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D'ANALYSE
COMPLEXE
Licence de
Mathématiques
ÉLÉMENTS
D'ANALYSE COMPLEXE
Licence de Mathématiques
A mon fils Pierre
qui a choisi le chemin exigeant des mathématiques
Introduction
La rédaction de ce cours n'aurait jamais abouti à ce petit ouvrage sans l'insistance
— amicale mais déterminée — de Thierry Fack. Je tiens à l'en remercier. Pourtant, à
l'heure du "bouclage" — comme on dit chez les journalistes — voici que j'éprouve les
affres du doute. Fallait-il bien publier encore une fois un cours élémentaire d'analyse
complexe, après tant d'autres textes excellents ? mais puisque c'est chose faite, je peux
bien avouer que j'ai pris grand plaisir à rédiger ces notes, même si elles m'éloignent
de mes préoccupations habituelles — ou peut-être à cause de cela. Je profite de cette
introduction pour remercier tous ceux qui ont partagé avec moi cet enseignement, Alain
Coste, Michel Crétin, Ibrahim Rihaoui, Michel Rome, Daniel Sondaz. Enfin je veux dire
un grand merci à Marie du Cloux, qui s'est acquittée de la frappe du texte avec une
compétence impeccable, sans oublier Fokko du Cloux dont la relecture sourcilleuse aura
permis de corriger plus d'une faute.
J.-F. Pabion
Prérequis
Ce cours peut être abordé immédiatement après un premier cycle de mathématiques.
Les notions de topologie qui relèvent d'un niveau plus élevé n'interviennent qu'à l'avant-
dernier et au dernier chapitre. La seule entorse notable à ce parti pris d'élémentarité est
dans l'appel à la notion de famille sommable, dans les quelques circonstances où s'en
passer tiendrait plus du masochisme que d'un souci de simplicité.
Les notations sont largement standard. Si z est un nombre complexe, Re(z), Im (z),
\z\, Arg(z) désignent respectivement la partie réelle, la partie imaginaire, le module et
l'argument de z. Rappelons que Arg(z) n'est défini que pour z^ 0, et consiste alors en
une classe modulo 2n de nombres réels. Les disques ouvert et fermé de centre a et de
rayon r (a € C, r > 0) sont notés respectivement :
D(a,r[ = {z € C | |z - a\ < r}
D(a,r] = {z 6 C | |z - a\ < r}
Nous utilisons librement les notions d'ensemble ouvert, fermé, compact dans le plan com
plexe C, ainsi que les définitions et propriétés usuelles concernant les fonctions continues
et les fonctions différentiables d'une ou plusieurs variables réelles.
La loi du 11 mars 1957 n’autorise que les "copies ou
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ISBN 2-7298-9500-0
Chapitre 1
Dérivation complexe
Dans ce chapitre, on donne la définition — très simple — d'une fonction holomorphe, et
on tire les conséquences les plus immédiates de celle-ci. On établit aussi les conditions
qui caractérisent l'holomorphie par des propriétés différentielles ("équations de Cauchy")
1. Définitions
Soit F une fonction complexe définie dans un ouvert ü du plan complexe C. Etant donné
un point aGfl, pour tout z assez voisin de a on peut considérer l'expression :
n*) - n*) m
z - a ' '
Définition 1.1. — On dit que F est dérivable au point a si l'expression (1) a une limite
finie quand z tend vers a. Cette limite s'appelle le nombre dérivé de F en a.
Définition 1.2. — On dit que F est holomorphe dans fi si elle est dérivable en tout point
de fi. On peut alors définir sur fi une nouvelle fonction, appelée dérivée de F, et notée
dF
F' ou -j-, F' est la fonction qui à tout point z G fi associe le nombre dérivé de F en ce
point.
Définition 1.3. — On dit que F est holomorphe en a si elle est holomorphe dans un
voisinage ouvert de a.
2. Premiers exemples '
Exemple 2.1. — La fonction z —*• z2 est définie partout. Etant donné un point a, on a
pour tout nombre complexe non nul u :
(a + u)2 - a2
— 2a + u
u
2 1. Dérivation complexe
(a + u)2 - a2
donc lim = 2a. La fonction donnée est donc holomorphe dans C et a
u—o
pour dérivée la fonction z —► 2z (ce qui est plutôt rassurant).
N.B. — Une fonction holomorphe dans C est dite entière.
Exemple 2.2. — La fonction z —► z est définie partout. On a pour ti / 0 :
a + u - ïï _ ïï
u u
Posant u = r(cosa + zsina) il vient :
ü
— = cos 2a - i sin 2a
u
Si on fait tendre r vers zéro à a constant, on obtient pour limite cos 2a - i sin 2a. Cette
valeur dépend de a. Par exemple, elle vaut 1 pour a = 0 et -1 pour a = tt/2. Il n'existe
donc pas de limite de ü/u quand u tend vers zéro. La fonction z —> 7 n'est dérivable en
aucun point.
