Estudio comparativo de diferentes tipos de agujeros negros

50 Pages·2016·1.22 MB·Spanish

ProyectodeIniciacio´nalaInvestigacio´n
Estudio comparativo de diferentes
tipos de agujeros negros
Por
Jose Mar´ıa Pe´rez Poyatos
Tutor
BertJanssen
DepartamentodeF´ısicaTeo´ricaydelCosmos
UniversidaddeGranada
Juliode2016
Imagentomadadelapel´ıculaInterstellar
Resumen
Los agujeros negros son una de las ma´s exo´ticas e interesantes soluciones que pueden ser
obtenidasapartirdelasecuacionesdecampodeEinstein.Dehecho,lasolucio´ndeSchwarzs-
childfuelaprimerasolucio´nexactaobtenidadeestasecuaciones,unasecuacionesqueelmismo
AlbertEinsteinpensabaquejama´sser´ıanresueltas.Losagujerosnegroshansidoestudiadosdu-
rantemuchotiempoporcient´ıficostanimportantescomopuedenserStephenHawkingoRoger
Penrose,contribuyendoenormementeenestecampoeinclusodescubriendoalgunasdelaspro-
piedades cua´nticas de estos objetos. El hecho de que tengan un punto singular en su interior,
dondelacurvaturasehaceinfinitaylasecuacionespierdensuvalidezcompletamente,suscita
intere´sinclusohoyend´ıa,yaquelagravedadpareceserimparableyningunafuerzaconocida
escapazdeoponerseaellaparallegaraunestadoestablesinsingularidad.Enesteproyectoes-
tudiaremoslosagujerosnegrosquehisto´ricamentehansidoimportantespordiversasrazones,
comoelyamencionadoagujeronegrodeSchwarzschild,conelcualestableceremoselprocedi-
mientoseguidoenelrestodeapartadosparaestudiarlaestructuracausaldelosdiferentescasos
quetrataremos.Todosloscasosestudiadostienenunaltogradodesimetr´ıa,conlocualpueden
serabordadosdeunaformarelativamentesencillaconunosconocimientosma´somenosba´sicos
sobreF´ısicayGeometr´ıaDiferencial.Tambie´nestudiaremosespaciosquenopresentanunagu-
jeronegro,comosonlosespaciosdeDeSitterydeanti-DeSitter,paraconocersusprincipales
propiedadesparaluego,posteriormente.s´ıintroducirunagujeronegrodetipoSchwarzschildy
estudiarunasestructurascausalesquenosueleserfrecuenteencontrarenlabibliograf´ıa.
´
Indice
1. Introduccio´nymotivacio´ndelproyecto 4
2. AgujeronegrodeSchwarzschild 7
2.1. Derivacio´ndelasolucio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Estudiodeloshorizontesdelasolucio´ndeSchwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Estructuracausaldelasolucio´ndeSchwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. AgujeronegrodeReissner-Nordstro¨m 14
3.1. FormalismodePalatiniyderivacio´ndelasolucio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Estudiodeloshorizontesdelasolucio´ndeReissner-Nordstro¨m . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Estructuracausaldelasdiferentessoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1. EstructuracausaldelagujeronegrodeReissner-Nordstro¨msubextremal . . . 18
3.3.2. EstructuracausaldelagujeronegrodeReissner-Nordstro¨mextremal . . . . . 22
4. EspaciodeDeSitter 26
4.1. Derivacio´ndelasolucio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Estructuracausaldelasolucio´ndeDeSitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. EspaciodeAntiDeSitter 31
5.1. Estructuracausaldelasolucio´ndeantiDeSitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6. AgujeronegrodeSchwarzschildenelespaciodeDeSitter 35
6.1. Estudiodeloshorizontesdelasolucio´ndeSchwarzschildDeSitter . . . . . . . . . . 35
6.2. CasosubextremalR >3√3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
0
6.2.1. Estructuracausaldelcasosubextremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3. CasoextremalR =3√3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
