Table Of ContentTh(cid:18)ese
Pr(cid:19)esent(cid:19)ee par
Fabienne NAEGELE
pour obtenir le grade de Docteur
de l’Institut National Polytechnique de Grenoble
(Arr^et(cid:19)e minist(cid:19)eriel du 30 mars 1992)
Sp(cid:19)ecialit(cid:19)e: Math(cid:19)ematiques Appliqu(cid:19)ees
Autour de quelques (cid:19)equations fonctionnelles analytiques
Date de soutenance : 15 d(cid:19)ecembre 1995
Composition du jury : Pr(cid:19)esident : Werner Balser
Rapporteurs : Anne Duval
Manuel Bronstein
Examinateurs : Jean-Pierre Ramis
Jean Della-Dora
Th(cid:18)ese pr(cid:19)epar(cid:19)ee au sein du Laboratoire de Mod(cid:19)elisation et Calcul de Grenoble.
1
2
Je tiens ici (cid:18)a remercier tr(cid:18)es chaleureusement toutes les personnes que j’ai ren-
contr(cid:19)ees au cours des derni(cid:18)eres ann(cid:19)ees et qui m’ont soutenue, tant par l’int(cid:19)er^et
qu’elles ont manifest(cid:19)e pour mon travail que par leur gentillesse. Je pense notam-
ment (cid:18)a tous les Grenoblois et Strasbourgeois, ainsi qu’(cid:18)a tous les membres du groupe
CATHODE.
J’aimerais exprimer plus particuli(cid:18)erement ma gratitude (cid:18)a Jean DELLA-DORA,
mon directeur de th(cid:18)ese, ainsi qu’a(cid:18) Jean-Pierre RAMIS, lequel a accept(cid:19)e de co-diriger
cette th(cid:18)ese, pourm’avoir propos(cid:19)eun sujet aussi int(cid:19)eressant que vari(cid:19)e et pourm’avoir
fait con(cid:12)ance. Qu’ils en soient vivement remerci(cid:19)es.
Je suis particuli(cid:18)erement (cid:12)(cid:18)ere de pouvoir remercier Anne DUVAL. Elle a accept(cid:19)e
avec gentillesse et sans aucune h(cid:19)esitation de faire un rapport sur ma th(cid:18)ese.
Il en va de m^eme pour Manuel BRONSTEIN. Bien que sollicit(cid:19)e de toutes parts,
il a toujours accept(cid:19)e de r(cid:19)epondre a(cid:18) mes questions et c’est un honneur pour moi qu’il
ait fait un rapport sur mon travail.
Quant (cid:18)a Werner BALSER, je n’aurais os(cid:19)e esp(cid:19)erer qu’il fasse partie de mon jury.
J’en suis particuli(cid:18)erement heureuse.
J’ai (cid:19)egalement le plaisir de remercier Fran(cid:24)coise JUNG. Par ses conseils et sa
disponibilit(cid:19)e, elle a su me soutenir quand j’en avais besoin.
Mes pens(cid:19)ees vont a(cid:18) Fr(cid:19)ed(cid:19)eric FAUVET qui a montr(cid:19)e un int(cid:19)er^et manifeste pour
mon travail de recherche et qui a eu la patience de m’(cid:19)eclaircir de nombreux points
math(cid:19)ematiques.
Ma gratitude va (cid:19)egalement (cid:18)a Claire DICRESCENZO, pour sa gentillesse et sa
]
patience. Sans elle, je conna^(cid:16)trais encore moins bien A .
Mes plus vifs remerciements vont (cid:18)a Jean THOMANN. Je suis (cid:12)(cid:18)ere de travailler
avec lui. Il a toujours montr(cid:19)e une patience et une bonne humeur hors du commun.
