Table Of ContentEndliche K(cid:246)rper und ihre Anwendungen
Prof. Dr. Thomas Honold
Wintersemester 2004/2005
Inhaltsverzeichnis
1 Struktur endlicher K(cid:246)rper 3
1.1 Klassi(cid:2)kation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Automorphismen,Teilk(cid:246)rper,Minimalpolynome . . . . . . . . . . . . 12
1.3 CharakteristischesPolynom,SpurundNorm . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 BCH-Codesund Reed-Solomon-Codes 21
2.1 Grundbegriffeder Codierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Syndrom-DecodierunglinearerCodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 ZyklischeCodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 FaktorisierungvonXn 1(cid:252)berFq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
(cid:0)
2.5 BCH-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 DecodierungderBCH-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Reed-Solomon-CodesundSecret SharingSchemes . . . . . . . . . . . 57
3 Exponentialsummen und Gleichungen 63
3.1 Charaktere endlicherabelscherGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 AdditiveundmultiplikativeCharaktere vonFq . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Hadamard-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 FouriertransformationundMacWilliams-Identit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Gau(cid:223)scheundJacobischeSummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 GegenseitigunverzerrteBasendesHilbertraumesCn . . . . . . . . . . 86
3.7 Diagonalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8 AllgemeineS(cid:228)tze f(cid:252)rL(cid:246)sungsanzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9 QuadratischeFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A Grundlagen 100
A.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.2 RingeundK(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.3 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.4 K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.5 Vektorr(cid:228)umeundModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1
A.6 ElementareZahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.7 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2
Kapitel 1
Struktur endlicher K(cid:246)rper
1.1 Klassi(cid:2)kation
UntereinemendlichenK(cid:246)rperverstehtmaneinenK(cid:246)rperF (imSinnederAlgebra)mit
einerendlichenAnzahl F vonElementen.DieZahl F hei(cid:223)tOrdnungvonF.
j j j j
F(cid:252)r einen K(cid:246)rper F giltwegen 0;1 F und 1=0 stets F 2. Durch ein bi(cid:223)chen
2 6 j j(cid:21)
Herumprobieren (cid:2)ndet man schnell, da(cid:223) es bis auf Isomorphiejeweils h(cid:246)chstens einen
K(cid:246)rper F mit F 2;3;4 geben kann. Addition + und Multiplikation sind ggf.
j j 2 f g (cid:2)
durchdiefolgendenWertetafelngegeben:
+ 0 1 0 1
(cid:2)
q=2: 0 0 1 0 0 1 (1.1)
1 1 0 1 0 1
+ 0 1 a 0 1 a
(cid:2)
0 0 1 a 0 0 0 0
q=3: (1.2)
1 1 a 0 1 0 1 a
a a 0 1 a 0 a 1
+ 0 1 a b 0 1 a b
(cid:2)
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
q=4: 1 1 0 b a 1 0 1 a b (1.3)
a a b 0 1 a 0 a b 1
b b a 1 0 b 0 b 1 a
Im ersten Fall q=2 ist vielleicht noch klar, da(cid:223) die so de(cid:2)nierte algebraische Struktur
tats(cid:228)chlich einen K(cid:246)rper bildet. Mit wachsendem q wird das Nachpr(cid:252)fen aller K(cid:246)rpe-
raxiomejedochzunehmendschwieriger.VorallemdieAssoziativ-undDistributivgeset-
ze bereiten M(cid:252)he. Niemand w(cid:228)re in der Lage, auf solche Weise alle endlichen K(cid:246)rper
zukonstruierenundbisaufIsomorphiezuklassi(cid:2)zieren.
3
Wir beschreiten deshalb einen anderen Weg. Wir starten mit wohlbekannten kom-
mutativenRingenundbetrachtenendlicheFaktorringesolcherRinge.DieG(cid:252)ltigkeitder
Ringaxiomekriegenwirdabeiquasigeschenkt,undesbleibtnurnochnachzupr(cid:252)fen,ob
jedes Element x = 0 des Faktorrings ein multiplikatives Inverses besitzt. Der nachfol-
6
gendeSatz zeigt,da(cid:223) mansichdasLebennochweiter vereinfachenkann.Wir erinnern
daran, da(cid:223) man unter einem Integrit(cid:228)tsring einen kommutativen, nullteilerfreien (d.h.
ausxy=0folgtstetsx=0odery=0)RingmitEinselement1=0versteht.
6
Satz 1.1. JederendlicheIntegrit(cid:228)tsringRisteinK(cid:246)rper.