0
6.3.1. Estructuracausaldelcasoextremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7. AgujeronegrodeSchwarzschildenelespaciodeanti-DeSitter 43
7.1. Estudiodeloshorizontesdelasolucio´ndeSchwarzschildAntiDeSitter . . . . . . . 43
7.2. Estructuracausaldelasolucio´ndeSchwarzschildAntiDeSitter . . . . . . . . . . . . 44
7.3. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8. Conclusionesfinales 48
9. Bibliograf´ıa 50
1 INTRODUCCIO´NYMOTIVACIO´NDELPROYECTO 4
1. Introduccio´n y motivacio´n del proyecto
Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matema´ticas que
se esconden tras ellos y las ideas ba´sicas que sustentan la teor´ıa de la Relatividad General. Para
empezar,lasecuacionesdecampodeEinsteinenunidadestalesquec =1:
1
Rµν Rgµν = 8πGTµν (1.1)
− 2 −
sonunasecuacionestensoriales.Estoesas´ıdebidoalPrincipiodeCovarianciaGeneralizado,que
nosdicequenohayningu´nobservadorprivilegiadoyquelasleyesdelaf´ısicahandeescribirse
de ide´ntica forma en todos los sistemas de referencia, tanto inerciales como no inerciales, es por
ello que nuestras ecuaciones deben escribirse en te´rminos de objetos que transformen bien ante
cambiosdecoordenadas,yestossonescalares,vectoresytensores.Porotrolado,estasecuaciones
manifiestan“laideama´sfelizdelavidadeEinstein”,quefuelaidentificacio´ndelcampogravita-
torioconlageometr´ıadelespacio,porloquegravedadygeometr´ıadepend´ıan´ıntimamenteuna
deotra,loqueesunaconsecuenciadelPrincipiodeEquivalencia,segu´nelcualobservadoresen
ca´ıda libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a observadores en el vac´ıo. Es
porello,quesusecuacionesdecampodeb´ıanrelacionarlageometr´ıadelespacioconlasfuentes
decampogravitatorio,quesonlamasa(comoenlateor´ıanewtoniana)yadema´s,laenerg´ıa,que
es una de las grandes lecciones de la Relatividad Especial, y es que masa y energ´ıa son las dos
carasdeunamismamoneda.Estoesloquereflejalapartederechadelaecuacio´n,dondeaparece
el tensor de energ´ıa-momento, que contiene toda la informacio´n del contenido energe´tico de la
solucio´nestudiada.Enlaparteizquierdadelaecuacio´n,tenemoseltensordeRicciqueasuvez
escontraccio´ndeltensordeRiemann,quereflejalageometr´ıadelespacio;elescalardeRicci,que
es la traza del tensor de Ricci; y la me´trica, que es lo que buscamos al resolver estas ecuaciones.
A pesar de que a priori, esos tres objetos no esta´n relacionados, lo esta´n ´ıntimamente a trave´s
de la conexio´n. La conexio´n es un objeto matema´tico no tensorial que nos indica co´mo cambia
un vector de un espacio tangente a otro al hacer transporte paralelo en la variedad, y es que los
vectoresvivenenlosespaciostangentesalasvariedades.Yesqueenunavariedadarbitraria,los
espacios tangentes cambian de punto a punto. Necesitamos un representante de un vector dado
pertenecienteaunespaciotangenteenotroespaciotangente,ylaformadehacerloesgraciasala
conexio´n.Laconexio´n,apriori,estotalmentearbitraria:diferentesconexiones,nosdara´ndiferen-
tes nocionesde curvatura.Pero existeuna conexio´n preferida,que poseela importantecualidad
dequeserelacionaconlame´tricadelaforma:
Γρµν = 1gρλ ∂µgλν+∂νgµλ ∂λgµν , (1.2)
2 −
� �
donde asumimos el convenio de ´ındices repetidos de Einstein; un mismo ´ındice arriba y abajo
enunaexpresio´nsignificasumatoriosobretodoslosvaloresquepuedatomardicho´ındice.Esta
conexio´ncumplelassiguientesdospropiedades:
ρ ρ ρ
Tµν = Γµν Γνµ =0 ; µgνρ =0 (1.3)
− ∇
Laprimeradeellasnosdicequeeltensordetorsio´nesnulo,yporende,laconexio´nessime´trica.
