équations linéaires affines à un pas 1.1. Équations linéaires affines à un pas. Définition. Soie

24 Pages·2012·0.21 MB·French

MODÉLISATION ET SIMULATION
EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)
1. Rappels théoriques : équations linéaires
affines à un pas
1.1. Équations linéaires affines à un pas.
Définition. Soient a ∈ R, a (cid:54)= 0 et b ∈ R deux constants.
L’équation
(1) x(k + 1) = ax(k) + b
est appelée équation affine aux différences linéaire, d’ordre 1
et à coefficients constants.
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1.2. Équations linéaires affines à un pas (II).
Théorème. Pour chaque valeurs initiale x0 l’équation (1)
a une solution unique. La forme analytique de la solution
dépend du coefficient a :
(1) Si a = 1 alors
x(k) = x(0) + kb
et
(a) si b (cid:54)= 0 il n’existe aucun équilibre et toutes les
trajectoires sont divergentes.
(b) si b = 0 toutes les valeurs de x sont des valeurs
d’équilibre et toutes les trajectoires sont constantes.
(2) Si a (cid:54)= 1 alors
x(k) = (x0 − α)ak + α
où x¯ = α = b/(1−a) est le seul équilibre. Notons que
(a) si |a| < 1 toutes les trajectoires convergent vers α.
(b) si |a| > 1 toutes les trajectoires sont divergentes
(à part celle constante si x0 = α)
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(c) si a = −1 alors l’équilibre est α = b/2 et toutes les
solutions sont oscillantes autour de cet équilibre (à
part celle constante pour x0 = α = b/2).
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1.3. Représentation graphique : linéaire d’ordre 1,
a = 1,b > 0.
x(k+1)
x(0) x(1) x(2) x(3)
x(k)
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1.4. Représentation graphique : linéaire d’ordre 1,
a < 1,b > 0.
x(k+1)
x(0) x(1) x(2) b/(1−a)
x(k)
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1.5. Représentation graphique : linéaire d’ordre 1,
a = −1,b > 0.
x(k+1)
b/a
x(0)
x(k)
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2. Rappels théoriques : systèmes non-linéaires
2.1. Systèmes discrets non-linéaires d’ordre 1. Consi-
dérons un système discret autonome d’ordre 1 dont la dyna-
mique est décrite par
x(k + 1) = f(x(k))
où f ∈ C∞ et x(k) ∈ I ⊂ R. Dénotons ce système par le
couple {f,I}.
Nous dénotons l’orbite de x(0) par
x(1) = f(x(0))
x(2) = f(x(1)) = f(f(x(0))) = f2(x(0))
...
x(k) = f(x(k − 1)) = f(f(...(f(x(0))))) = fk(x(0))
N.B. : fk(·) dénote la valeur de x après la kème itération.
Donc
x(k) = fk(x(0)) (cid:54)= (f(x(0)))k (cid:54)= f(k)(x(0))
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2.2. Représentation graphique : non-linéaire d’ordre
1.
f(x)
x(4)
x(0) x(1) x(2)
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2.3. Etats d’équilibre. Comme dans le cas à temps continu,
les points fixes où états d’équilibre jouent un rôle important
dans la description de la dynamique
Définition. L’état x¯ est un état d’équilibre (ou point fixe)
du système {f,I} si
x¯ = f(x¯)
D’un point de vue géométrique les points d’équilibre sont
les intersections sur le plan x,y entre la fonction y = f(x) et
la droite y = x.
Théorème. Soit I = [a,b] un intervalle clos et borné et
f : I → I une fonction continue. Alors il existe toujours un
point d’équilibre x¯ tel que f(x¯) = x¯.
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2.4. Exemple. Le système à temps discret
x(k + 1) = x(k)3
a les points fixes
x¯ = 0, x¯ = 1, x¯ = −1
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