Beweis. DieBedingungxy=0= (x=0 y=0)oder,(cid:228)quivalentdazu,(xy=0 x=
) _ ^ 6
0) = y = 0 l(cid:228)(cid:223)t sich auch so formulieren: F(cid:252)r jedes x R 0 ist die Abbildung
) 2 nf g
‘ : R R, y xy (Linksmultiplikation mit x) ein Monomorphismus (injektiver Ho-
x
! 7!
momorphismus) der additiven Gruppe (R;+). Wegen R < ¥ ist ‘ dann aber auch
x
j j
surjektivundesexistierteiny Rmitxy=‘ (y)=1.
x
2
AlseinfachstesBeispieluntersuchenwirdieendlichenFaktorringedesRingesZder
ganzen Zahlen. Diese haben bekanntlich die Form Zn := Z=nZ = a+nZ;a Z =
f 2 g
0+nZ;1+nZ;:::;n 1+nZ mitn NunddenOperationen(a+nZ)+(b+nZ):=
f (cid:0) g 2
a+b+nZ, (a+nZ)(b+nZ):=ab+nZ. Die Menge a+nZ ist die ˜quivalenzklasse
von a bez(cid:252)glich der Kongruenzrelation x y x y nZ oder, in der (cid:252)blichen
(cid:17) () (cid:0) 2
Notation,x y (mod n).
(cid:17)
Wenn n = p eine Primzahl ist, dann folgt aus (x+pZ)(y+pZ) = 0, d.h. xy 0
(cid:17)
(mod p)oder p xy((cid:132)pteiltxy(cid:148)),stets p xoder p y,d.h.x+pZ=0odery+pZ=0.
j j j
Die Ringe Zp, p Primzahl, sind also nullteilerfrei und nach Satz 1.1 endliche K(cid:246)rper.
Wenn n keine Primzahl und n = ab eine nichttriviale Faktorisierung ist, so gilt (a+
nZ)(b+nZ)=n+nZ=0,a+nZ=0,b+nZ=0.IndiesemFallhatZn alsoNullteiler
6 6
undistdamitkeinK(cid:246)rper;zusammengefa(cid:223)t:
Satz1.2. DerFaktorringZn =Z=nZisteinK(cid:246)rpergenaudann,wennneinePrimzahl
ist.
Der Beweis von Satz 1.1 beruht auf dem Dirichletschen Schubfachprinzip und ist
damitnichteffektiv.1 Eineeffektive(undef(cid:2)ziente)VersionvonSatz1.2erh(cid:228)ltmanmit
Hilfe des EuklidischenAlgorithmus zur Berechnung des gr(cid:246)(cid:223)ten gemeinsamen Teilers
zweiernat(cid:252)rlicherZahlen.DienachfolgendbeschriebeneErweiterungdesEuklidischen
Algorithmusliefert zu a;b N ganze Zahlen x;y Z mit xa+yb=gcd(a;b).Bei An-
2 2
wendung auf eine Primzahl b := p und a 0 (mod p) ergibt sich wegen xa+yp =
6(cid:17)
gcd(a;p)=1offenbar(a+pZ)(cid:0)1 =x+pZ.
1AuchwennderBeweiskeinenAnhaltspunktgibt,wiemandasmultiplikativeInverseeinerRestklas-
sea+pZ=0inZp (cid:2)ndet,soistdieInversenbestimmungnat(cid:252)rlicheffektivdurchf(cid:252)hrbar.Manbraucht
6
janurf(cid:252)ralleganzenZahlenb 1;2;:::;p 1 dieKongruenzab 1 (mod p)zutesten.
2f (cid:0) g (cid:17)
4
DerEuklidischeAlgorithmusberechnetdiedurchr :=a,r :=bundr :=r mod
1 0 i i 2
(cid:0) (cid:0)
r f(cid:252)r i 1 de(cid:2)nierte Folge ganzer Zahlen r r >r > >r >r =0. Die
i 1 1 0 1 n 1 n
(cid:0) (cid:21) (cid:0) (cid:21) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)
Zahl x mod y ist per de(cid:2)nitionem der Rest der ganzzahligen Division x durch y (er-
kl(cid:228)rt durch x mod y:=x qy mit 0 x mod y<y). Wir setzen der Einfachheit halber
(cid:0) (cid:20)
a b 0voraus.