La consecuencia geome´trica de este hecho, es que el cuadrila´tero formado por dos vectores, ha-
ciendotransporteparalelodeambos,escerrado.Lasegunda,nosdicequeladerivadacovariante
delame´tricaesnula,porloquepodemosconmutarladerivacio´nconlasubidaybajadade´ındi-
5 1 INTRODUCCIO´NYMOTIVACIO´NDELPROYECTO
ces, operacio´n que se realiza con el tensor me´trico. A partir de la conexio´n, podemos definir el
tensordeRicci
Rµν = Rµλλν = ∂µΓλλν−∂λΓλµν+ΓλµσΓσλν−ΓλλσΓσµν, (1.4)
que tambie´n esta´ relacionado con la me´trica, de tal forma que so´lo aparecen ecuaciones diferen-
ciales de segundo orden para la e´sta, que era otro de nuestros objetivos, ya que las ecuaciones
diferencialesenf´ısicasonsiempredesegundoordendadoquesiempretenemosdoscondiciones
de contorno. Como podemos ver, estas ecuaciones van a ser altamente no lineales, lo que va a
hacerquenoseconozcansolucionesgeneralesalasmismas.
Enesteproyecto,vamosatratarconagujerosnegros,quesonsolucionesexactasdelaecuaciones
decampodeEinstein.Sonobjetosencuyointeriorseencuentraunasingularidadf´ısica,esdecir,un
puntodelespacio-tiempoenelquelasecuacionessedesmoronanydondetenemosunacurvatura
infinita.Estasingularidadesta´ aisladadelrestodelespacio-tiempoporunhorizontedesucesos,
lugar a partir del cual, una vez cruzado, no hay retorno, ya que ni siquiera la luz es capaz de
salir. Existen soluciones sin horizonte, pero nosotros aplicaremos la hipo´tesis de censura co´smica
propuesta por el f´ısico matema´tico Roger Penrose, segu´n la cual estos objetos no existen en la
naturaleza.
Como hemos dicho, en nuestras soluciones van a aparecer singularidades, es decir, puntos del
espacio-tiempodondealgunadelascomponentesdelame´tricavaadivergir,yconvienedistinguir
losdoscasosposibles:
• Singularidadesf´ısicas:sonlugaresdelespacio-tiempodondelacurvaturasehaceinfinitay
nuestrasecuacionesnosonva´lidasah´ı.
• Singularidadesdecoordenadas:sonaquellasqueaparecenporusarunsistemacoordenado
concreto. Un cambio de coordenadas la hace desaparecer o bien la lleva a otro punto que
antesdelcambiodecoordenadaseracompletamenteregular.Unejemploser´ıaelorigenen
coordenadaspolaresplanas.
En nuestro estudio, van a aparecer diferentes tipos de geode´sicas, que son las l´ıneas que las
part´ıculas libres siguen por la variedad. Los dos tipos de geode´sicas que vamos a encontrarnos
sonlossiguientes:
• Geode´sicasnulas:sonlastrayectoriasquesiguenlosrayosluminosos.Lanormadesusvec-
torestangentesesnula,loqueequivaleadecirquegµνx˙µx˙ν =0
• Geode´sicas temporales: son las trayectorias que siguen las part´ıculas materiales. La norma
desusvectorestangenteseslaunidadgµνx˙µx˙ν =1.
Ennuestroestudio,supondremossimetr´ıaesfe´ricayestaticidad.Lasimetr´ıaesfe´ricahacequenos
basteconestudiarlasgeode´sicasradiales,quesonaquellasquevanendireccio´nradial,pudiendo
ser entrantes o salientes.. La estaticidad consiste en la invariancia de la me´trica ante inversiones
temporales,ysera´ lacausantedelaconservacio´ndelaenerg´ıaporunidaddemasaalolargode
lasgeode´sicas,ecuacio´nqueseplanteadelaformagttt˙= E.
