Table Of ContentL I V R O S D I D Â T I C O S
Vol IIS
Série 2.*
BIBLTOTECA PEDAGÔGICA BRASILEIRA
Prof. Jacomo Stâvale
[)ioaç§o ao GHEMAT
CriceD^kov
Elementos de Matematica
P R I M E I R O V O L U M E
para a
Primeira Série do Curso Ginasial
660 cxercicios orais e de classe
660 exercîcios escritos e problemas
Savoir, c'est connaUre une chose d'une
manière ^dente et certaine; c'est, de plus,
en connaUre la raison.
Port-Royal
3," ediçao - 15 milheiros
COMPANHIA EDITORA NACIONAL
SÂO PAUIO - BIO DE JANEIRO - EEOIFB - FÔBTO ALEQRE
1943
Itauna, SO de dezembro de 1936.
ïlmo. Sr. Proj. Jacoino Stdvale
Prezado Mestre
Manuseando diariamente os sews livras, no prepare das
ligoes, na escolha dos exerd.<dos para as aulas, cresce cada
vez mais o meu entusiasmo, aumenia o meu intéressé pelas
suas ligôes, reunidas nos sens quatro volumes de Matemdtica.
Pode estar orgulhoso, caro projessor — a orientagào
perjeitamente pedagôgica, clara, prdtica, de suas ligôes, a
padênda verdadeiramente beneditina na escolha, exposi^o
e resolugâo dos exerddos — jazem do seu trabdho a obra
diddtica mais perjeita que jd se produziu no Brasil.
Nào é uma opiniôo minha, particular, mas de todos os
colegas, de todos os projessores de Matemdtica. Todos tecem,
sem javor, ds melhores encômios ao seu es] or go, ao sen
irabalho, à sua padénda, à sua orientagào de mestre perjeito,
conhecedor das dijiculdades dos disdpvlos, procuran o
vencè-las e nâo ladeâ-las como jazem os demais livras
diddticos que possuimos.
Os sens livras constituem um guia seguro para o aiuno,
um auxiliar precioso para o mestre.
E\ pois, com a mdxima satisjagao que acuso o rece-
bimento de sua carta-circular de 8 do corrente, anundando
a saida do prelo do Quinto Ano de Matemdtica.
Nâo é précisa ser projeta para prever um êxito sem li
mites, alias merecido, a este novo volume que vem enr^uecer
a biblioteca matemdtica da pedagogia brasileira. 1 erei o
mdximo prazer cm receber um exemplar, se o caro mes r
se dignar enviar-m^o.
Com um abrago àespede-se o
Col. Amo. Admor.
(a) Prof. José Drummond
Lente de Matemâtica da Escola Normal
Oficial de Itauna - Minas Gérais
P r e f â c i o
Julio Taonery, o eminente mâternâtico francês, em
seu livre Liçoes de Arîtmética, 9.® ediçâo revista, de
1926, interpretando -as fraçSes décimais, diz:
"Appelons mètre Vunité de longueur, et ne craignons
pas d'employer les mots décimètre, centimètre, mil
limètre, avec la signification à laquelle le lecteur est
certainement habitué", (pag. 231)
Como interpretar estas palavras? Por que nao
recear o emprego das palavras dedmeiro, centimetro,
milimetro? , • j -
A explicaçâo é simples. 0 ilustre autor amda nao
iniciou o capîtulo relative ao sistema métrico o quai,
em seu livre modelar, cemeça na pag. 345.^ Mm, sens
leitores devem estar ceriamente habituados à s^mjicaçao
das palavras decimetro, centimetro, milimetro. E e mestre
nâo hésita em recorrer a estas noçôes, para facihtar
aos seus leitores a aquisiçâe das noçôes relativas as
f r a ç ô e s d é c i m a i s . . , - j a
. Escrevendo este livro, seguî a onentaçao do grande
inatemdtico francês. Nossos alunos da primeira série
ginasial passaram pelo crivo do exame de admissao aos
ginasios; portante, devem ter boas noçoes relativas
operaçôes com numéros inteiros e fracionarios, sis
tema métrico, etc.. Eis por que nâo vacilei em recorrer
a estas noçôes, sempre que assim o julguei necessâno
para maior clareza da exposiçâo.
