Figurierte Zahlen als produktiver Weg in die Mathematik - Ein Entwicklungsforschungsprojekt im Kontext einer Internationalen Vorbereitungsklasse

178 Pages·2020·3.309 MB·German

by  Sauerwein, Marc

Marc Sauerwein
Figurierte Zahlen als
produktiver Weg in
die Mathematik
Ein Entwicklungsforschungsprojekt
im Kontext einer Internationalen
Vorbereitungsklasse
Figurierte Zahlen als produktiver Weg in
die Mathematik
Marc Sauerwein
Figurierte Zahlen als
produktiver Weg in
die Mathematik
Ein Entwicklungsforschungsprojekt
im Kontext einer Internationalen
Vorbereitungsklasse
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Rainer Kaenders
Marc Sauerwein
Bonn, Deutschland
Von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen Friedrich-
Wilhelms-Universität Bonn genehmigte Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades
(Dr. rer. nat.).
Datum der Verteidigung: 14. Januar 2019
Gutachter: Prof. Dr. Rainer Kaenders, Prof. Dr. Andreas Büchter
ISBN 978-3-658-27649-2 ISBN 978-3-658-27650-8 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-27650-8
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Geleitwort
ManchevonihnenhabenineinerReligionsschulenurrudimentäreArithmetikgelernt,
anderesindineinerstaatlichenSchulemitdenAnfängenderInfinitesimalrechnung
in Kontakt gekommen und eine kleine Gruppe hat eine gediegene mathematische
Grundbildungerhalten.Sieallesindmitsehrindividuellen,teilweisetraumatischen,
ErlebnissenimGepäckineinerfürsiekompliziertenundundurchschaubarendeutschen
Gesellschaft angekommen und nun in einer Klasse zusammen. Wie kann in einer
solchenKlasseMathematikunterrichtgelingen?NähertmansichdieserFragean,kann
dasganzeRepertoirederMathematikdidaktikundderPädagogikhilfreichsein.
DiesesBuchstellteinForschungsprojektzuUnterrichtinelementarerAlgebramit
SchülerinnenundSchülerinInternationalenVorbereitungsklassen(IVK)vor.Mitdie-
semUnterrichtsolltendieSchülerinnenundSchülerdabeiunterstütztwerden,einen
SchulabschlussimdeutschenBildungssystemzuerlangen;dassindimEinzelnenein
Hauptschulabschluss,einHauptschulabschlussnachKlasse10,einMittlererSchulab-
schlussodereinAbitur.LässtmansichaufdieHintergründederhierzuunterrichtenden
Menschenein,soerkenntmanschnell,dasssichmitdemUnterrichtanmeistgeflüchtete
MenschentiefeundgrundsätzlicheFrageninverschiedenenBereichenvonBildung,
Kultur,Mathematik,Mathematikphilosophieund-geschichte,Psychologieundmitall
demgrundlegendeFragenderMathematikdidaktikverbinden.Diesgeschiehtvordem
HintergrundvonInstitutionen,MedienundpolitischenVerhältnissen.DieErforschung
diesesUnterrichtsistrelevant,daVorstellungenundMaterialienzueinemgelungenen
MathematikunterrichtineinerIVKteilweisenochnichtexistieren,sehrvariierenoder
sichnochbewährenmüssen.
InseinemForschungsansatzbetrachtetMarcSauerweindiemathematikdidaktische
ForschungalsEntwicklungsforschung(DesignScienceimSinnevonE.Ch.Wittmann,
vgl.dasKapitel4überMethodik).DabeisiehtsichderForscheralsforschungsbasier-
te(r)Entwickler(in).HierfürbedarfessehrgenauerKenntnisseinrelevantenWissens-
gebieten,wiederdazugehörigenMathematikdidaktikundihrenLerntheorien,der
Elementarmathematik,derMathematikgeschichteund-philosophie.DieForschungs-
arbeitbestehtnundarin,diezudiesemZwecknotwendigenHintergründesorgfältig
herauszuarbeitenundingenauerKenntnisundunterVerwendungdieserHintergründe
DesignprinzipienentsprechendenUnterrichtszuentwickeln.Dabeibegibtmansich–oft
auchimTeam–ineinenEntwicklungszyklus,dersichvondemindenGrundlagen
derNaturwissenschaftenhäufigverwendetenhypothetisch-deduktivenZyklusunter-
scheidet(vgl.S.63).ÜberletzterengewinntmanvornehmlichErkenntnissealssolche,
währendderEntwicklungszykluseinenentsprechendenUnterrichtauchhervorbringen
sollte.