(cid:21) (cid:21)
Die Schritte des Euklidischen Algorithmus lassen sich durch Zeilenumformungen
mitElementarmatrizenderForm
1 q 1 0 a
(cid:0) bzw. ; angewandtauf denVektor ; (1.4)
0 1 q 1 b
(cid:18) (cid:19) (cid:18)(cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
deuten.WendetmandieZeilenumformungenaufdieerweiterteMatrix
a 1 0
(1.5)
b 0 1
(cid:18) (cid:19)
an, so erh(cid:228)lt man am Ende des Algorithmus die Koef(cid:2)zienten x;y einer Darstellung
d :=gcd(a;b)=xa+ybinder folgendenForm:
d x y 0
oder (cid:3) (cid:3) : (1.6)
0 d x y
(cid:18) (cid:3) (cid:3)(cid:19) (cid:18) (cid:19)
Beispiel1. Wirberechnen(503+2971Z)(cid:0)1imK(cid:246)rperZ2971 inderbeschriebenenWei-
se:
2971 1 0 456 1 5 456 1 5
(cid:0) (cid:0)
503 0 1 (cid:0)! 503 0 1 (cid:0)! 47 1 6
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19)
33 10 59 33 10 59 5 32 189
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)! 47 1 6 (cid:0)! 14 11 65 (cid:0)! 14 11 65
(cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19)
5 32 189 1 107 632 1 107 632
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)! 4 75 443 (cid:0)! 4 75 443 (cid:0)! 0 503 2971
(cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19)
Esgiltalso1=107 2971 632 503und
(cid:2) (cid:0) (cid:2)
(503+2971Z)(cid:0)1 = 632+2971Z=2639+2971Z:
(cid:0)
Aufgabe1. FindenSieheraus,wiemandieRechnunginBeispiel1drastischverk(cid:252)rzen
kann.
S(cid:228)tzchen 1.3 (Kleiner Satz von Fermat). Es sei p Primzahl. F(cid:252)r jedes a Zp gilt
2
dannap =a.
Beweis. DiemultiplikativeGruppeZ(cid:3)p desK(cid:246)rpersZp hatdieOrdnung p 1.F(cid:252)rjedes
(cid:0)
a Z(cid:3)p giltalsoap(cid:0)1 =1bzw.ap =a.Trivialerweisegiltauch0p =0.
2
5
S(cid:228)tzchen1.3l(cid:228)(cid:223)tsichauchsoformulieren:F(cid:252)rjedePrimzahl pundjedeganzeZahl
agiltap a (mod p).
(cid:17)
Als n(cid:228)chstes betrachten wir endliche Faktorringe von Polynomringen Zp[X] (cid:252)ber
dengeradebetrachtetenK(cid:246)rpernZp.AusderAlgebraistbekannt,da(cid:223)jedesIdealI von
Zp[X]einHauptidealist,alsoabgesehenvomf(cid:252)r unsuninteressantenFallI = 0 (mit
f g
unendlichem Faktorring Zp[X]= 0 (cid:24)=Zp[X]) die Form I =(f):=Zp[X] f mit einem
f g (cid:1)
eindeutig bestimmten normierten Polynom f Zp[X] hat. Wir setzen R:=Zp[X]=(f)
2
und bezeichnen mit d := degf den Grad des Polynoms f. Mittels Polynomdivision
(cid:252)berlegtmansichleicht,da(cid:223)injederNebenklassea+(f) RgenaueinPolynomvom
2
Grad<d liegt.Darausfolgt
R = a Zp[X];dega<d = pd: (1.7)
j j f 2 g
(cid:12) (cid:12)
Insbesondereistjedernichttrivi(cid:12)aleFaktorringZp[X]=I,(cid:12)I = 0 ,endlich.
6 f g
Um das Rechnen in R= Zp[X]=(f) zu vereinfachen, setzen wir a :=X+(f). F(cid:252)r
jedes Polynom a Zp[X] gilt dann a(a) = a+(f) und speziell f(a) = f +(f) = 0.
2
Folglich besitzt jedes Element x R genau eine Darstellung x = a(a) mit einem Po-
2
lynom a Zp[X] vom Grad < d oder, was dasselbe ist, genau eine Darstellung x =
2
a0+a1a+a2a2+ +ad 1ad(cid:0)1mitKoef(cid:2)zientenaiausdemzuZpisomorfenTeilk(cid:246)r-
perZ1 R.DiePo(cid:1)(cid:1)te(cid:1)nzen(cid:0)1;a;a2;:::;ad(cid:0)1 bildenalsoeineBasisdesZp-Vektorraums
(cid:18)
R. Das Polynom f ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades in
Zp[X] mit f(a) = 0 (Minimalpolynom von a (cid:252)ber Zp). Die Tatsache, da(cid:223) jedes Ele-
ment von R die Form a(a) mit einem Polynom a Zp[X] hat, dr(cid:252)ckt man durch die
2
SchreibweiseR=Zp[a]aus;vgl.AbschnittA.4.