*
* *
De acordo com a portaria ministerial n.
de julho de 1942, o ensino de Aritinética na
série ginasial deve ser prdtico. Nada mais acertado.
VIII Elementos de Matemàfica
Prefàcio I X
®®"®vendo este Uvro, nâo renunciei às de verificarem, em suas aulas, a viabilidade do ensino
d e s s e s t e o r e m a s . , j j • •
cL? Matemôtica. Como con- Das observaçôes que me forem enviadas deduzirei
cmar OS dois pontes de vista?
um critério seguro para que, numa prôxima ediçâo deste
Nada mais simples.
Uvro, possa reduzir ou ampliar o numéro desses mesmos
curafdf ^ P°rtaria, pro-
teoremas.
S f M a , i n t e i r a m e n t e *
♦ *
De'sob^dlLcl ^ alguns teoremas.
E r ree m etdodof logiEa? "D"e moadob aslguom!l u t e ! Como sempre espero que os srs. professores se dig-
nem dar a sua opiniâo a respeito deste Uvro, com toda
sentados Sp teoremas apre- a sinceridade, apontando sem rebuços os senSes que
Sâo fîo rï eiû numéro aliâs muito reduzido nele, por ventura, encontrarem.
HxeLtar r Jnf ' ^ principal
para que mais tardp^ estudantes na arte de raciocinar S. Paulo, Janeiro de 1943.
aprender' com f^nTri terceira séne ginasial, possam
méWo nop ^ dedutivo que é o 0 Autok
P r excelência, da Matemâtica.
Rua Safira, 9.
*
* *
colegaa que se dedicam ao ensino da
Matemâtica devem ter observado a freQuêLîr nn^ n
quai os estudantes cometem certos erros.
Por exemple, para simplificar a fracâo p«n
celam o fator 3 (?) e escrevem este abs»u rqd or: c' V/ttU-
e o n b r ^ i " °
operaçoes fundamentals. Tais teoremas nSo ^tT
vro al,deles. Peço^gora^sr^^s Tftzt
Prefâcio dà Segunda Ediçâo
d o
Primeiro Ano de IVIatemâtica
XTeSTA segunda ediçâo do meu "Primeiro Ano de
> Matemâtica" ampliei consideravelmente os exer-
cicios orais cuja eficiência é realmente adrniravel. L/on-
sideremos, por exemple, os exercîcios orais do paragrafo
43. (*) Todos os alunos abrem os livres na pagina em
que estâo estes exercîcios, e o professer diz à classe que
reflita sobre o exerclcio n.° 11. Ao cabo de poucos segun-
dos chama um dos alunos para que faça a leitura da
expressâo aritmética dada neste exercîcio, eitminando os
V<S-ènteses. E o aluno lerd: 8+7-10+6. E se nao acer-
tar, 0 projessor jard a necessâriu correçao no mesiîw
instante em que o erra joi co?netido. Uma vez feitos os
23 exercîcios orais do pardgrafo 43, é mui ^ -
vavel que os estudantes nunca mais errem nesta espécie
de exercîcios e façam os seguintes (série '
uecessaria segurauça, alcançando assim oas n
trabalhos diarios e nas provas mensais, parciais e fmais.
*
" Jâ o dsise na prml eria* edçi*âo: é mutio utli ouso dos
grâficos, mas é necessârio evitax-lhes o a " • j j
Possivel concordar corn a interdiçao do m
uo primeiro ano ginasial. Os
esta classe nâo sâo anormals, nao -.iaturas one
raciocinar, como geralmente se supSe. ^ao ""aturM que
têm cérebro; que anida nâo sabem pensar «om acetjo,
Dias às quais devemos ensinar a pensa .
+r+sste voulme, o exerccloi nidciado esté na pâgnia 108, §84.
X I I Elemenfos de Mcrtemàtica
é adextrâ-las na arte de raciocinar, e a Matemâtica é
Indice-Sumârio
uma excelente escola para desenvolver o raciocînio. Eis
por que, nestas noçôes elementares de Matemâtica, hd
algumas aplicaçôes simples do método dedutivo.