VI Geleitwort
GenaudiesgelingtindieserArbeit.ZunächstwerdendievielfältigenAspekte,die
mitdemUnterrichtzurelementarenAlgebraundinsbesonderezuFiguriertenZahlen
ineinerIVKzusammenhängen,nachvollziehbarerkannt.SiewerdenvordemHin-
tergrundvonForschungsergebnisseninverschiedenenBereichendermodernenund
klassischenMathematikdidaktikundderBildungswissenschaftaufhermeneutische
Weisebegrifflichsauberaufgearbeitet.AusdieserPerspektivegelingtes,diesichindem
durchgeführtenUnterrichtergebendenGestaltungsnotwendigkeiten,Bedingungen,
SituationenundFrageneinzuordnenundentlangderzuvordargestelltenPerspekti-
venundPrinzipienzuentwickeln.DiemitdemUnterrichtineinerIVKverbundene
inhaltlicheundmethodischeFreiheitunddiedortsichtbarwerdendenVoraussetzun-
genfürgelingendenMathematikunterrichtbietenzudemauchdieGelegenheitüber
BildungsfragenfürdengesamtenMathematikunterrichtneunachzudenken,wasnoch
zusätzlichdurcheinenZyklusderUnterrichtseinheitineinerRegelklasseunterstützt
wird.
Aberistesdenngerechtfertigt,magmanandieserStelleeinwenden,sovielAuf-
wandfürdenUnterrichtinwenigenKlasseneinereinzigenSchulezubetreiben?Dazu
mussmanwissen,dasshinterdiesemAnsatzeinweitergehenderAnspruchsteht:Ver-
suchtmannämlicheinesolcheUnterrichtsentwicklungaufwissenschaftlicheWeise
durchzuführen,wirdnichtunbedingtnurderinFragestehendeUnterrichtentwickelt,
sondernesentstehensogenanntelokaleTheorien(S.59),dieihrerseitswiederGrundlage
fürallgemeineEinsichtenliefernkönnen.Auch,wenndieseHerangehensweisemüh-
samist,soleistetsiedurchihreErdunginderPraxiseinerseitsundihreVerbindungmit
theoretischenAnsätzenandererseitsderWeiterentwicklungvonMathematikunterricht
Vorschub.
DervorliegendeForschungsberichtgibteinenumfassenden,sehrlesenswertenEin-
blickindiemoderneMathematikdidaktikzurElementarenAlgebraundinsbesondere
zuFiguriertenZahlenimKontexteinerInternationalenVorbereitungsklasse.Eswird
deutlich,wiesehreinschlägigeBegriffsarbeitundeinkonzeptuellertheoretischerRah-
meninmathematikdidaktischerEntwicklungsforschungfruchtbarwerdenkönnen.
Mit der Durchführung dieser Entwicklungsforschung werden die vorgestellten
mathematikdidaktischenKonzepte,PerspektivenundErkenntnissefürdieEntwicklung
ganz konkreten Unterrichts eingesetzt und daraus werden dann wieder wertvolle
allgemeinereLehrengezogen,diegewissemMaßeauchalsprototypischfürheterogene
Lerngruppengeltenkönnen.SowirdnichtnurdieEntwicklungvonUnterrichtin
InternationalenVorbereitungsklasseneinenSchrittnachvornegebracht.