3
4
Table des mati(cid:18)eres
Introduction :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::7
Chapitre 1
Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices pour les (cid:19)equations q-diff(cid:19)erences-diff(cid:19)erentielles :::::::13
1. Introduction :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::13
2. Op(cid:19)erateurs (cid:18)a indice :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::14
3. Espaces Gevrey g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)es :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 15
4. Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices et de comparaison :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::17
4.1. Op(cid:19)erateurs (cid:19)etudi(cid:19)es ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::17
4.2. Espaces de Banach ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::18
4.3. Les ((cid:26);r;(cid:22);(cid:23))-op(cid:19)erateurs ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::20
4.4. Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::22
4.5. Th(cid:19)eor(cid:18)eme d’indice dansCl [[x]] ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26
4.6. Th(cid:19)eor(cid:18)eme d’indice dansCl x ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::27
f g
4.7. Th(cid:19)eor(cid:18)eme de comparaison :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::27
5. Interpr(cid:19)etation des th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::31
5.1. Polygone de Newton :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::31
5.2. Traduction des th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices en fonction du polygone de Newton :::::::::::33
6. Equations (cid:18)a coe(cid:14)cients polynomiaux ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 34
6.1. Dualit(cid:19)e topologique ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 34
6.2. Etude (cid:18)a l’in(cid:12)ni ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::37
6.3. Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::38
6.4. Estimations de croissance ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::39
Chapitre 2
Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices pour les (cid:19)equations aux diff(cid:19)erences a(cid:18) coefficients polyno-
x
miaux en q :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::45
1. Introduction :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::45
2. Pr(cid:19)eliminaires ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::46
2.1. La fonction Gamma q-analogue ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::46
2.2. La q-int(cid:19)egrale :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::48
3. Transform(cid:19)ee q-Mellin formelle :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::48
3.1. Transform(cid:19)ee q-Mellin formelle d’un op(cid:19)erateur ::::::::::::::::::::::::::::::::::::48
3.2. S(cid:19)eries de q-factorielles :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::49
4. Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices dansCl~q[[t]] ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::53
4.1. Indice dansCl~q[[t]] :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::53
4.2. Indices dans les espaces q-Gevrey ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::55
5. Solutions s(cid:19)eries de q-factorielles formelles :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::58
5.1. Polygone de Newton :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::58
5
5.2. Caract(cid:19)erisation q-Gevrey des s(cid:19)eries de q-factorielles solutions :::::::::::::::::::::59
6. Th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices (s(cid:19)eries de q-factorielles) :::::::::::::::::::::::::::::::::::60
6.1. Indices formels ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::60
6.2. Indices q-Gevrey :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 63
7. Transform(cid:19)ee de q-Laplace formelle :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 64
7.1. D(cid:19)e(cid:12)nitions ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::64
7.2. Solutions formelles :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 66
Chapitre 3
Un algorithme de resommation de s(cid:19)eries formellessolutionsd’(cid:19)equations diff(cid:19)e-
rentielles ordinaires lin(cid:19)eaires ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::69
1. Introduction :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::69
2. R(cid:19)esultats th(cid:19)eoriques ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::70
2.1. Notations :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::70
2.2. La k-sommabilit(cid:19)e et la multisommabilit(cid:19)e :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::71
2.3. M(cid:19)ethode des transform(cid:19)ees de Laplace it(cid:19)er(cid:19)ees (W. Balser) :::::::::::::::::::::::::74
2.4. Polyn^omes d’Ore ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::77
