Emner fra lineær algebra,lineære differensiallikninger og integraltransformer

68 Pages·1979·20.933 MB·Norwegian

by  Havnen, Johan

i b-^nalbiblioteket
rjibii/isket
Johan Havnen
Emner
fra
lineær
algebra,
lineære
differensiallikninger
og
integraltransformer
3. opplag
ÅLESUND BIBLIOTEK TAPIR
1979
m
ISBN 82-519-0181-2
Forord.
Dette kompendiet er ment brukt som et supplement til Kreyszigs
lærebok "Advanced Engineering Mathematics", 3dje utgave, i
faget Matematikk ti. Grunnen til at det er blitt skrevet, er
at Kreyszigs lærebok mangler en del viktige emner eller ikke
fører disse sa langt som det er ønskelig, sett i relasjon til
de behov studentene på flere av NTH's linjer har. Kompendiet
er blitt til pa grunnlag av tre tillegg som ble distribuert
til studentene i studieåret 75-76, og jeg vil takke mine
kolleger førstelektor Anders Lødemel og univ.lektor Bjarne
Seland for verdifulle kommentarer og kritikk under utarbeidelsen
og bruken av disse. Jeg er takknemlig for å bli gjort oppmerk­
som pa eventuelle feil og trykkfeil slik at eventuelle senere
Jesere kan bli informert om disse.
Trondheim, juli 1976.
Johan Havnen

INNHOLD.
side
1. Lineær algebra. 1
1.1. Matrisen til en lineær transformasjon 1
1.2. Koordinatskifte 5
1.3. Diagonalisering av matriser 9
1.4. Kvadratiske former 14
2. Lineære differensiallikninger. 19
2.1. Lineære differensialoperatorer, Wronski-
determinanten 19
2.2. Polynomoperatorer og homogene lineære
differensialikninger med konstante
koeffisienter 23
2.3. Inhomogene lineære differensiallikninger 27
3. Lineære system av differensiallikninger. 34
3.1. Løsningsmengden til lineære system 34
3.2. Lineære system med konstante koeffisienter 38
3.3. Ekvivalente system av lineære differensial­
likninger 42
4. Integraltransformer. 45
4.1. Litt om integraltransformer generelt 45
4.2. Fouriertransformen 48
4.3. Litt om konvolusjon. Flere eksempler 54

