Table Of ContentError-correcting codes and cryptology
Ruud Pellikaan 1,
Xin-Wen Wu 2,
Stanislav Bulygin 3 and
Relinde Jurrius 4
PRELIMINARY VERSION
23 January 2012
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lands
2
Contents
1 Introduction 11
1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Error-correcting codes 13
2.1 Block codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Repetition, product and Hamming codes. . . . . . . . . . 15
2.1.2 Codes and Hamming distance . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Linear Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Linear codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Generator matrix and systematic encoding . . . . . . . . 22
2.2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Parity checks and dual code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Parity check matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Hamming and simplex codes . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Inner product and dual codes . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Decoding and the error probability . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Decoding problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Symmetric channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Equivalent codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Number of generator matrices and codes . . . . . . . . . . 38
2.5.2 Isometries and equivalent codes . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Code constructions and bounds 47
3.1 Code constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Constructing shorter and longer codes . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Product codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Several sum constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.4 Concatenated codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Bounds on codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Singleton bound and MDS codes . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 Griesmer bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Hamming bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3
4 CONTENTS
3.2.4 Plotkin bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5 Gilbert and Varshamov bounds . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Asymptotically good codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Asymptotic Gibert-Varshamov bound . . . . . . . . . . . 74
3.3.2 Some results for the generic case . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Weight enumerator 79
4.1 Weight enumerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Weight spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Average weight enumerator . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.3 MacWilliams identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Error probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.1 Error probability of undetected error . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 Probability of decoding error . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.3 Random coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Finite geometry and codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1 Projective space and projective systems . . . . . . . . . . 90
4.3.2 MDS codes and points in general position . . . . . . . . . 95
4.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Extended weight enumerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.1 Arrangements of hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Weight distribution of MDS codes . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.3 Extended weight enumerator . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.4 Puncturing and shortening . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Generalized weight enumerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5.1 Generalized Hamming weights . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5.2 Generalized weight enumerators. . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.3 Generalized weight enumerators of MDS-codes . . . . . . 115
4.5.4 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Codes and related structures 123
5.1 Graphs and codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 Colorings of a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.2 Codes on graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Matroids and codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2 Realizable matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.3 Graphs and matroids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.4 Tutte and Whitney polynomial of a matroid . . . . . . . . 131
5.2.5 Weight enumerator and Tutte polynomial . . . . . . . . . 132
5.2.6 Deletion and contraction of matroids . . . . . . . . . . . . 133
CONTENTS 5
5.2.7 McWilliams type property for duality . . . . . . . . . . . 134
5.2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Geometric lattices and codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.1 Posets, the M¨obius function and lattices . . . . . . . . . . 136
5.3.2 Geometric lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.3 Geometric lattices and matroids . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4 Characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.1 Characteristic and M¨obius polynomial . . . . . . . . . . . 146
5.4.2 Characteristic polynomial of an arrangement . . . . . . . 148
5.4.3 Characteristic polynomial of a code . . . . . . . . . . . . 150
5.4.4 Minimal codewords and subcodes . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4.5 Two variable zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.6 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5 Combinatorics and codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5.1 Orthogonal arrays and codes . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5.2 Designs and codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6 Complexity and decoding 165
6.1 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1 Big-Oh notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1.3 Hard problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2 Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.1 Decoding complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2 Decoding erasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2.3 Information and covering set decoding . . . . . . . . . . . 177
6.2.4 Nearest neighbor decoding. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.3 Difficult problems in coding theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.3.1 General decoding and computing minimum distance . . . 184
6.3.2 Is decoding up to half the minimum distance hard? . . . . 187
6.3.3 Other hard problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7 Cyclic codes 189
7.1 Cyclic codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1.1 Definition of cyclic codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1.2 Cyclic codes as ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1.3 Generator polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.4 Encoding cyclic codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1.5 Reversible codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.1.6 Parity check polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.2 Defining zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2.1 Structure of finite fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6 CONTENTS
7.2.2 Minimal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2.3 Cyclotomic polynomials and cosets . . . . . . . . . . . . . 206
7.2.4 Zeros of the generator polynomial . . . . . . . . . . . . . 211
7.2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.3 Bounds on the minimum distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3.1 BCH bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3.2 Quadratic residue codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.3.3 Hamming, simplex and Golay codes as cyclic codes . . . . 217
7.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4 Improvements of the BCH bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4.1 Hartmann-Tzeng bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4.2 Roos bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.4.3 AB bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.4.4 Shift bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.5 Locator polynomials and decoding cyclic codes . . . . . . . . . . 229
7.5.1 Mattson-Solomon polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.5.2 Newton identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.5.3 APGZ algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.5.4 Closed formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.5.5 Key equation and Forney’s formula . . . . . . . . . . . . . 235
7.5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8 Polynomial codes 241
8.1 RS codes and their generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.1 Reed-Solomon codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.2 Extended and generalized RS codes . . . . . . . . . . . . 243
8.1.3 GRS codes under transformations . . . . . . . . . . . . . 247
8.1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2 Subfield and trace codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.2.1 Restriction and extension by scalars . . . . . . . . . . . . 251
8.2.2 Parity check matrix of a restricted code . . . . . . . . . . 252