BonnamRhein,Juni2019
RainerKaenders
Vorwort
AlsichEnde2014mitdemGedankenspielteinderDidaktikderMathematikzupro-
movieren,schiendasThemaSymmetrieundmöglicheUmsetzungenimUnterricht,
z.B.alsdurchziehendefundamentaleIdee,schoninSteingemeißeltzusein.AusSicht
meinesStudiumsderDarstellungstheoriewardiesinmeinenAugeneinnaheliegendes
Ansinnen.SobeschriebmeinBetreuerderMasterarbeitProf.Dr.GeordieWilliamson
dasGebietderDarstellungstheoriemitdemMotto„don’tunderestimatesymmetry“.1
DiesevoreiligeundauchnaiveEinschätzungbezüglichderunterrichtlichenPraxisrela-
tiviertesichnacheingehendenLiteraturrecherchenundGesprächenmitverschiedenen
LehrerinnenundLehrern.TrotzbekundetemInteresseandemThemaSymmetriewar
dieskeinvorrangigesProbleminihremeigenenUnterricht.EinzentralesAnliegen
meinesForschungsvorhabenswar–undistesimmernoch–imweitestenSinnedie
unterrichtlichePraxiszuverbessern.
DementsprechendändertesichderFokusaufdieelementareAlgebra.Durchden
glücklichen Zufall des Kontaktes zu einer Internationalen Vorbereitungsklasse hat
sichdanndiespannendeKombinationergeben,dieindieserDissertationbehandelt
wird:AlgebraunterrichtineinerInternationalenVorbereitungsklassemithilfevonFigurierten
Zahlen.AuchbeidiesemfaszinierendenmathematischenGegenstanddarfSymmetrie
keineswegsunterschätztwerden.
AndieserStellemöchteichzuallererstmeinemBetreuerProf.Dr.RainerKaenders
danken.VonBeginnanhatermirdieMöglichkeitenundFreiheitengegeben,dasPro-
jektnachmeinenVorstellungenzugestaltenunddamiteineeigeneSichtweiseauf
Mathematikdidaktikzuentwickeln.DurchdieBetreuungseinerVorlesungDidaktikder
Mathematik1imWintersemester2014/15habeichsehrallgemeinePerspektivenaus
demFeldderMathematikdidaktikkennenlernendürfen,diefürmeineeigeneEntwick-
lungimmerwiederneue,produktiveEinsichtenbereithielten.Wannimmerichaneiner
wichtigenAbzweigungangelangtwar,konnteichmichvollundganzaufseinewert-
vollenRatschlägeverlassen,ohnedassermichjemalsineineRichtunggedrängthätte.
SeinegeometrischeSicht–auchaufdieAlgebra–konntenmirhäufigneue,wertvolle
Perspektiveneröffnen.SoentstandschrittweisemeineigenesForschungsprojekt.
AlledieseFreiheitenwurdenmirausfinanziellerSichtvorallemdurcheinHausdorff
ScholarshipdesHausdorffCentreforMathematicsundderangegliedertenGraduierten-
schuleBonnInternationalGraduateSchoolofMathematicsermöglicht.Dafürmöchtemich
andieserStellebedanken.
1 EinsehrschönesExposédazuwurde2013imJahrbuchderMax-Planck-Gesellschaftveröffentlicht
(Williamson,2013).
VIII Vorwort
DasProjekthätteohnediereibungsloseKooperationmitderOtto-KühneSchulein
Bonnnichtfunktionierenkönnen.DerFachbereichMathematikhatmichsehrfreund-
lichaufgenommenundmirvieleinteressanteEinblickeindentäglichenSchulalltag
ermöglicht.DafürbinichallenKolleginnenundKollegenderSchuledankbar,speziell
möchteichhierDorotheaBade,Dr.UrsulaCoester,MalteMinkundAnnaStrunknennen,
diealleaufihreWeisedasProjektbeeinflussthaben.