3. Outils formels :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::78
3.1. D(cid:19)e(cid:12)nition du concept de s(cid:19)erie formelle :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::79
3.2. Passage d’une (cid:19)equation aux di(cid:11)(cid:19)erences (cid:18)a une (cid:19)equation di(cid:11)(cid:19)erentielle puis (cid:18)a un syst(cid:18)eme
di(cid:11)(cid:19)erentiel :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::79
3.3. Scindage d’une s(cid:19)erie formelle :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 81
3.4. Transform(cid:19)ee de Borel formelle :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::83
3.5. Transform(cid:19)ees de Borel it(cid:19)er(cid:19)ees ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::84
3.6. L’exemple de Ramis-Sibuya ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::86
4. Prolongement analytique :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::87
4.1. Transform(cid:19)ees de Laplace it(cid:19)er(cid:19)ees ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::87
4.2. Localisation des singularit(cid:19)es :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::88
4.3. Prolongement analytique ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::88
4.4. Logiciel Compas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::89
5. Implantation :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 90
5.1. Primitives :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::90
5.2. Contenu algorithmique ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::97
6. R(cid:19)esultats :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::102
6.1. Equation d’Euler :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::102
6.2. Exemple de 2-sommabilit(cid:19)e ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::104
6.3. Exemple de Ramis-Sibuya ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::105
7. Conclusion ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 106
Bibliographie ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::111
Annexes ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 115
A.1. Convergence des s(cid:19)eries de factorielles q-analogues :::::::::::::::::::::::::::::::117
A.2. Fichiers "source" de l’algorithme de Balser :::::::::::::::::::::::::::::::::::::121
6
Introduction
Lesujetdecetteth(cid:18)eseconcernel’(cid:19)etuded’(cid:19)equationsfonctionnellesanalytiques. Pluspr(cid:19)ecis(cid:19)ement,
nous nous int(cid:19)eressons d’une part aux (cid:19)equations lin(cid:19)eaires alg(cid:19)ebriques q-di(cid:11)(cid:19)erences-di(cid:11)(cid:19)erentielles
pour lesquelles nous (cid:19)etablissons des th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices, ainsi que des estimations de crois-
sance des solutions enti(cid:18)eres de telles (cid:19)equations. Nous nous attachons d’autre part (cid:18)a l’(cid:19)etude
des s(cid:19)eries de factorielles q-analogues solutions d’(cid:19)equations aux di(cid:11)(cid:19)erences (cid:18)a coe(cid:14)cients poly-
x
nomiaux en q , dont nous donnons des estim(cid:19)ees q-Gevrey. En(cid:12)n, nous poursuivons le travail
de stage de DEA sur l’implantation d’un algorithme de multisommation des s(cid:19)eries formelles
solutions d’(cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles lin(cid:19)eaires alg(cid:19)ebriques. Les annexes comprennent d’une part
quelques r(cid:19)esultats sur la convergence des s(cid:19)eries de factorielles q-analogues, d’autre part les
(cid:12)chiers "source" de l’algorithme de Balser.
Nous nous proposons (cid:18)a pr(cid:19)esent de d(cid:19)etailler les principaux r(cid:19)esultats obtenus.
Le premier chapitre de ce rapport traite des op(cid:19)erateurs m(cid:19)elangeant op(cid:19)erateurs di(cid:11)(cid:19)erentiels
et op(cid:19)erateurs aux q-di(cid:11)(cid:19)erences de la forme
I J
d i j
L = ai;j(x)( ) (cid:27)q
i=0j=0 dx
XX
ou(cid:18) les coe(cid:14)cients ai;j(x) sont des s(cid:19)eries formelles; (cid:27)q est l’op(cid:19)erateur qui (cid:18)a la s(cid:19)erie formelle
n n n
n(cid:21)0anx associe la s(cid:19)erie formelle n(cid:21)0anq x , q (cid:19)etant un complexe de module 0 < q < 1.
j j
De tels op(cid:19)erateurs ont (cid:19)et(cid:19)e (cid:19)etudi(cid:19)es auparavant, notamment par W. Hahn [14] qui a cherch(cid:19)e des
P P
solutions analytiques de Ly = 0 lorsque les coe(cid:14)cients ai;j(x) sont constants.
En consid(cid:19)erant les travaux men(cid:19)es par J.-P. Ramis et B. Malgrange concernant les (cid:19)equations
di(cid:11)(cid:19)erentielles ordinaires [27,29,19] et par J.-P. B(cid:19)ezivin sur les (cid:19)equations aux q-di(cid:11)(cid:19)erences [6],
0
nous sommes amen(cid:19)es (cid:18)a d(cid:19)e(cid:12)nir, pour s;s IR, l’espaceCl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)) des s(cid:19)eries
n 2
formelles n(cid:21)0anx dont les coe(cid:14)cients ont une majoration du type
P A > 0; C > 0; n IN; an < C q (cid:0)sn(n2+1)(n!)s0An
9 9 8 2 j j j j
sn(n+1) 0
(resp. A> 0; C > 0; n IN; an < C q (cid:0) 2 (n!)s An).