Satz 1.4. Der Faktorring R=Zp[X]=(f) ist ein K(cid:246)rper genau dann, wenn f in Zp[X]
irreduzibelist.
Beweis. Der Beweis verl(cid:228)uft (cid:228)hnlich zum Beweis von Satz 1.2. Wenn f reduzibel und
f(X) = a(X)b(X) eine nichttriviale Faktorisierung in Zp[X] ist (d.h. 0 < dega < d),
dannbesitztRwegen a+(f) b+(f) = f +(f)=0,a+(f)=0,b+(f)=0Null-
6 6
teiler, ist also kein K(cid:246)rper. Wenn dagegen f irreduzibel und a+(f) = 0, d.h. a kein
(cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1) 6
Vielfaches von f ist, so liefert der erweiterte Euklidische Algorithmus f(cid:252)r Polynome,
angewandtaufaund f,eineDarstellung1=ggT(a; f)=ua+vf mitu;v Zp[X].Das
2
zeigt u+(f) a+(f) = 1 in R, d.h. jedes Element a+(f) R 0 ist invertier-
2 nf g
bar.
(cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1)
Satz1.4unddieVor(cid:252)berlegungzeigen,da(cid:223)einK(cid:246)rperderOrdnung pd immerdann
existiert,wenneseinirreduziblesPolynom f Zp[X]vomGradd gibt.
2
Beispiel2. DasPolynomX2+X+1 Z2[X]istirreduzibel,daesinZ2 keineNullstelle,
2
alsoinZ2[X]keinenLinearfaktorbesitzt.NachSatz1.4istR:=Z2[X]=(X2+X+1)ein
K(cid:246)rper der Ordnung 4. Mit a:=X+(X2+X+1), b:=X+1+(X2+X+1)=a+1
6
rechnet man leicht nach, da(cid:223) Addition und Multiplikation von R durch (1.3) gegeben
sind.Sogiltetwaa2=a+1=b(wegena2+a+1=0und1= 1inR)unda3=ab=
(cid:0)
a2+a=1.
Beispiel3. DasPolynomX3+X+1 Z2[X]istirreduzibel,daesinZ2 keineNullstelle
2
hat.2 NachSatz 1.4istR:=Z2[X]=(X3+X+1)einK(cid:246)rper derOrdnung8.
Mit der (cid:252)blichen Abk(cid:252)rzung a:= X +(X3+X +1) wollen wir nun exemplarisch
1=(a2+a+1):=(a2+a+1) 1 in R berechnen: Es gilt a2+a+1= X2+X+1+
(cid:0)
(X3+X+1).AnalogzumFallZp l(cid:246)senwirdazudieKongruenz(X2+X+1)b(X) 1
(cid:17)
(mod X3+X+1) mitdem erweiterten EuklidischenAlgorithmuszur Berechnung von
gcd(X2+X+1;X3+X+1)inZ2[X].Dazusind2Polynomdivisionenn(cid:246)tig:
(X3+X+1):(X2+X+1)=X+1 mitRest X;
(X2+X+1):X =X+1 mitRest 1:
MitunseremSchema ausBeispiel1ergibtsich
X3+X+1 1 0 X 1 X+1 X 1 X+1
X2+X+1 0 1 (cid:0)! X2+X+1 0 1 (cid:0)! 1 X+1 X2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
zuletzt wegen (X +1)2+1 = X2+1+1 = X2 in Z2[X]. In Z2[X] gilt folglich 1 =
(X+1)(X3+X+1)+X2(X2+X+1),undb(X):=X2 l(cid:246)stdieangegebeneKongruenz.
Esgiltalso1=(a2+a+1)=b(a)=a2.