Acs que me chamarem de retrdgado ou antiquado
ou cousa que o valha responderei que, compreendendo
perfeitamente que os métodos antigos para o ensino da
GEOMETRIA INTÛITIVA
Matemdtica devem ser profundamente modificados, nâo
hd,, entretanto, razâo para exagerar a nova orientaçâo e
Cap. I — Noçoes fundamentais de Geometria.
fazer do ensino da Matemd,tica um verdadeiro caos. Eu
prefiro ficar entre as duas correntes, aproveitando o que
§ § Pdgs.
hd, de bom na escola antiga e na modema. In medio
1. Os corpos e o espaço * 1
VIRTUS. 2. A forma 1
Receberei com vivo prazer quaisquer pedidoa de in- 2. A e.xtensûo 2
4. O solide geométrico 2
formaçOes ou explicaçôes, assim como crlticas, sugesWes, 5. Quais sâo os fins da Geometria? 3
correçoes, etc., verbalmente ou por carta, em minha 6. A superffcie 3
residência, rua Safira, 9, Aclimaçâo. 7. A Iiaha ^ '
8. O ponto ; ®
Em relaçâo à distribuiçâo da matéria contida neste
9. Representaçâo grâfica dos conceitos fundamentais da
livro, recomendo vivamente a leitura do îndice-8umd,rio.
Geometria ®
^0. Dimensôes ®
H. Eiementos-geométricos e sua geraçao 8
12. A linha reta e suas propriedades 9
Sâo Paulo, ouiubro de 19S1. 13. Retas verticais, horizontais e inclinadas H'
1 4 . S e m i r r e t a s e s e g m e n t e s H
1 5 . C o m p a r a ç â o d e s e g i n e n t o s 1 2
0 Autor 16. A medida de um segmente.. 1^
17. Linhas quebradas, curvas, mixtas 15
1 8 . 9 p i a n o . } l
19. Angulos..'
20. O Ûngulo reto
Igualdûde de ângulos
22. ^edida dos ângulos
23. Angulos adjacentes; perpendiculares e obuquas
24. pistância de um ponto a uma reta 2J
25. Angulos complementares e suplementares oU
26.
Cap. II — Figuras geométricas.
27. A circunferência
28. A medida da circunferência
29. A divisâo .de um segmento em duas partes iguais
X I V Elemenfos de Matemàtica I n d i c e - S u m à r i o X V
30. Polfgonos 38» 71. A multiplicaçâo; definiçôes 89
31. Triângulos 39 •• 72. Algumas propriedades da multiplicaçâo 91
32. Soma dos ângulos de um triûngulo 41/ 73. Regra gérai da multiplicaçâo 95
33. Problemas gràficos 42 74. Provas da multiplicaçâo 96
34. O quadrado 46 f- 75. A divisâo; definiçôes 97
35. O retûngulo 48 76. Divisâo exata e divisâo aproximada 99
36. 0 paralelogramo 50 77. O resto de uma divisâo; igualdades fundamentals 100
37. 0 losange 52 78. Algumas propriedades da divisâo 102
38. 0 trapézio 54 79. Regra gérai da divisâo 19^
39. Retas e plauos no espaço 54 80. Provas da divisâo ^9^
81. Multiplicaçâo e divisâo por 10, 100, 1 000, etc 101
40. Poliedros e corpos redondos 56
82. Expressâo aritmética 19^
83. Os parentôses em Aritmética 195^
84. Eliminaçâo de parentéses 196.'
ARITMÉTICA PRÂTICA
Cap. III — Operaçoes fundamentais.^ Cap. IV — Mûltiplos e divisores.