8 9 8 2 j j j j
La m(cid:19)ethode de (cid:12)ltration par des espaces de Banach [29] et la recherche des op(cid:19)erateurs pr(cid:19)epon-
d(cid:19)erants au sens de la compacit(cid:19)e [29,19,6] se transposent naturellement dans notre cas. Nous
(cid:19)etablissons ainsi le th(cid:19)eor(cid:18)eme :
I J d i j k
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 4.4.8 : Soit L = i=0 j=0ai;j(x)(dx) (cid:27)q, avec ai;j(x) = k(cid:21)0(cid:11)i;j;kx Cl x et
0 0 2 f0 g
q un complexe,0 < q < 1. Soients et s IRtelsque s > 0 ets IR, ou s = 0 et s 0.
P P P
0 j j 2 2 0 (cid:21)
Soient ps(L) = inf(cid:11)i;j;k6=0(j+(k i)s) et M(s) = (i;j;k) (cid:11)i;j;k = 0 et j+(k i)s = ps(L) .
(cid:0) 0 f 0 j 6 (cid:0) 0 g
Soient vs;s0(L) = inf(i;j;k)2M(s)((k i)s i) et N(s;s) = (i;j;k) M(s) (k i)s i =
(cid:0) (cid:0) f 2 j (cid:0) (cid:0)
vs;s0(L) .
g
7
0 0
Si s > 0 et s IR ou si s = 0 et s 0 alors L est un op(cid:19)erateur (cid:18)a indice dans
(cid:15) 2 (cid:21)
Cl [[x]]q;s;s0, d’indice (cid:19)egal (cid:18)a :
0
(cid:31)(L;Cl [[x]]q;s;s0) = inf k i= j;(i;j;k) N(s;s)
(cid:0) f (cid:0) 9 2 g
0 0
Si s > 0 et s IR ou si s = 0 et s > 0 alors L est un op(cid:19)erateur (cid:18)a indice dans
(cid:15) 2
Cl [[x]](q;s;s0), d’indice (cid:19)egal (cid:18)a :
0
(cid:31)(L;Cl [[x]](q;s;s0)) = sup k i= j;(i;j;k) N(s;s)
(cid:0) f (cid:0) 9 2 g
Ces indices peuvent se lire directement sur un polygone de Newton associ(cid:19)e (cid:18)a l’op(cid:19)erateur. dont
les pentes correspondent d’une part aux r(cid:19)eels s pour lesquels il existe (i1;j1;k1) et (i2;j2;k2)
dans M(s) avec k1 i1 = k2 i2 (nous dirons qu’alors s est une valeur exceptionnelle),d’autre
0 (cid:0) 6 (cid:0)
part aux r(cid:19)eels s associ(cid:19)es (cid:18)a une valeur exceptionnelle s tels qu’il existe (i1;j1;k1) et (i2;j2;k2)
0 0
dans N(s;s) avec k1 i1 = k2 i2 (s est dit exceptionnel relativement (cid:18)a s).
(cid:0) 6 (cid:0)
Si les s(cid:19)eries ai;j(x) sont convergentes, nous (cid:19)etablissons le th(cid:19)eor(cid:18)eme suivant :
Th(cid:19)eor(cid:18)eme4.7.9 : Soit L = Ii=0 Jj=0ai;j(x)(ddx)i(cid:27)qj, avec ai;j(x) Cl x . Soient f^ Cl [[x]]
2 f g 2
^
et g Cl x tels que L(f) =Pg. APlors :
2 f g
Soit f^ Cl x ,
(cid:15) 2 f g
Soit il existe un unique r(cid:19)eel s0 > 0 tel que f^ Cl [[x]]q;0;s0 et f^ =Cl [[x]](q;0;s0); on dit
(cid:15) que f^ est Gevrey d’ordre exact s0, 2 2
Soit il existe un unique r(cid:19)eel s > 0 et un unique r(cid:19)eel s0 IR tels que f^ Cl [[x]]q;s;s0
(cid:15) et f^ =Cl [[x]](q;s;s0); on dit alors que f^ est q-Gevrey d’or2dres exacts s e2t s0.