Da R = 7 sehr klein ist, kann man sich f(cid:252)r das Rechnen in R ganz schnell eine
(cid:3) (cid:3)
j j
Tabellemachen:
a0 = 1 1 + 0 a + 0 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a1 = 0 1 + 1 a + 0 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a2 = 0 1 + 0 a + 1 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a3 = 1 1 + 1 a + 0 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a4 = 0 1 + 1 a + 1 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a5 = 1 1 + 1 a + 1 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
a6 = 1 1 + 0 a + 1 a2
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
sowiea7=1undR= 0;1;a;:::;a6 .Aufgabenwiedieobengestelltelassensichnun
f g
leichtl(cid:246)sen:NachderTabelleist1=(a2+a+1)=a 5 =a2.InSatz 1.6wirdgezeigt,
(cid:0)
da(cid:223)jederendlicheK(cid:246)rperF einElementamitF = 1;a;a2;:::;aq 2 ,q= F ,(cid:150)ein
(cid:3) (cid:0)
f g j j
sog.primitivesElement(cid:150)besitzt.
Unser eigentliches Ziel im ersten Abschnitt ist es, den folgenden, Ihnen vielleicht
ausderAlgebra-VorlesungbekanntenKlassi(cid:2)kationssatzf(cid:252)rendlicheK(cid:246)rperzuzeigen.
Satz 1.5. (i) DieOrdnungjedesendlichenK(cid:246)rpersisteinePrimzahlpotenzq>1.
2H(cid:252)tenSiesichvoreinerVerallgemeinerungdieserAussageaufPolynomevomGrad>3!
7
(ii) ZujederPrimzahlpotenzq>1existierteinK(cid:246)rperF mit F =q.
j j
(iii) JezweiK(cid:246)rperE,F mit E = F <¥sindisomorf.
j j j j
BeweisvonSatz1.5(i). Es sei F ein endlicher K(cid:246)rper der Ordnung q und p N die
2
Ordnungvon1=1 in(F;+)(diesog.CharakteristikvonF).3 Wegen1=0gilt p>1.
F
6
Aus p = st mit s;t N folgt 0 = p1 = (st)1 = (s1)(t1), zusammen mit der Nulltei-
2
lerfreiheit von F also s1 = 0 oder t1 = 0 und damit s = p oder t = p. Die Zahl p
ist demnach eine Primzahl. Wegen px = (p1)x = 0 hat dann jedes Element x = 0 die
6
Ordnung p in (F;+). Die Gruppe (F;+) ist also eine elementarabelsche p-Gruppe und
somit ein Vektorraum (cid:252)ber dem K(cid:246)rper Zp = Z=pZ. Mit n := dimZp(F) gilt folglich
q= Zn = pn.
p
M(cid:12)(cid:12) an(cid:12)(cid:12)sieht ferner, da(cid:223) der von 1 erzeugte Teilring Z1(cid:18)F isomorfzu Zp und damit
zugleichderPrimk(cid:246)rpervonF ist.
ZumBeweisder(cid:252)brigenAussagenvonSatz 1.5sindeinigeVorbereitungenn(cid:246)tig.
Satz 1.6. DiemultiplikativeGruppeeinesendlichenK(cid:246)rpersistzyklisch.
Beweis. DiemultiplikativeGruppeF =F 0 einesK(cid:246)rpersF derOrdnungqhatdie
(cid:3)
nf g
Ordnungq 1.Wirm(cid:252)ssenzeigen,da(cid:223)einElementb F derOrdnungq 1existiert.
(cid:3)
Es sei q 1(cid:0)= (cid:213)r pei die Primfaktorisierung der na2t(cid:252)rlichen Zahl q 1(cid:0). F(cid:252)r i 1;r
(cid:0) i=1 i (cid:0) 2
hatdasPolynom
X(q 1)=pi 1 F[X]
(cid:0)
(cid:0) 2
h(cid:246)chstens(q(cid:0)1)=pi<q(cid:0)1WurzelninF.Demnachexistiertai2F(cid:3)mita(iq(cid:0)1)=pi 6=1.
Fal(cid:252)srobdii:e=Oardi(qn(cid:0)u1n)=gpeipiegiiilntdFan.nWbeipgeiie=ngagqiT(cid:0)1(p=ei1;p,bejip)eii=(cid:0)11=fa(cid:252)ri(qi(cid:0)=1)=jphi 6=at1d.aDnnasbE:l=embenbtb::i:hbat
i (cid:3) i j 6 1 2 r
dieOrdnung(cid:213)ri=1peii =q(cid:0)1inF(cid:3) (vgl.Blatt1,Aufgabe7).
EinerzeugendesElementvonF wirdprimitivesElement vonF genannt.
(cid:3)
Aufgabe 2. Essei f Zp[X]irreduzibel.ZeigenSie durcheinGegenbeispiel,da(cid:223)X+
2
(f) Zp[X]=(f)keinprimitivesElementdesK(cid:246)rpersZp[X]=(f)zuseinbraucht.
