vorkenntnisse besitzen.
Gepragt durch Meine Programmentwicklungen zur Erdolexplora
tion und ftir ~as Bayerische Umweltministerium, gepragt auch
insbesondere durch Meine Beratertatigkeit im Umfeld der KFA
Julich und beim Forschungslaboratorium der Shell Den Haag,
solI das Buch in einfacher Darstellung einen moglichst gro
pen Schatz an effizienten Methoden und Erfahrungen vermit
teln, wobei leichte Programmierbarkeit im Vordergrund steht.
Entsprechend dem Charakter als Arbeitsbuch sind die Litera
turangaben knapp, eroffnen jedoch dem Leser ein weites Feld
verwandter und alterer Arbeiten.
1m Teil tiber finite Differenzen solI der Leser von einfach
sten Aufgaben bis hin zu komplexen Problemen und Techniken
(numerische Dispersion, upstream-weighting, Vorkonditionie
rung von Gleichungssystemen usw.) gefuhrt werden, und zwar
von der analytischen Fassung der Aufgabe bis zum fertigen,
knappen, fur dieses Buch entwickelten Programm. Die in For
tran 77 geschriebenen Programme konnen zusatzlich auf Dis
kette PC/AT-kompatibel bei mir angefordert werden. Um Mehr
gittertechniken dem Anwender von der Praxis her nahezubrin
gen, habe ich als Muster ein einfaches Programm fur die La-
VI
place/Poisson-Gleichung entwickelt. Bei mehrdimensionalen
(gewohnlich nichtlinearen) elliptischen und parabolischen
Problemen liegt der Nachdruck auf Programmen, die Grundge
biete beliebiger Gestalt mit beliebig verteilten Randbedin
gungen automatisch erfassen und verarbeiten. Das Kapitel
uber hyperbolische Gleichungen und Systeme wird in wei ten
Teilen yom CFL-Kriterium beherrscht.Gleichungen von Navier
und Stokes werden nicht explizit behandelt; sie wurden ein
eigenes Buch erfordern (siehe jedoch Ziffer 6.14 - 6.16).
Der Teil tiber finite Elemente setzt keine Strukturmechanik
voraus. Er ist ftir Leser geschrieben, die finite Elemente als
Alternative zu finiten Differenzen betrachten und nur Kennt
nisse aus der Differential- und Integralrechnung mehrerer Va
riablen mitbringen. Deshalb wird die finite Element-Methode
in einfacher Weise aus dem Grundgedanken des Ritzschen Prin
zips entwickelt, und zwar von der Differentialgleichung tiber
die zugehorige Variationsaufgabe zum algebraischen Gesamt
gleichungssystem. Behandelt werden folgende Elemente:
Dreiecke, Rechtecke, windschiefe Vierecke; Tetraeder, recht
eckige Blocke, windschiefe Blocke; jeweils mit und ohne ge
krummte Rander. Dazu treten Intervallelemente verschiedener
Art. Ein Abschnitt tiber allgemeine finite Elemente gestattet
dem Leser, sich selbst neue Elemente zu konstruieren.
Die Darstellung lehnt sich zum Teil an mein seit einiger Zeit
vergriffenes Buch "Die numerische Losung partieller Differen
tialgleichungen" an, das sich allerdings auf Dreieck- und Te
traederelemente beschrankte.
Danksagung. Mein Freund Florian Lehner, Ph.D., Shell Den Haag,
versorgte mieh (wie schon beim Schreiben des Vorgangers dieses
Suches) mit Spezialliteratur. Herrn Dr. L. Dohmen, IES Jtilich,
verdanke ieh Viele Hinweise und ein Sonderprogramm zur Gau~eli­
mination. Herr Dr. K. Sttiben, GMD Schlo~ Birlinghoven, versorg
te mieh mit zahlreichen Arheiten uber Mehrgittertechnik und
Ratsehlagen dazu. Ohne die Unterstutzung von Herrn Prof. Dr. R.
Gorenflo, FU Berlin, Herrn Prof. Dr. M. Blumenfeld, T. Faeh
hoehsehule Berlin, und Herrn Aad van Kuyk, Shell Den Haag, hat
te ieh wiehtige Teile des Kapitels 6 nieht so sehreiben konnen,
wie ieh es fur notwendig erachtete.