2
Les th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices pour les op(cid:19)erateurs (cid:18)a coe(cid:14)cients polynomiaux s’(cid:19)etendent par dualit(cid:19)e
et par passage (cid:18)a l’in(cid:12)ni.
Th(cid:19)eor(cid:18)emes 6.3.2 et 6.4.2 : Soit L un op(cid:19)erateur (cid:18)a coe(cid:14)cients polynomiaux
I J K
k d i j
L = (cid:11)i;j;kx ( ) (cid:27)q
i=0j=0k=0 dx
XXX
avec 0 < q < 1. Soient f A(Cl ) une fonction enti(cid:18)ere et g un polyno^me tels que
j j 2
L(f) = g. Alors :
Soit f est un polyn^ome,
(cid:15)
0
Soit il existe un unique r(cid:19)eel s < 0 tel que f Cl [[x]]q;0;s0 et f =Cl [[x]](q;0;s0). De
(cid:15) 2(cid:0)1=s0 2
plus, il existe C;(cid:11) > 0 tels que f(x) < Cexp((cid:11)r ) (r = x ),
j j j j
0
Soit il existe un unique r(cid:19)eel s < 0 et un unique r(cid:19)eel s IR tels que f Cl [[x]]q;s;s0
(cid:15) et f = Cl [[x]](q;s;s0). Il existe alors C,(cid:11) > 0 tels que2f(x) < Cexp(2k21 ln2(r) +
0 2 j j
k1s ln(r)ln ln(r) +(cid:11)ln(r)) (r = x ).
j j j j
8
Dans le second chapitre, nous (cid:19)etudions les (cid:19)equations aux di(cid:11)(cid:19)erences dont les coe(cid:14)cients sont
x
des polyn^omes en q . Ces (cid:19)equations apparaissent dans le travail de W. Hahn [14].
x(cid:0)1
Consid(cid:19)erons la transform(cid:19)ee int(cid:19)egrale formelle f(x) = Ct F(t)dt. Formellement, (cid:28)f(x) =
x(cid:0)1 x(cid:0)1 x(cid:0)1 d x
f(x + 1) = C t tF(t)dt; xf(x) = C xt F(t)dRt = C t ( tdt)F(t)dt et q f(x) =
x(cid:0)1 (cid:2) (cid:0)
C t (cid:27)pFR(t)dt: R R
(cid:2)
R
d
A. Barkatou et A. Duval [5] ont utilis(cid:19)e l’isomorphismeCl [(cid:28);x] Cl [t; tdt] d(cid:19)e(cid:12)ni par (cid:28) t et
d ! (cid:0) 7!
x tdt et les th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices (cid:19)etablis dans le cas di(cid:11)(cid:19)erentiel pour obtenir des th(cid:19)eor(cid:18)emes
7! (cid:0)
d’indices pour des op(cid:19)erateurs deCl [(cid:28);x] agissant sur les s(cid:19)eries formelles de factorielles.
x
Nous consid(cid:19)erons la transform(cid:19)ee de Mellin q-analogue, c’est-(cid:18)a-dire l’isomorphismeCl [(cid:28);q ]
x !
