Table Of ContentE.Q. Orucov
TƏTBİQİ FUNKSİONAL ANALİZİN
ELEMENTLƏRİ
Bakı – 2008
3
Elmi redaktor: BDU-nun “Tətbiqi riyaziyyat”
kafedrasının müdiri, AMEA-nın
akademiki Qasımov M.G.
Rəyçilər: fizika-riyaziyyat elmləri doktoru,
professor İsgəndərov N.Ş.
fizika-riyaziyyat elmləri doktoru,
dosent Nəbiyev İ.M.
Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional
analizin elementləri: Bakı “BDU nəşriyyatı”, 2008,
234 səh.
Dərs vəsaiti “Riyaziyyat”, “Tətbiqi riyaziyyat”, “İqtisadi
kibernetika” və “Fizika” ixtisasları üzrə təhsil alan tələbələr və
“Funksional analiz”, “Tətbiqi funksional analiz”, “Adi diferensial
operatorların spektral nəzəriyyəsi”, “Riyazi fizikanın tərs
məsələləri” fənlərini tədris edən müəllimlər üçün nəzərdə
tutulmuşdur. Bunula yanaşı vəsaitdə metrik, normalı, Banax və
Hilbert fəzalarının ümumi nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarının geniş
təhlili verildiyindən, bu fəzalarda klassik və müasir funksional
analiz metodları və onların tətbiqləri ətraflı təhlil edilərək
öyrənildiyindən o, fiziki, texniki, iqtisadi, idarəetmə və
tənzimləmə məsələlərinin həlli zamanı müasir riyazi-informativ
üsulları tətbiq etmək üçün tətbiqi riyaziyyatçılar və mühəndislər
tərəfindən də istifadə edilə bilər.
4
Mündəricat
Giriş.......................................................................................6
I FƏSİL
METRİK VƏ XƏTTİ NORMALI FƏZALAR
§1. Cəmlər və inteqrallar üçün Hölder və Minkovski
bərabərsizlikləri...............................................................8
§2. Metrik fəzalar................................................................13
§3. Metrik fəzalarda kompakt çoxluqlar.............................25
§4. Dolu metrik fəza haqqında Ber teoremi........................29
§5. Metrik fəzanın doldurulması.........................................33
§6. Sıxılmış inikas prinsipi. Fredholm tipli inteqral
tənliklər..........................................................................41
§7. Ümumiləşmiş sıxılmış inikas prinsipi və onun Volterra
tipli inteqral tənliklərə tətbiqi........................................49
§8. Xətti normalı fəzalar......................................................57
§9. Xətti normalı fəzalarda sıralar.......................................62
§10. Bazisli və separabel fəzalar.........................................64
§11. Hilbert fəzası...............................................................71
§12. L və L fəzaları........................................................76
1 2
§13. Elementin qabarıq və qapalı çoxluqda ən yaxşı
yaxınlaşması................................................................84
5
§14. Beppo – Levi teoremi. Ortoqonal proyeksiya. Hilbert
fəzasının ortoqonal ayrılışı..........................................89
§15. Tam elementlər sistemi. Parseval bərabərliyi.............95
§16. Separabel Hilbert fəzalarında bazislik. Separabel
fəzaların izomorfluğu................................................102
I I FƏSİL
XƏTTİ OPERATORLAR VƏ XƏTTİ
FUNKSİONALLAR
§17. Xətti operatorlar........................................................109
§18. Xətti normalı fəzada məhdud operatorlar..................116
§19. Məhdud operatorlar fəzası.........................................124
§20. Xətti operatorun məhdud tərsinin varlığı şərtləri......132
§21. Kəsilməz funksional və onun Hilbert fəzasında ümumi