Ering,Stuttgart,Den Haag im Juli 1988 Dietrich Marsal
Inhaltsverzeichnis
Finite Differenzen
o Allgemeine Grundlagen
0.1 Zur Schreibweise 3
0.2 Synonyma des Wortes "Definitionsbereich" 3
0.3 Nebenbedingungen 4
0.4 Zur Klassifizierung partieller Differential
gleichungen 4
0.5 Iteration 5
0.6 Matrizen und Gaup-Elimination 6
0.7 Gestaffelte Systeme, Dreiecksmatrizen, LR-Zerlegung 9
1 Grundlagen der Differenzenmethode
1.1 Prinzip und einfachste Formeln 12
1.2 Die Formel von Taylor 13
1.3 Approximati~n der ersten Ableitung 14
1.4 Approximation der zweiten Ableitung 15
1.5 Explizite und implizite Systeme 16
1.6 Stabile und instabile Systeme 18
1.7 Stabilitat im Sinne John von Neumanns 20
1.8 Elliptische, parabolische und hyperbolische
Gleichungen 22
1.9 Gitter und Randbedingungen 23
IX
1.10 Unregelma~ige Gitter. Mehrgitterverfahren
Lokale Netzverfeinerung 25
1.11 Hahere Ableitungen auf quadratischen Gittern 29
1.12 Differenzenformeln hoher Genauigkeit 30
1.13 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten
Eichung/history matching. Stream weighting 32
1.14 Numerische Dispersion 1 33
1.15 Numerische Dispersion 2 34
1.16 Neun-Punkte Formeln fur den Laplace Operator 36
1.17 Herleitung der Neun-Punkte Formel D(p,u) 38
1.18 Praktische Fragen 40
1.19 Fehlernormen 41
1.20 Diskretisierung der selbstadjungierten Fo~m (Kux)x 43
1.21 Das Liebmannsche Mittelungsverfahren: Ein elemen-
tares klassisches Beispiel der Differenzenmethode 44
1.22 Literatur 46
2 Parabolische Gleichungen I
2.1 Zusammenfassung 49
2.2 Lineare tridiagonale Systeme
Das Programm Algorithmus TRIDIA 49
2.3 Nichtlineare tridiagonale Systeme 51
2.4 Implizite Lasung von uxx + Q(x,t) 52
2.5 Randbedingungen 53
2.6 Das Programm implizit.f77 55
2.7 Die Crank-Nicolson Variante CN. Das Programm
cranknic.f77 56
2.8 Die Gleichung uxx + Uyy + Q(x,y,t) = CUt. ADIP 57
2.9 Das ADIP-Programm adipr.f77 auf Rechteckgebieten 60
2.10 Die Gleichung uxx + Uyy + uzz + Q(x,y,z,t) = CUt 62
2.11 Nichtlinearitaten, Nichtrechteckgebiete und
Anisotropie 62
2.12 Explizite Lasung der 2- und 3-dimensionalen
Gleichung 64
2.13 Literatur 64
x
3 Elliptische Gleichungen
3.1 Zusammenfassung 67
3.2 Bandmatrizen
Der Gau~-Algorithmus BANDMATRIX 67
3.3 Direkte Losung der Gleichungen von Laplace und
Poisson mit hoher Genauigkeit 69
3.4 Das Programm poisson1.f77 72
3.5 Ein einfaches Mehrgitterverfahren fUr die Glei-
chungen von Poisson und Laplace 73
3.6 Das Programm multigrid.f77 76
3.7 Die Gleichung von Helmholtz 77
3.8 Fehlerabschatzung nach Richardson 78
3.9 Die nichtlineare selbstadjungierte elliptisch
parabolische Gleichung auf inhomogenen, unregel
ma~ig berandeten Gebieten 78
3.10 Die selbstadjungierte elliptische bzw. parabo-
lische Differenzengleichung 80
3.11 Die Koeffizienten S und T 81
3.12 Die Randbedingungen 82
3.13 Das Programm adjung.f77 83
3.14 Losung elliptischer Gleichungen mit adjung.f77 85
3.15 Die Austauschbarkeit elliptischer und paraboli-
scher Programme 86
3.16 Douglas-Rachford iterativ (DRI) 86
3.17 Die Biharmonische v4u=v2(v2u)=0 87
3.18 Literatur 87
4 Hyperbolische Gleichungen
4.1 Zusammenfassung 89
4.2 Charakteristiken 89
4.3 Die Gleichung a(x,y)uxx-c(x,y)uyy=g(x,y)u+f(x,y) mit
a(x,y»O und c(x,y»O 91
4.4 Die Wellengleichungen Utt=puxx+f, Utt=p(uxx+Uyy)+f
und Utt=p(uxx+Uyy+uzz)+f mit p=c2 92
XI
4.5 Die eestimmung der zulassigen Maschenweiten fUr
Wellengleichungen. Das Kriterium von Courant,
Friedrichs und Lewy 93
4.6 Das Programm welle.f77 fUr 2D-Wellengleichungen 95
4.7 Die Charakteristiken der quasilinearen Gleichung
erster Ordnung 96
4.8 Die Charakteristiken quasilinearer Systeme erster
Ordnung 98
4.9 Die Losung hyperbolischer kanonischer Systeme 99
4.10 Beweis der Konvergenz der Niherungslosung 100
4.11 Systeme vom Telegraphengleichungstyp 101
4.12 Gleichungen und Systeme vom Typ ut = -~(x.t)vx 102
4.13 Das Programm utvx.f77 103
4.14 Numerische Langsdispersion 1 104
4.15 Das Lax-Wendroff Schema 106
4.16 Das Programm laxwf.f77 107
4.17 Numerische Langsdispersion 2 107
4.18 Integration der Gleichung Ux + Vy o 109
4.19 Literatur 110
5 Parabolische Gleichungen II
5.1 Zusammenfassung 112
5.2 Die SOR-Methode zur Losung linearer Gleichungen
Die Verfahren von Jacobi und Gau~-Seidel 112
5.3 Neun-Punkte Formel des Operators (Tux)x + (Tuy)y
Minimalisierung der numerischen Querdispersion 117
5.4 Mehrdimensionale Grundgebiete beliebiger und wech
selnder Gestalt. Gitterabtastung. Dreidimensionale
Differentialgleichungen auf beliebigen Bereichen 118
5.5 Das Generalprogramm gebiet.f77 fUr selbstadjungier
te Gleichungen auf beliebigen zweidimensionalen De-
finitionsbereichen mit Dispersionsminimalisierung 127
5.6 Das Arbeiten mit dem Generalprogramm gebiet.f77 129
5.7 Die Konvektions-Diffusionsgleichung auf beliebigen
dreidimensionalen Definitionsbereichen. e-Parameter 131