Cl [t;(cid:27)p] d(cid:19)e(cid:12)ni par (cid:28) t et q (cid:27)p. Le bon espace des s(cid:19)eries formelles stables par l’action
x 7! 7! (cid:0)q(x)
deCl [(cid:28);q ] est celui des s(cid:19)eries q-factorielles g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)ees n(cid:21)0 (cid:0)q(x+(cid:26)+n+1) ou(cid:18) (cid:26) Cl ((cid:0)q est la
2
fonction Gamma q-analogue). La transform(cid:19)ee q-Mellin fPormelle que nous avons (cid:19)et(cid:19)e amen(cid:19)es (cid:18)a
d(cid:19)e(cid:12)nir pour une telle s(cid:19)erie est :
D(cid:19)e(cid:12)nition 3.2.4 : La transform(cid:19)eeq-Mellin formelled’une s(cid:19)erie formellede q-factori-
elles g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)ees est la s(cid:19)erie formelle
IMq(f^q)(t) = an (tq;q)1 = (tq;q)1 an (tq(cid:26)+1;q)n
n+1+(cid:26) (cid:26)+1
n(cid:21)0 (cid:0)q(n+1+(cid:26))(tq ;q)1 (tq ;q)1 n(cid:21)0 (cid:0)q(n+1+(cid:26))
X X
(cid:26)+1 (cid:26)+1 (cid:26)+2 (cid:26)+n 2
ou(cid:18) (tq ;q)n = (1 tq )(1 tq ):::(1 tq ) et (a;q)1 = (1 a)(1 aq)(1 aq ):::
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
pour q < 1.
j j
Nous v(cid:19)eri(cid:12)ons que
^
Proposition 3.2.6 : Si fq est une s(cid:19)erie formelle de q-factorielles g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)ees alors
pour tout op(cid:19)erateur (cid:1)q Cl [qx;(cid:28)], IMq((cid:1)q(f^q)) = IMq((cid:1)q)IMq(f^q):
2
Cette propri(cid:19)et(cid:19)e de commutativit(cid:19)e nous permet de nous ramener (cid:18)a des (cid:19)equations polynomi-
ales aux p-di(cid:11)(cid:19)erences agissant sur les s(cid:19)eries formelles en (tq;q)n, not(cid:19)eesCl~q[[t]], pour lesquels
nous (cid:19)etablissons des th(cid:19)eor(cid:18)emes d’indices par l’isomorphismeCl~q[[t]] Cl [[v]] qui (cid:18)a (tq;q)n as-
n (cid:0)1 ! 1 1
sociev etparl’isomorphisme[t;(cid:27)p] [v;v ;(cid:27)p]d(cid:19)e(cid:12)nipart p(1 v)(cid:27)p et(cid:27)p (cid:27)p+v v(cid:27)p.
! 7! (cid:0) 7! (cid:0)
x
Nous pouvons (cid:19)egalement d(cid:19)e(cid:12)nir un polygone de Newton associ(cid:19)e (cid:18)a un op(cid:19)erateur deCl [(cid:28);q ].
(cid:0)q(x)
Nous dirons que la s(cid:19)erie de q-factorielles n(cid:21)1an(cid:0)q(x+n) est q-Gevrey d’ordre s IR s’il existe
sn(n+1) 2
C;A > 0 tels que n IN; an+1 < C(cid:0)q(Pn+1) q (cid:0) 2 An.
8 2 j j j j
x
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 5.2.3 : Soient (cid:1)q Cl [q ;(cid:28)] et g^q une s(cid:19)erie de q-factorielles q-Gevrey
2(cid:0)q(x)
d’ordre 0. Soit f^q = n(cid:21)1an(cid:0)q(x+n) solution de (cid:1)qf^q = g^q. Alors f^q est q-Gevrey
d’ordre 0 ou il existe uPn unique r(cid:19)eel s > 0 tel que f^q est q-Gevrey d’ordre s optimal
(s est l’inverse de l’une des pentes du polygone de Newton associ(cid:19)e (cid:18)a (cid:1)q).
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Les th(cid:19)eor(cid:18)emesd’indicesquenous obtenons sontdes q-analogues deceux(cid:19)etablis parA.Barkatou
et A. Duval.
Letroisi(cid:18)emechapitred(cid:19)ecritunalgorithmederesommationdes s(cid:19)eriesformellessolutions d’(cid:19)equa-
tions di(cid:11)(cid:19)erentielles lin(cid:19)eaires ordinaires au voisinage d’une singularit(cid:19)e irr(cid:19)eguli(cid:18)ere, suppos(cid:19)ee (cid:18)a
l’origine. Nous transformons la m(cid:19)ethode des transform(cid:19)ees de Borel-Laplace it(cid:19)er(cid:19)ees propos(cid:19)ee
par W. Balser en un algorithme formel-num(cid:19)erique de calcul e(cid:11)ectif de la somme de s(cid:19)eries mul-
tisommables.