şəkli...........................................................................138
§22. Xan – Banax teoremi və ondan çıxan nəticələr.........145
§23. Xətti normalı fəzada qoşma operatorlar....................153
§24. Hilbert fəzasında məhdud operatorun qoşması.........156
§25. Öz-özünə qoşma məhdud operatorlar.......................161
§26. Qeyri-məhdud operatorun qoşması. Simmetrik
operatorlar.................................................................168
§27. Qapalı operatorlar......................................................176
§28. Öz-özünə qoşma operatorun spektri və rezolvent
6
çoxluğu......................................................................182
§29. Sonlu ölçülü operatorlar............................................190
§30. Tamam kəsilməz operatorlar.....................................194
§31. Sonlu ölçülü operatorlar üçün Fredholm
nəzəriyyəsi................................................................199
§32. Tamam kəsilməz operatorlar üçün Fredholm
nəzəriyyəsi.................................................................206
§33. Tamam kəsilməz operatorun spektri.........................208
§34. Hilbert fəzasında xətti operatorun spektri.................212
§35. Tamam kəsilməz öz-özünə qoşma operatorun məxsusi
funksiyalarının xassələri............................................218
§36. Sonsuz aralıqda diferensiallama operatorunun
spektri........................................................................224
Ədəbiyyat..........................................................................232
7
I FƏSİL
METRİK VƏ XƏTTİ NORMALI FƏZALAR
§1. Cəmlər və inteqrallar üçün Hölder
və Minkovski bərabərsizlikləri
Tutaq ki, ixtiyari a ,...,a , b ,...,b ədədləri
1 n 1 n
1 1
verilmişdir. Göstərək ki, + =1 şərtini ödəyən istənilən
p q
p >0, q >0 ədədləri üçün
1 1
∑n a b ≤⎜⎛∑n a p⎟⎞p⎜⎛∑n b q⎟⎞q . (1)
k k k k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k=1 k=1 k=1
Xüsusi halda p = q = 2 olarsa, buradan alınır ki,
n n n
∑a b ≤ ∑ a 2 ∑ b 2 . (2)
k k k k
k=1 k=1 k=1
(1) bərabərsizliyinə Hölder bərabərsizliyi, (2)-yə isə
Koşi-Bünyakovski bərabərsizliyi deyilir.
Əvvəlcə aşağıdakı lemmanı isbat edək.
1 1
Lemma. a > 0, b >0 və + =1 şərtini ödəyən
p q
p >0, q >0 ədədləri üçün
8
ap bq
ab ≤ + . (3)
p q
İsbatı. y = xp−1 (x > 0) funksiyasına baxaq. Bu
1
funksiyanın birqiymətli tərsi var və bu tərs x = yp−1 olur.
1 1 1 1 q−1
+ =1 bərabərliyindən tapırıq ki, =1− = .
p q p q q
q q 1 1
Buradan p = , p−1= −1= , = q−1.
q−1 q−1 q−1 p−1
Onda x = yq−1. XY koordinat müstəvisi üzərində y = xp−1
əyrisini və x = a, y =b düz xətlərini çəkək. OAM
fiqurunun sahəsini S ilə, OBN -inkini isə S ilə işarə edək.
1 2
y y=xp-1
N x=yq-1
b
B
S
2
M
S A
1
0 a x
9
a
a xp ap
Aydındır ki, S +S ≥ ab, S = ∫xp−1dx = = ,
1 2 1 p p
0 0
b bq ap bq
S = ∫ yq−1dy = . Nəticədə + ≥ ab. Lemma isbat
2 q p q
0
edildi.
1
İndi (1) bərabərsizliyini isbat edək. A=⎜⎛∑n a p⎟⎞p,
k
⎝ ⎠
k=1
1
B =⎜⎛∑n b q⎟⎞q qəbul edək və ak , bk ədədlərinə (3)
⎝ k ⎠ A B
k=1
p q
a b a b
bərabərsizliyini tətbiq edək: k ⋅ k ≤ k + k .
A B pAp qBq
k =1,n qiymətlərində alınan bərabərsizlikləri cəmləyək:
1 n 1 1 n 1 1 n
∑ a ⋅ b ≤ ⋅ ∑ a p + ⋅ ∑b q =
AB k k p Ap k q Bq k
k=1 k=1 k=1
1 1 1 1 1 1 1 n
= ⋅ ⋅Ap + ⋅ ⋅Bq = + =1; ∑ a ⋅ b ≤1.
p Ap q Bq p q AB k k
k=1
n
Onda ∑ a ⋅ b ≤ AB. A və B-nin qiymətlərini nəzərə
k k
k=1
alsaq, (1)-i alarıq.