HerzlichmöchteichdenMitgliedernderArbeitsgruppeMathematikundihreDidaktik
anderUniversitätBonndanken.DasBürodurfteichinderZeitmitStephanBerendonk,
CarlPeterFitting,MareikeMinkundMartinRathgebteilen.VielenDankfürdiezahl-
reichenGesprächeundDiskussionen.AndieserStellemöchteichauchnichtProf.Dr.
YsetteWeissvergessen,diemirinvielenanregendenDiskussionenandereSichtweisen
aufzeigenkonnte.
SchließlichgilteinriesigerDankmeinenElternAngelikaundMichael,meinenGroß-
elternMargretundHerbert,meinerGroßmutterChristelsowiemeinerTanteMartinafür
dieimmerwährendeUnterstützunginjeglicherHinsicht.
ZuguterLetztmöchteichmeinerFrauFabiadanken,dasssiemirinallenPhasen
meinesPromotionsprojekteszurSeitestandundmichbedingungslosunterstützthat.
BonnimSommer2019
MarcSauerwein
Kurzzusammenfassung
DievorliegendemathematikdidaktischeDissertationuntersuchtexemplarischanhand
desAlgebraunterrichtsdenMathematikunterrichtinInternationalenKlassen.Dieser
scheintaufgrundderVielfältigkeitderSchülerinnenundSchülereinUnterfangenmit
sehrkomplexemWesenzusein–selbstimVergleichzumebenfallsnichttrivialen
Regelunterricht.DasVerstehendieserkomplexenNaturisteinzentralesAnliegender
ArbeitundsogleichVoraussetzungfürjeglicheweiterführendeForschung.Daszweite
KernanliegenistimSinnedesDesignResearchdieEntwicklungeinersubstantiellen
LernumgebungzurEinführungindieelementareAlgebrainInternationalenKlassen.
DieArbeitbetrifftdiedreiThemenfelder:InternationaleKlassenundFigurierteZahlen
sowieAlgebraunterricht,dienichthierarchischundunabhängigvoneinanderbestehen,
sonderninderunterrichtlichenUmsetzungvielfältiginterdependentsind.ZurVer-
anschaulichungadaptierenwireineSichtweiseaufdasdidaktischeDreieck„Lehrer
–Schüler–Stoff“,indereineBeziehung,dargestelltdurcheineDreiecksseite,durch
dendrittenDreieckspunktmoderiertwird.2 BezogenaufdieseArbeiterhaltenwir
dasfolgendeBeziehungsgeflechtmitdenWinterschenGrunderfahrungenalszusätzliche
vermittelndeKomponente,diedemMathematikunterrichteineallgemeinbildendeund
aufklärerischeFunktionabverlangt:
Algebraunterricht
Wintersche
Grunderfahrungen
Figurierte Internationale
Zahlen Klassen
DasgenaueDurcharbeitendieserAbhängigkeitenineinemkonkretenKontextistdas
ZieldieserDissertation.
2 DieseSichtweisehatderAutorbeieinemVortragvonDr.FelixWinterimRahmendes14.Workshops
zur„TätigkeitstheorieundkulturhistorischeSchule“vom4.-6.Mai2018gelernt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 DieAusgangsproblematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 TheoretischerTeil 5
2.1 PerspektivenaufMathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 AlgebraalsSprache(nachKvasz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 ElementareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 HistorischeszuFiguriertenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 EntfaltungderAusgangsproblematik:MathematikunterrichtineinerIVK 49
3.1 PräzisierungderForschungsabsicht:MathematikunterrichtinInternatio-
nalenKlassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 AbleitungderForschungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Methodisches 59
4.1 DesignResearch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Mathematikdidaktikalsdesignscience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 ZusammenfassungundFestlegungfürdieseArbeit . . . . . . . . . . . . 64
5 EntwicklungsforschunganderkonkretenLernumgebung 75
5.1 UnterrichtlicheProblematisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 ErsterDurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 ZweiterDurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 DritterDurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 VierterDurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6 Ergebnisse 143
6.1 ReflexionderDesign-Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 DidaktischeAnalysederFigurierteZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Literaturverzeichnis 153