L’algorithme repose sur les trois th(cid:19)eor(cid:18)emes suivants.
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 2.3.3 (W. Balser) : Soit f^ une s(cid:19)erie (k1;:::;kr)-sommable. Soit d une
direction non singuli(cid:18)ere. Soient (cid:20)1;:::;(cid:20)r > 0 d(cid:19)e(cid:12)nis par 1=(cid:20)1 = 1=k1 et 1=(cid:20)j =
1=kj 1=kj(cid:0)1, j = 2;:::;r. La somme de f^ dans la direction d est (cid:19)egale (cid:18)a
(cid:0)
L(cid:20)1:d:::L(cid:20)r:dSB^(cid:20)r :::B^(cid:20)1f^
ou(cid:18) :d est le prolongement analytique le long de d, S est la sommede la s(cid:19)erie formelle
(cid:21)(cid:0)(cid:20)
convergente, B^(cid:20) est la transform(cid:19)ee de Borel formelle d’ordre (cid:20) (B^(cid:20)(x(cid:21))((cid:24)) = (cid:24) (cid:21) ) et
(cid:0)((cid:20))
t (cid:20) (cid:20)
L(cid:20) est la transform(cid:19)ee de Laplace d’ordre (cid:20) (L(cid:20)(f)(x) = df(t)exp( (x) )d(t )).
(cid:0)
R
D(cid:19)e(cid:12)nition 2.3.4 : Soient (cid:20)1;:::;(cid:20)r > 0. Soient k1 > ::: > kr d(cid:19)e(cid:12)nis successivement
par 1=k1 = 1=(cid:20)1 et
1 1 1
= + ; l = 2;:::;r
kl (cid:20)l kl(cid:0)1
Une s(cid:19)erie formelle est ((cid:20)1;:::;(cid:20)r) iL sommable si elle est (k1;:::;kr)-sommable.
(cid:0)
(cid:3)
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 3.3.1 : Supposons que f^(x) est ((cid:20)1;:::;(cid:20)r) iL sommable. Soient (cid:11) IN
et f^0(x);:::;f^(cid:11)(cid:0)1(x) les (cid:11) sous-s(cid:19)eries. (cid:0) 2
Alors chaque sous-s(cid:19)erie f^q(x) est ((cid:20)1=(cid:11);:::;(cid:20)r=(cid:11)) iL sommable. De plus, si d IR
(cid:0) 2
est tel que d;d + (cid:18);:::;d + ((cid:11) 1)(cid:18) sont des directions non singuli(cid:18)eres pour f^(x)
(cid:0)
((cid:18) = 2(cid:25)=(cid:11)), alors (cid:11)d est une direction non singuli(cid:18)ere pour les sous-s(cid:19)eries. Dans un
secteur bissect(cid:19)e par d, la somme f(x) de f^(x) est (cid:19)egale (cid:18)a
(cid:11) (cid:11) (cid:11)(cid:0)1 (cid:11)
f(x) = (a0+f0(x ))+x(a1 +f1(x ))+ +x (a(cid:11)(cid:0)1 +f(cid:11)(cid:0)1(x ))
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 3.4.1 : Soient (cid:20)1;:::;(cid:20)r > 0 avec (cid:20)1 = 1=(cid:12)1, (cid:12)1 IN.
2
Si g^(x) est ((cid:20)1;:::;(cid:20)r) iL sommable dans la direction d alors la transform(cid:19)ee de
(cid:0)
Borel formelle B^1=(cid:12)1(g^) est ((cid:20)2;:::;(cid:20)r) iL sommable dans la direction d.
(cid:0)
Nous d(cid:19)etaillons l’algorithme pour une s(cid:19)erie f^(x) ((cid:20)1;(cid:20)2) iL sommable, avec (cid:20)1 = (cid:11)(cid:12)11 et
(cid:20)2 (cid:11)2 (cid:0)
(cid:11)1 = (cid:12)2. Les directions d de resommation autoris(cid:19)ees par l’algorithme sont les directions non
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