İndi isə (1) bərabərsizliyindən istifadə edərək
aşağıdakı bərabərsizliyi isbat edək:
10
1 1 1
⎜⎛∑n a +b p⎟⎞p ≤⎜⎛∑n a p⎟⎞p +⎜⎛∑n b p⎟⎞p , (4)
k k k k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k=1 k=1 k=1
burada p >1. Bu bərabərsizliyə Minkovski bərabərsizliyi
deyilir. p = 2 olduqda alınan
n n n
∑ a +b 2 ≤ ∑ a 2 + ∑ b 2 (5)
k k k k
k=1 k=1 k=1
bərabərsizliyinə Koşi-Minkovski bərabərsizliyi deyilir.
Aydındır ki,
∑n (a + b )p = ∑n a (a + b )p−1 +∑n b (a + b )p−1.
k k k k k k k k
k=1 k=1 k=1
Sağ tərəfdəki cəmlərin hər birinə Hölder bərabərsizliyini
tətbiq edək. Nəticədə alırıq ki,
1 1
n ( )p ⎛ n p⎞p ⎛ n ( )(p−1)q⎞q
A= ∑ a + b ≤⎜∑ a ⎟ ⋅⎜∑ a + b ⎟ +
k k k k k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k=1 k=1 k=1
1 1
+⎜⎛∑n b p⎟⎞p⎜⎛∑n (a + b )(p−1)q⎟⎞q . (p−1)q=(p−1) p =
⎝ k ⎠ ⎝ k k ⎠ p−1
k=1 k=1
= p olduğundan
1 1
1 1
A≤⎜⎛∑n a p⎟⎞p ⋅Aq +⎜⎛∑n b p⎟⎞p ⋅Aq.
k k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k=1 k=1
1
− 1 1
Hər tərəfi A q-yə vuraq və 1− = olduğunu nəzərə
q p
alaq:
11
1 1
1
Ap ≤⎜⎛∑n a p⎟⎞p +⎛⎜∑n b p⎞⎟p .
k k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k=1 k=1
A-nın ifadəsini yerinə yazsaq, (4)-ü alarıq.
Hölder və Koşi-Minkovski bərabərsizliklərində
n →∞ şərtilə limitə keçsək, alarıq ki,
1 1
∞ ⎛ ∞ p⎞p ⎛ ∞ q⎞q
∑ a ⋅ b ≤⎜∑ a ⎟ ⋅⎜∑ b ⎟ ,
k k k k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k=1 k=1 k=1
1 1 1
⎛ ∞ p⎞p ⎛ ∞ p⎞p ⎛ ∞ p⎞p 1 1
⎜∑ a +b ⎟ ≤⎜∑ a ⎟ +⎜∑ b ⎟ , + =1,p >0.
⎝ k k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ p q
l=1 k=1 k=1
Burada fərz edilir ki, sağ tərəfdəki sıralar yığılır.
( )p ( )q ( )
Tutaq ki, x t və y t funksiyaları a,b
intervalında Lebeq mənada inteqrallanandır. Göstərək ki,
1 1
b ⎛b ⎞p ⎛b ⎞q
∫ x(t)y(t)dt ≤⎜∫ x(t)pdt⎟ ⋅⎜∫ y(t)qdt⎟ . (5)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a a a
1 1
⎛b ⎞p ⎛b ⎞q x(t)
A=⎜∫ x(t)pdt⎟ və B =⎜∫ y(t)qdt⎟ işarə edək. və
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A
a a
( )
y t
funksiyalarına lemmanı tətbiq edək:
B
( ) ( ) ( )p ( )q
x t y t x t y t
⋅ ≤ +
A B pAp qBq
Hər tərəfi a-dan b-yə qədər inteqrallayaq:
12
Description:“Funksional analiz”, “Tətbiqi funksional analiz”, “Adi diferensial operatorların spektral nəzəriyyəsi”, “Riyazi fizikanın tərs məsələləri” fənlərini tədris