Exemple 2.3. — Soit la fonction z —► \z\2. Etant donné a, on a pour tout u
|a + u|2 — |a|2 = (a + u)(â + ü) — aâ = au + au + uü
D'où, pour u ^ 0 :
|o + u\2 — \a\2 H , _N
-------------— = a- + (ô + ü)
u u
Si a = 0, ceci se réduit à ü, qui tend vers zéro avec u. Mais si a ^ 0, on voit comme
dans l'exemple 2 que la limite n'existe pas. Ainsi la fonction est dérivable en un seul
point (z = 0). Notons qu'elle n'est pas holomorphe en 0, bien que dérivable.
On ne peut évidemment pas tirer de conclusions générales à partir de trois exem
ples ! mais les exemples 2 et 3 suggèrent que des fonctions très simples et très régulières
peuvent ne pas être dérivables, ou l'être de manière exceptionnelle. Cette situation con
traste avec celle des fonctions d'une variable réelle. Ce contraste ne fera que s'accentuer :
l'holomorphie est une condition contraignante, qui s'accompagne de phénomènes tout à
fait remarquables.
3. Premières propriétés
Avant d'aborder les choses étonnantes, liquidons quelques banalités au demeurant in
dispensables à connaître. Formellement, la définition de la dérivée d'une fonction com
plexe d'une variable complexe transpose exactement celle de la dérivée d'une fonction
réelle d'une variable réelle. C'est pourquoi nombre de propriétés valides dans le cas réel
s'étendent directement au cas complexe. Les démonstrations étant les mêmes — mutatis
mutandis — nous ne les donnerons pas. Nous invitons cependant le lecteur à les retrou
ver pour lui-même, en se reportant éventuellement à un cours standard sur les fonctions
d'une variable réelle.
3. Premières propriétés 3
3.1. Dérivabilité et continuité.
Fait 1. — Toute fonction complexe d'une variable complexe qui est dérivable en un
point a est continue en a.
En particulier, toute fonction holomorphe dans un ouvert ü est continue dans îî. Les
exemples 2 et 3 montrent que l'inverse n'est pas vrai. Mais personne ne se serait attendu
à ce qu'il le soit !
3.2. Dérivabilité et opérations.
Fait 2. — Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques
restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou
globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre
de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule.
(u + v)' = u' + v'
(Au)' = Au' A : constante complexe
(u v)' = u'v + uv*
(u/v)' = (vu' — uv')/v2
(«")' = nun~lu' (n 6 Z)
Ces formules montrent notamment que les fonctions holomorphes dans un ouvert ü
forment une algèbre de fonctions. En termes moins savants, leur ensemble est fermé
par addition, multiplication par un scalaire complexe et multiplication des fonctions.
L'inverse de toute fonction holomorphe qui ne s'annule pas dans son domaine d'existence
est holomorphe. Par contre, la conjuguée d'une fonction holomorphe n'est pas en général
holomorphe, ainsi que le montre l'exemple 2.2 (une telle fonction est dite antiholomorphe).
3.3. Exemples de fonctions holomorphes.
Notons déjà que :
- Toute fonction constante est holomorphe (dérivée : 0).
- La fonction identique z —*■ z est holomorphe (dérivée : 1).
A partir de ces fonctions initiales, on obtient par additions et multiplications toutes les
fonctions F qui se mettent sous la forme suivante :
F(z) = a0 + a\Z + ... + anzn (1)
où ao, ai,..., an sont des nombres complexes. Ce sont les fonctions polynômes. Ainsi toute
fonction polynôme est holomorphe dans C (c'est-à-dire entière). De plus, les formules
de dérivation appliquées à l'expression (1) donnent :
F\z) = ai + 2a2z + ... + nanzn~l (2)
Ainsi la dérivée d'une fonction polynôme est encore une fonction polynôme.
Si, dans l'expression (1) les coefficients ai sont tous nuis, F est la fonction nulle.
Sinon, quitte à négliger des termes nuis, F se met sous la forme :
F(z) = ao + a\z + ... + apzp avec ap ^ 0 (3)
4 1. Dérivation complexe
Soit k un entier relatif. Un calcul simple montre que :
in*)i
si k < p lim
z—+oo \z\k
W*)l _ n
si k > p lim
z—t-OO \z\k
On en tire deux choses :
- D'une part que le naturel p qui intervient dans l'expression (3) ne dépend que de
F. On l'appelle le degré de F.
- D'autre part que toute représentation de la fonction nulle sous la forme (1) a tous
ses coefficients nuis. Il en résulte que deux écritures sous la forme (3) d'une même
fonction polynôme non nulle sont identiques.
Ainsi, on peut identifier les fonctions polynômes avec les polynômes formels qui les
représentent. L'identification porte sur toutes les notions pertinentes : degré, coefficients,
addition, multiplication, valeurs, zéros ... Elle joue dans deux sens :
- D'un côté on peut transposer sur l'algèbre des fonctions polynômes les concepts
et les algorithmes qui ont fait leurs preuves dans l'étude algébrique de l'anneau
C[z] : facteurs, division euclidienne, recherche de PGCD, dérivée.
- Inversement l'étude des fonctions peut apporter des informations sur C[z]. Nous
n'échapperons pas à l'exemple vedette du théorème de d'Alembert!