8.2.3 Invariant subspaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.2.4 Cyclic codes as subfield subcodes . . . . . . . . . . . . . . 257
8.2.5 Trace codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.3 Some families of polynomial codes . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.3.1 Alternant codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.3.2 Goppa codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.3.3 Counting polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.4 Reed-Muller codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.4.1 Punctured Reed-Muller codes as cyclic codes . . . . . . . 266
8.4.2 Reed-Muller codes as subfield subcodes and trace codes . 267
8.4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
CONTENTS 7
9 Algebraic decoding 271
9.1 Error-correcting pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.1.1 Decoding by error-correcting pairs . . . . . . . . . . . . . 271
9.1.2 Existence of error-correcting pairs . . . . . . . . . . . . . 275
9.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.2 Decoding by key equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2.1 Algorithm of Euclid-Sugiyama . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2.2 Algorithm of Berlekamp-Massey . . . . . . . . . . . . . . 278
9.2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3 List decoding by Sudan’s algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3.1 Error-correcting capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.2 Sudan’s algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.3.3 List decoding of Reed-Solomon codes. . . . . . . . . . . . 287
9.3.4 List Decoding of Reed-Muller codes . . . . . . . . . . . . 291
9.3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10 Cryptography 295
10.1 Symmetric cryptography and block ciphers . . . . . . . . . . . . 295
10.1.1 Symmetric cryptography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.1.2 Block ciphers. Simple examples . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.1.3 Security issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.1.4 Modern ciphers. DES and AES . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.2 Asymmetric cryptosystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.2.1 RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.2.2 Discrete logarithm problem and public-key cryptography 314
10.2.3 Some other asymmetric cryptosystems . . . . . . . . . . . 316
10.2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3 Authentication, orthogonal arrays, and codes . . . . . . . . . . . 317
10.3.1 Authentication codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3.2 Authentication codes and other combinatorial objects . . 321
10.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.4 Secret sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
10.5 Basics of stream ciphers. Linear feedback shift registers . . . . . 329
10.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
10.6 PKC systems using error-correcting codes . . . . . . . . . . . . . 335
10.6.1 McEliece encryption scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.6.2 Niederreiter’s encryption scheme . . . . . . . . . . . . . . 338
10.6.3 Attacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.6.4 The attack of Sidelnikov and Shestakov . . . . . . . . . . 343
10.6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.7.1 Section 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.7.2 Section 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
10.7.3 Section 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
10.7.4 Section 10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
10.7.5 Section 10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.7.6 Section 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8 CONTENTS
11 The theory of Gr¨obner bases and its applications 351
11.1 Polynomial system solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.1.1 Linearization techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.1.2 Gr¨obner bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
11.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11.2 Decoding codes with Gr¨obner bases. . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.2.1 Cooper’s philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.2.2 Newton identities based method . . . . . . . . . . . . . . 368
11.2.3 Decoding arbitrary linear codes . . . . . . . . . . . . . . . 371
11.2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
11.3 Algebraic cryptanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.3.1 Toy example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.3.2 Writing down equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.3.3 General S-Boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12 Coding theory with computer algebra packages 381
12.1 Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.2 Magma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
12.2.1 Linear codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
12.2.2 AG-codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
12.2.3 Algebraic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
12.3 GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
12.4 Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
12.4.1 Coding Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
12.4.2 Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.4.3 Algebraic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.5 Coding with computer algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.5.2 Error-correcting codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.5.3 Code constructions and bounds . . . . . . . . . . . . . . . 392
12.5.4 Weight enumerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
12.5.5 Codes and related structures . . . . . . . . . . . . . . . . 397
12.5.6 Complexity and decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
12.5.7 Cyclic codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
12.5.8 Polynomial codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
12.5.9 Algebraic decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
13 B´ezout’s theorem and codes on plane curves 403
13.1 Affine and projective space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
13.2 Plane curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
13.3 B´ezout’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
13.3.1 Another proof of Bezout’s theorem by the footprint . . . 413
13.4 Codes on plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
13.5 Conics, arcs and Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.6 Qubic plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.6.1 Elliptic cuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.6.2 The addition law on elliptic curves . . . . . . . . . . . . . 414
13.6.3 Number of rational points on an elliptic curve . . . . . . . 414
CONTENTS 9
13.6.4 The discrete logarithm on elliptic curves . . . . . . . . . . 414
13.7 Quartic plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.7.1 Flexes and bitangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.7.2 The Klein quartic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.8 Divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.9 Differentials on a curve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
13.10The Riemann-Roch theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
13.11Codes from algebraic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
13.12Rational functions and divisors on plane curves . . . . . . . . . . 424
13.13Resolution or normalization of curves. . . . . . . . . . . . . . . . 424
13.14Newton polygon of plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
13.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
14 Curves 427
14.1 Algebraic varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.2 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.3 Curves and function fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.4 Normal rational curves and Segre’s problems . . . . . . . . . . . 428
14.5 The number of rational points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.1 Zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.2 Hasse-Weil bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.3 Serre’s bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.4 Ihara’s bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.5 Drinfeld-Vl˘adu¸t bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.6 Explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.5.7 Oesterl´e’s bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.6 Trace codes and curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.7 Good curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.7.1 Maximal curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.7.2 Shimura modular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.7.3 Drinfeld modular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.7.4 Tsfasman-Vl˘adu¸t-Zink bound . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.7.5 Towers of Garcia-Stichtenoth . . . . . . . . . . . . . . . . 428
14.8 Applications of AG codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
14.8.1 McEliece crypto system with AG codes . . . . . . . . . . 429
14.8.2 Authentication codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
14.8.3 Fast multiplication in finite fields . . . . . . . . . . . . . . 431
14.8.4 Correlation sequences and pseudo random sequences . . . 431
14.8.5 Quantum codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
14.8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
14.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
10 CONTENTS