-1-
12__Lineær_algebra.
1.1. Matrisen til en lineær transformasjon.
La V være et n-dimensjonalt vektorrom med basis
B = ^vif..zv } og la vGV. Det finnes et entydig bestemt
n-tuppel a = (aiZ..,a ) € Rn slik at
v = a, v + av + • • • + a v .
ii 22 n n
Vektoren a € Rn kalles koordinatvektoren til v m.h.p. basisen B.
Eksempel 1. La V = P2 = {a+bx+cx2|a,b,c€ R}. Koordinatvektoren
til polynomet p(x) = a+bx+cx2 m.h.p. B = {l,x,x2} er
a = (a,b,c).
Eksempel 2. V = vektorrommet av 2x2-matriser og
B = {Ej t'Ki2,E2i,E221 (se s*222, Th.l). Koordinatvektoren til
A = au a12\ m.h.p. B er a = (S1x,a12,a21,a22) E Ru.
\a2 1 a2 2/
Eksempel 3. La V = Rn og B = {e ,..,e } der en har 1 på
i n k
k-te plass og nuller ellers. Her faller x og x's koordinat-
vektor m.h.p. B sammen. B = {eif..,e} kalles for standard
basisen i Rn, og når ikke noe annet er sagt, er det denne basisen
det refereres til i Rn. Siden en vektor og dens koordinatvektor
da faller sammen, skiller vi ikke mellom disse. Det er bare når
vi introduserer et nytt koordinatsystem at det er aktuelt å snakke
om koordinatvektoren til en gitt vektor i Rn.
En lineær transformasjon T er en funksjon fra et vektorrom V
til et vektorrom W slik at
i) T(x+y) = Tx+Ty for alle x,y E V.
-2-
ii) T(qx) = qTx for alle q G R, x G V.
Eksempel 1. La V = Rn og W = Rm og A en mxn-matrise.
Ifølge regnereglene for matrisemultiplikasjon så er Tx = Ax
en lineær transformasjon.
Eksempel 2: La V være mengden av deriverbare funksjoner med
kontinuerlig derivert og W mengden av kontinuerlige funksjoner.
Da er D(f) = f en lineær transformasjon.
I det følgende skal V være et n-dim. vektorrom med basis
B = {Vj,..,v }, mens W er et m-dim. vektorrom med basis
B' = {w ,..,w }. La videre T: V -> W være en lineær transforma-
i m
sjon og la v = x v + ••• x v G V. Siden T er lineær, ser
-* J ii n n
vi at
Tv = x Tv + • • • + x Tv .
ii n n
M.a.o. er T fullstendig fastlagt når Tvt,..,Tv er kjent.
Vi søker nå Tv's koordinatvektor y m.h.p. B'. La
Tv = a w + a w + • • • + a w
1 i i i 2 1 2 mi m
Tv. = a w + a„ + • • • + a w
2 1 2 1 2 2 2 m2 m
•
•
•
Tv = a W + a w + • • • + a w
n i n 2n mn m
Men da er
n n m
Tv = y x.Tv.
j=l 3 3
m n
= 1(1 = *>», + ••• + ymw.
i=l j=l
Skrevet på matriseform gir dette at
y = Ax
-3-
der x er koordinatvektoren til v m.h.p. B, søylevektorene
i matrisen A = [a.,..,a] er koordinatvektorene til Tv ,,.,Tv
1 n i n
m.h.p. B' og y er koordinatvektoren til Tv m.h.p. B'.
Matrisen A, som bestemmer koordinatene til Tv m.h.p. B'
når vi kjenner v's kordinater m.h.p. B, kalles matrisen til
T fra B og til B'.
Hovedeksempel: La V - Rn, W - Rm, B og B' standard basisene
i h.h.v. R og R . Dersom T: R -> R er en lineær trans­
formasjon, så svarer det en matrise A til T slik at
Tx = Ax = y
idet vi ikke skiller mellom vektor og koordinatvektor i Rn (og
Rm) m.h.p. standardbasis. Dette betyr spesielt at samtlige
lineære transformasjoner fra Rn til Rm er av formen Ax = y
der A er en nun-matrise. I euklidske rom (rom av typen Rn)
skiller vi derfor ofte ikke mellom lineær transformasjon og
matrise.
Eksempel 1: La T være en lineær transformasjon fra R3 til
/1\ (1\ 7-i\
9
R slik at Te - o , Te = , og Te = , . Matrisen A
i \ 2/ 2 \1/ 3 \ 1/
som bestemmer T, er da
11-1
2 1 17
Eksempel 2: La V = W - P = mengden av polynom av grad < 2
og la T = D ): D (p (x) ) = p ' (x) . La videre B = {l,x,x2}.
Da er
D (1) = 0 = 0-1 + 0«x + °’x2 /O 1 0\
D (x) = 1 = 1-1 + 0«x + 0«x2 => A = 0 0 2 .
t 0.x 0 °>
D (x2) = 2x = 0’1 + 2 • x
-4-
Øvingsoppgaver:
1. La T: R2 -> R2 være en lineær transformasjon, Finn matrisen
til T m.h.p. standardbasis B = {elfe2} når
a> Tei = (J)' Te2 = ( i)«
2. La T: V -> W være en lineær transformasjon.
a) Vis at Im T = {Tv|v£V} er et vektorrom.
Dersom Im T er et endelig dimensjonalt vektorrom, så sier vi
at rangen til T = rang T = dim Im T. La V og W være endelig
dimensjonale med h.h.v. B og B1 som basis og la A være
matrisen til T fra B og til B'.
b) Vis at rang T = rang A.
3. La T: R3 -> R3 være gitt ved
Finn matrisen til T og bestem rang T.
4. La dim V = n, T: V -> V være en lineær transformasjon og
B en basis for V. Vis at T har en invers T~ 1 (en omvendt
funksjon) hvis og bare hvis rang T = n. Vis at i så fall er
A-1 matrisen til T 1 m.h.p. B.