41. Grandeza, unidade, nûmero 62 85. Preliminares
42. Os nûmeros inteiros ou naturais 63 86. Potêneia de um nûmero
43. Formaçûo dos ndmeros e sua representaçâo grdfica... 64 87. ExpressOes aritméticas.
44. Numeraçâo falada ou nomenclatura dos nûmeros 65 88. Teoremas gérais da divisibilidade..,
\
45. Os elementos da numeraçâo falada 65 89. Caractères de divisibilidade j" j loo »
46. Princfpio fundamental da numeraçâo falada 66 90. Primeira série dos caractères de divisibihdade
47. Unidades simples, dezenas e centenas 66 91. Observaçôes sobre o parâgrafo anterior..... o r
48. Unidades, dezenas e centenas de milhar 67 92. Segunda série dos caractères de divisibilidade joz ^
49. Unidades, dezenas e centenas de milhâo 68 93. A regra dos noves fora
50. As classes de unidades 69 94. Prova da adiçâo pelos restos
51. As ordens dé unidades 70 95. Prova da subtraçâo pelos restos ^
52. Base de um sistema de numeraçâo 70 96. Prova da multiplicaçâo pelos restos
53. Os defeitos da numeraçâo falada 70 97. Resto de uma e.\pressâo aritmética
54. Numeraçâo escrita ou escritura dos nûmeros..71 98. Prova da divisâo pelos restos
55. Regra paru escrever um nûmero qualquer 72 99. Parte allquota de uma grandeza
56. Os algarismos e seus valores 72 100. Mâximo divisor comum
57. Leitura de um nûmero ■ inteiro \ 73
101. Teoremas fundamentais .• • • / iao
58. Consequências da numeraçâo escrita.....!!! ...!.!!! 73
102. Determinar o m. d. c. de dois numéros. ....••••••• •
59. Algarismos romanos 76
103. Regra para determinar o m. d. c. de dois nûmeros..
60. A adiçâo; definiçôes 77 104. Determinar os quocientes de dois nûmeros pelo se
61. Algumas propriedades da adiçâo 78
m. d. c j^Q
62. Regra gérai da adiçâo !!!!!!!!!!.!! 79
63. Provas da adiçâo !. ! ! . 80 105. Propriedades do m. d. c • ;
64. A Bubtraçâo; definiçôes ! ! !. ! ! ! ! ! ! ! ' ! ' ! ^ ! 81 106. Simplificaçâo do processo das divisoes sucessivas.....
65. Algumas propriedades da subtraçâo 82 107. Dividindo dois nûmeros pelo seu m. d. e. os quocientes
66. Regra gérai da subtraçâo 83 sâo prlmos entre si
108. M. d. c.; de très nûmeros j^^g
67. Provas da subtraçâo 84
109. N û m e r o s p r i m o s 1 4 9
68. Expressâo. aritmética ^ . 86
69. Càlculo de mna expressâo aritmética 87 110. Crivo de Eratéstenes i«in
70. Igualdade gg m . Regra para verificar se um nûmero ô primo ou P
112. Decomposiçâo em fatores primos •
X V I Elemenfos de Maiemàtica
Î n d i c e - S u m à r i o XVII
113. Divisâo de um produto indicado por um dos seus fatores 152
114. Quando um ndmero é divisive] por outro, elc contem Cap. VI — Fraçoes décimais.
todos os fatores prlmos deste outro
154
115. Quando um nûmero é divisivel por dois nûmeros primos 146. Fraçôes décimais 208
entre si, é tambem divisivel pelo produto deles
154 147. Nûmcros inteiros e fraçôes décimais 210
116. Quando um nûmero é divisivel por outros dois que nâo 148. As subdivisôes do milésimo 211
sâo primos entre si, pode ser ou nâo ser divisivel 149. Multiplicaçâo ou divisâo de uma fraçâo decimal por 10" 212
pelo produto deles 154 150. Adiçâo e subtraçûo de fraçôes décimais 212
117. Divisores de um nûmero 155 151. Multiplicaçâo de fraçôes décimais 214
118. Determinar todos os divisores de um nûmero 156 152. Divisâo de fraçôes décimais 214
119. Determiner todos os divisores comuns a dois nùmeros 153. Primeiro caso da divisâo de fraçôes décimais 215
dados 154. Segundo caso da divisâo de fraçôes décimais... 215
159
120. CMo/nmimpoos imçâûol tidpolo m c.o md. ucm. de dois ou mai.s nûmcros.... 159 155. Caso em que 0 divisor é um nûmero inteiro seguido de
121. 161 zeros
122. Observaçôes sobre o m. m. c. de dois ou mais numéros 163 156. Transformaçâo de uma fraçâo decimal em ordindria. 217
157. Transformaçâo de uma fraçâo ordindria cm decimal 217
158. Divisâo com resto
Cap. V — Fraçoes ordinârias. 159. Quociente aproximado a menos de uma unidade, por