Estudiaragujerosnegrosconsisteenconocerlaestructuracausaldelosmismos,queeselconjunto
de puntos que pueden influenciar a otros, este es el motivo por el cual estudiamos el comporta-
mientos de las geode´sicas, ya que conociendo las trayectorias de los rayos luminosos podemos
1 INTRODUCCIO´NYMOTIVACIO´NDELPROYECTO 6
conocerelconodeluzfuturodecualquierobservadorencualquierlugar.Estoesimportante,ya
que segu´n la Relatividad Especial, un observador se mueve dentro de su cono de luz futuro y
no puede salir de e´l, ya que eso supondr´ıa velocidades superiores a la de la luz. En Relatividad
Especial,losconosdeluzerandelaforma:
Figura1:ConosdeluzenRelatividadEspecial
Veremos que en un espacio curvo, la variedad de conos que aparecen es bastante ma´s amplia e
interpretaremos su forma y orientacio´n, ya que variara´n de un punto a otro precisamente por la
curvatura.Loimportanteesqueeltiempodentrodeunconodeluzsiemprevasobrelabisectriz
quepasasobresuve´rtice,porloqueunobservadorenrepososemovera´ enestosdiagramasalo
largodedichabisectriz.
Lamotivacio´nquenosllevaaestudiarestosobjetoseslasiguiente:
• Como hemos mencionado antes, son soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Co-
mo menciona´bamos al principio, el propio Einstein pensaba que no podr´ıan obtenerse de
susecuacionessolucionesexactas.Enconcreto,lasqueestudiaremosaqu´ıpresentanmucha
simetr´ıa.
• Esta simetr´ıa es la que hace que se puedan obtener de una forma relativamente sencilla y
siguiendoelprocesopresentadoaqu´ı.
• Histo´ricamente,hanresueltoproblemasquelaGravitacio´nUniversaldeNewtonnopod´ıa,
comolaprecesio´ndelperiheliodeMercurioydancorreccionesdeordensuperioralastra-
yectoriaspredichasporNewton.
• Unadeellasesposiblequerepresentenuestrouniversoenelfuturo:setratadelasolucio´n
deDe-Sitter.
• Han cambiado nuestra forma de entender el espacio el tiempo, haciendo que ambos sean
dina´micoseintercambiablesynomerosespectadorescomoloeranparalameca´nicanewto-
niana.
8 CONCLUSIONESFINALES 48
8. Conclusiones finales
Enesteproyectohemosvistodiferentestiposdeagujerosnegros,cadaunoconsuspeculiaridades.
AlcomienzovimoslaestructuradelagujeronegrodeSchwarzschild,quepresentabaunasingula-
ridadf´ısicaprotegidaconunhorizontedesucesos,elcualactuabacomomembranaunidireccional
paralasinfluenciascausales.Enlascoordenadasavanzadasvimosquelasingularidadsesituaba
enelfuturodetodoobservadorqueseadentrasehaciaelhorizonte,deformaquelasinfluencias
causalesnopod´ıansalirdelasingularidadhaciaelrestodeluniverso.Sinembargo,enlasretra-
sadas vimos que esa singularidad se situaba en el pasado de todo observador, de forma que las
influenciascausalespod´ıansalirdelasingularidadperonoentrar.Estecomportamientotandife-
renteeradebidoaqueconcadaunadelascoordenadasesta´bamosviendounapartediferentede
lavariedaddiferencial.
Posteriormente,hicimoslaextensio´nnaturaldelagujeronegroanterior,queeraan˜adirleunacarga
ele´ctricano trivial. Estocambio´ porcompleto lasolucio´n existiendo,dependiendo dela relacio´n
entre la masa y la carga, uno o dos horizontes que proteg´ıan una singularidad muy diferente.
En este caso era evitable y no estaba necesariamente en el futuro de todo observador sino en
un lugar del espacio, aunque se pod´ıa llegar a ella siguiendo trayectorias no geode´sicas. Si el
observadorsedejaballevarporlagravedad,descubrimosquellegaunpuntoenele´stasevuelve
repulsiva pudiendo volver de nuevo a cruzar los horizontes y volver a salir a una nueva zona
asinto´ticamenteplana.