Désormais nous dirons souvent "polynôme" sans autre précision. Rappelons qu'on ap
pelle zéro d'une fonction F tout nombre a tel que F(a) = 0. Supposons en particulier
que F soit un polynôme non nul. Alors l'ensemble des zéros de F est fini, de cardinal
inférieur ou égal au degré. Si a est un zéro de F, z — a est un facteur de F. Le plus
grand entier k tel que (z — a)k divise F s'appelle l'ordre du zéro a.
On appelle fonction rationnelle toute fonction F de la forme A/B, où A est un polynô
me et B un polynôme non nul. F est alors définie et holomorphe dans le complémentaire
de l'ensemble des zéros de B. La dérivée est donnée par la formule :
, BA' -AB'
B2
Ainsi la dérivée d'une fonction rationnelle est rationnelle.
Si a est un zéro d'ordre k de B, deux choses peuvent arriver :
- ou bien (z — a)k divise A, et F se prolonge par continuité en a
- ou bien a n'est pas un zéro de A, ou est un zéro d'ordre inférieur à k. Alors
lim |F(z)| = +oo, et on dit que a est un pôle de F.
z—►a
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréduc
tible, c'est-à-dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux.
Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que
nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut
pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au
chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nou
velles.
4. Dérivée et différentielle 5
4. Dérivée et différentielle
4.1. Sur une ambiguïté.
Il existe sur C deux structures naturelles d'espace vectoriel : d'une part, en tant que
corps, C est un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même. D'autre part, en tant
qu'extension de R, c'est un espace vectoriel sur R, avec une base canonique formée des
nombres 1 et i, donc de dimension 2.
Soit <p une application de C dans C. Dire que <p est linéaire n'a pas de sens précis
si on ne dit pas à quelle structure vectorielle on rapporte cette propriété. On dira donc
que tp est R-linéaire (resp. C -linéaire ) si elle est linéaire au sens de la structure vectorielle
réelle (resp. complexe).
Posons y>(l) = a et <p(i) = 6. Si <p est R-linéaire, on a pour tout z = x + iy :
<p(z) = ax + by
C'est la forme générale des applications R-linéaires de C dans C.
Si tp est de plus C-linéaire on a en particulier :
<p(i) = <£>(î.l) = îV(1) = *"û
Donc :
6 = ai
Inversement, sous la condition précédente, on a pour z = x + iy :
<p(z) = ax + by
= ax + iay
= a(x + iy)
Autrement dit <p(z) = az, et <p est C-Iinéaire.
Exemple 4.1. — Les projections canoniques sont des applications R-linéaires. Selon
l'usage du calcul différentiel, on les note dx et dy. Ainsi, pour un nombre complexe
w = u + iv on a :
dx(w) = u = Re (w)
dy{w) = v = Im (w)
dx et dy ne sont autres que des notations alternatives pour Re et Im. Avec ces notations,
la forme générale des applications R-linéaires est donc :
adx + bdy (avec a, b £ C)
Exemple 4.2. — Dans la foulée, notons dz l'application identique de C, qui est aussi
l'unique projection dans sa base canonique {1} pour la structure vectorielle complexe.
On a avec les notations précédentes :
dz = dx + idy
a = 1 et 6 = i, ce qui est normal puisque l'application est C-linéaire.
Exemple 4.3. — La conjugaison :
z —► J
6 1. Dérivation complexe
est R-linéaire. Elle s'écrit dans les notations précédentes :
dx — idy
11 est donc naturel de la noter dz. Ici a = 1 et 6 = —i : elle n'est donc pas C-linéaire.
Exemple 4.4. — Soit F une fonction complexe définie au voisinage d'un point a. On
peut la regarder comme une application d'une partie de R2 à valeurs dans R2. Ainsi,
cela a un sens de dire que F est différentiable en a. S'il en est ainsi, sa différentielle en a
est une application R-linéaire qui s'exprime par la formule usuelle :
dF dF
dF(a) = — (a)dx + ~^{o)dy
4.2. Conditions nécessaires de dérivabilité.
Soit F une fonction complexe définie dans un ouvert fi C C. Le résultat suivant renforce
considérablement le fait 1 (§ 3.1).
Proposition 1. — Si F est dérivable en un point a € fi, alors F est différentiable en a et sa
différentielle est C-linéaire.
Preuve. — Notons d le nombre dérivé de F en a. On a donc :
lim rn a - m ) - ^ )
u-+0 U
On peut l'écrire :
lim lf <° + “> ~ f (°) ~ ^“1 = 0
u—>0 |u|
Ce qui montre que F est différentiable en o, et que la différentielle est l'application C-li
néaire :
z —► d.z
□
Remarque. — De cette démonstration, on tire l'expression suivante de la différentielle
pour une fonction dérivable :
dF(a) = F'{a)dz
dF
Ceci justifie a posteriori la notation — pour la dérivée.
Exemple 4.5. — z —> J étant R-linéaire est identique à sa différentielle en tout point.
Celle-ci n'est pas C-linéaire (exemple 4.3). On retrouve donc le fait que la conjugaison
n'est dérivable en aucun point (exemple 2.2).