f a l t a o u p o r e x c e s s o 2 2 0
123. Defiûiçâo 166 160. Dfzimas periôdicas
124. Leitura de uma fraçâo ordioûria 168» 161. Valor absolute e relative de um perfodo ^6
125. Fraçôes prôprias e imprôprias; nûmeros mixtos 169 162. Geratriz de uma dizima periôdica...
163. Geratriz de uma dfzima periôdica simples ^7j
126. Transformaçâo de uma fraçâo imprûpria em nûrnero
inteiro ou mixto 170 164. Geratriz de uma dfzima periddica composta 2-&
165. O verdadeiro valor de uma dlzima periddica 229-A
127. Transformaçâo de um nûmero inteiro em fraçâo com
denominador dado; transformaçâo de um nûmero 166. Operaçôes sobre as dfzimas periddicas s
mixto em fraçâo imprûpria 171 167. Caractères de convertibilidade 231
128. Ileduçâo de fraçôes ao mesmo denominador 172
129. Reduçâo de fraçôes ao mesmo denominador 174
Cap. VII — Numéros complexes.
130. Reduçâo de fraçôes ao menor denominador comum.. 174
131. Simplificaçâo das fraçôes ordindrias 176 168. 234-
132. Simspulifcicaeçâsos diev uamsa fraçâo pelo processo das divisôea 176 169. 234
170. Unidades de tempo ; • 235
.^ 113343.. SCimopmlifipcaaçâroa dçeâ uom a fraçâdoe p elo profcreasçsoô deo sm . d. c.I 17779 m . Reduçâo de um nûmero complexe a locomplexo. 236
172. A unidade monetdria inglesa 236
135. Propriedades das fraçôes y/ 181 173. A unidade angular ■ ; " 237
111111133334446879012....... ASEMgJFAmJ xudurfriapplabivtçlirçifâtiçpiecosrâlaâs iaaooçcsro çoâacô olûiçne dâânosrao dei a emd 6a de urfoe dlir t qtifpafemurlfri oçcaréacaaçôiotçççôinâeôôctoeeseae" sds s ose f x or aoffrotaororar'adrdçrdçôdadicinâe niii'ddsonnoiâ'Vrond âilrrHaddrriSsiirniaao.iad.'asds.rs i.o sa . s111 111I98899881568374 111111178777778045679....... RTTASMMrrdueuaeaibdçlndnttâiusirspdaoçffloaio çâcdrsrûoamme oç i ndaâ andgeçoçûel âeâ mud osnomee aû dr d snmonee ûsûd e u mumsrcmomo eecsmaror oonc pmfsor ûlia enpmcmçxcorâepieommoslrmeope xepl neecmltesxooe.x m..n..os..ûp male ce.\oorom e cpmolem fxrpeal.çe _uxoo 222222243443342921780 •\
143. /lijmeraqor pelo denominfujor 196 181. Divisâo do complexes 243
144. Divisâo com resto 106
145. Expressûes axituiéLiuas fraoiouàrius 200
GEOMETRIA INTUITIVA
CAPfTULO I
NoçÔes Fundamentais de Geometria
' ^ r Os fomos C ft espaço. Corpo 6 tudo aquilo que ocupa
hwar no o. anlmflis, Otf VOptfllS P f Pllf rmS
MUe existem na tcrraj a propria terra o o roI, o n lu», e toclos OJ3
planetas que giram em rcflor do solj G ÛS CStrclftS aos milhOcH,
^nlham il noite na amplidâo do céu, tudo «ao corpoa. o espaço
é 0 moio em que vivemos; nele estâo situados todos OS corpos,
Gxtende-sc em todos os scutidos, c nao tcm fim; é înfinifo.
•^2. A forma. 0 que repi'esentam as figuras desta pagina?
Um barril um and, um bloco de granite, um pedaço de eoluna,
a base de uma estAtua, as pirâmides do Egito, uma caixa, um
^^û Grreetoeml, uemtriaa; ape Grae o?m Aestr iraes npaoost ases apr eeosctausp apc crgoumnta as n naatuore mzatc rdeessssaems