Acontinuacio´nestudiamosdosespaciossolucionesdelvac´ıodelaaccio´ndeEinstein-Hilbertcon
constante cosmolo´gica, que pod´ıa interpretarse como la densidad de energ´ıa del vac´ıo. Uno de
ellos,elespaciodeDeSitter,pose´ıaunaconstantecosmolo´gicapositivayrepresentabaununiverso
en expansio´n o contraccio´n exponencial. Era un espacio iso´tropo, en el que cada observador se
pod´ıacreerenreposoyversupropiohorizontecosmolo´gico,unazonadecorrimientoinfinitoal
rojoquecualquiercosaquelaatravesase,perder´ıacontactocausalparasiempreconelobservador
de referencia en el caso de la expansio´n y una zona de la cual surg´ıan los objetos que no ten´ıan
contactocausalconesteobservadorparaestarloenelcasodelacontraccio´n.Elespaciodeanti-De
Sitter,pose´ıaunvalornegativodelaconstantecosmolo´gicaynopresentabahorizontesdeningu´n
tipo,nicosmolo´giconidesucesos.Lacaracter´ısticaquedefin´ıaaesteespacioeralaexistenciade
geode´sicasperio´dicas,tantonulascomotemporales.Mientrasquelasnulasllegabanenuntiempo
finitoalinfinito,lastemporalesnoerancapazdehacerlo,debidoaquesuamplituddepend´ıade
suenerg´ıaysenecesitabaunaenerg´ıainfinitaparaquepudiesenllegar.
Laextensio´nnaturaldeestosespacios,yma´ssencilla,esan˜adirunagujeronegro.EnelcasodeDe
Sitter,dabalugaradostiposdesoluciones,unacondoshorizontesenlacualten´ıamosunaparte
quecorrespond´ıaapuroSchwarzschildyotraapuroDeSitterseparadasporunaregio´ncentral
delimitada por un horizonte de sucesos en la parte ma´s cercana a Schwarzschild y un horizonte
cosmolo´gico en la zona ma´s pro´xima a De Sitter. Este horizonte cosmolo´gico no era absoluto, al
igualqueenDeSitter,sinoquedepend´ıadelobservador,yaquelejosdelagujeronegro,elespacio
esiso´tropoviendotodaslascaracter´ısticasdeDeSitter.Laotrasolucio´n,pose´ıaunu´nicohorizonte
degenerado, ya que nuestras coordenadas eran las de un observador que se situaba justo en el
horizonteyesohac´ıaquenofuesenmuyfiables.Dichoobservadorenunascoordenadas,veque
todo cae a la singularidad que es de tipo espacial, por situarse en el futuro de todo observador
cayente. En las otras coordenadas, todo se ve´ıa empujado hacia la zona de De Sitter y, como la
gravedaddecaecomoelcuadradodeladistancia,enesazonaesdespreciableycadaobservador
49 8 CONCLUSIONESFINALES
sepuedecreerenreposoviendounhorizontecosmolo´gico.
Finalmente,alan˜adirelagujeronegroenelespaciodeDeSitter,ten´ıamosunhorizontedesucesos,
que proteg´ıa una singularidad espacial, y una zona que asinto´ticamente era el espacio de anti-
De Sitter, en el que las geode´sicas eran asinto´ticamente perio´dicas, ya que la parte que no lo era
decrecemuyra´pidamenteunavezfueradelhorizonte.
Entodoesteproyectohemosrepetidoelmismoprocesoparaencontrarlasolucio´n,esdecir,par-
tir de un Ansatz para la me´trica que reflejase todas las caracter´ısticas que busca´bamos (simetr´ıa
esfe´rica y estaticidad) e insertarlo en las ecuaciones de Einstein. Pero existen muchas soluciones
quenosondeestetipo,eselcasodelagujeronegrodeKerr,quenoesesfe´ricamentesime´triconi
esta´tico,locualhacequeelprocedimientoparaencontrarlame´tricaquelodescribeseadiferente
al presentado aqu´ı. Esperamos en an˜os sucesivos desarrollar los me´todos que permiten llegar a
estetipodesolucionesalaparqueemplearherramientasmatema´ticasma´ssofisticadasparaes-
tudiarlaestructuracausaldeestosespaciosdeformama´ssencilla,comolosonlosdiagramasde
Penrose.
REFERENCIAS 50
9. Bibliograf´ıa
Referencias
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