2
S(cid:228)tzchen 1.7. F(cid:252)ra;d;n Nmita 2gilt
2 (cid:21)
ad 1 an 1 genaudann,wenn d n:
(cid:0) j (cid:0) j
3DieZahl pistalsodiekleinstenat(cid:252)rlicheZahlmit p1=1+1+ +1=0.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
p-mal
| {z }
8
Beweis. Die Richtung folgt aus der bekannten Formel ade 1=(ad 1)(1+ad+
( (cid:0) (cid:0)
a2d+ +a(e 1)d). Umgekehrtgeltenun ad 1 an 1. Wir schreiben n=de+r mit
(cid:0)
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) j (cid:0)
0 r<d.Wegen
(cid:20)
an 1=ade+r 1=ar(ade 1)+(ar 1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
und nach dem ersten Teil des Beweises gilt dann ad 1 ar 1. Wegen a 2 gilt
(cid:0) j (cid:0) (cid:21)
andererseits ar 1 < ad 1. Beides zusammen impliziert ar 1 = 0, d.h. r = 0 und
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
damitd n.
j
S(cid:228)tzchen 1.8. F(cid:252)rjedesPolynom f Zp[X]gilt f(X)p = f(Xp).
2
Beweis. DaZp[X]dieCharakteristik p hatundkommutativist,gilt(f +g)p = fp+gp
f(cid:252)r alle Polynome f;g Zp[X]. Au(cid:223)erdem gilt (af)p = apfp = afp f(cid:252)r a Zp, f
2 2 2
Zp[X] nach S(cid:228)tzchen 1.3. Beides zusammen besagt gerade, da(cid:223) f fp ein Endomor-
7!
phismusdesZp-VektorraumsZp[X]ist.F(cid:252)r f(X)=(cid:229)di=0aiXi 2Zp[X]giltdaher
p
d d
f(X)p = (cid:229)aXi = (cid:229)a Xip = f(Xp):
i i
i=0 ! i=0
Satz 1.9. For jedes n N ist das Produktaller normierten, irreduziblenPolynome f
Zp[X]mitdeg f ngle2ichXpn X. 2
j (cid:0)
Beweis. Die formale Ableitungdes Polynoms Xpn X Zp[X]ist pnXpn(cid:0)1 1= 1.
Somit geht kein irreduzibles Polynomin Xpn X q(cid:0)uadr2atisch auf, denn aus X(cid:0)pn X(cid:0)=
f2g mit f;g Zp[X] folgt 1 = (Xpn X)(cid:0)0 = 2f f0g+ f2g0 = f(2f0g+ fg0)(cid:0), also
2 (cid:0) (cid:0)
deg f =0.
Es seien d ein Teiler von n und f Zp[X] ein normiertes, irreduzibles Polynom
2
vom Grad d. Nach Satz 1.4 ist F := Zp[X]=(f) ein K(cid:246)rper der Ordnung pd, dessen
multiplikative Gruppe F dann wiederum nach Satz 1.6 die Ordnung pd 1 hat. Im
(cid:3)
(cid:0)
FallX+(f) F oder,damitgleichwertig, f =X folgtdarausXpd 1 1 (mod f)und
(cid:3) (cid:0)
wegen pd 12 pn 1(vgl.S(cid:228)tzchen1.7)weit6erXpn 1 1 (mod f),d(cid:17).h. f Xpn 1 1
(cid:0) (cid:0)
bzw. f X(cid:0)pn jX.(cid:0)ImFall f =X giltnat(cid:252)rlichebenfalls(cid:17)f Xpn X. j (cid:0)
j (cid:0) j (cid:0)
Esbleibtzuzeigen,da(cid:223)umgekehrtderGradd jedes(normierten)irreduziblenFak-
tors f von Xpn X in Zp[X] ein Teiler von n ist. Wir arbeiten wieder mit dem K(cid:246)rper
(cid:0)
F := Zp[X]=(f) der Ordnung pd. Nach Satz 1.6 existiert ein Element a(X)+(f) der
Ordnung pd 1inF .WegenXpn X (mod f)undS(cid:228)tzchen 1.8gilt
(cid:3)
(cid:0) (cid:17)
a(X)pn =a(Xpn) a(X) (mod f)
(cid:17)
undfolglich
a(X)pn 1 1 (mod f):
(cid:0)
(cid:17)
Darausfolgt pd 1 pn 1undmitS(cid:228)tzchen 1.7schlie(cid:223)lichwiegew(cid:252)nschtd n.
(cid:0) j (cid:0) j
9
