Table Of ContentREY PASTOR PUIG ADAM
'\
ELEMENTOS
DE
GEO·
COLECCION ELEMENTAL INTUITIVA
MADRID
PROLOGO DE LA PRIMERA EDICION
DOS PALABRAS PARA LOS CHICOS
Es propled11d.
Queda hecho el depósito
que marca l& Ley.
Aquf te presentamos, lecl.or querido, a los que han de ser
durante esle curso tu compaíieros de trabajo: unas tijeras, un
ovillo de hilo, una regla, un par de escuadras, un compás, un
rollo de papel de calco, anos cartones, un paquete de lápices y un
monf6n muy grande de hojas de papel.
Ni un solo día debes empezar la lecci6n de Geometría sin tener
al lado estos tus buenos compañeros, ni terminar de estudiarla sin
dejar ta mesa materialmente llena de recortes y de papeles con
figuras.
Núm. Rg\ro.: 6.242·63
Si alguna vez el libro fe hace pensar, no lo desdeñes, pues es
entonces precisamente cuando mayores beneficios te proporciona.
Depósito Legal: M. 10.HO 1959
La Geometría empez6 siendo casi un juego y ha resultado, andando
el tiempo, el edi/i cio racional más hermoso y perfecto que ha cons
truido el pensamien(o humano.
NUEVAS GRA.Fl0.&.8, s. A.- Andrés Mellado, 18. -M..6.t>RlD
comtantemente a los ejemplos vioos de la realidad, invitando al
alumno a conatruir y a observar; intuitivo también en el sentido
de prescindir de la constante distinción entre pos~ulados y teore
CUATRO PALABRAS PARA LOS MAYORES mas; dis~inción inútil, porque no se comprende su necesidad a estas
edades.
Pero no hemos deadeñado ninguna ocasi6n propicia para iniciar
Al publicar estos ELEMENTOS DE Gr.oME.TRfA, segundo tomo de al educando en los razonamientos deductivos, puestos casi siempre
nuestra Colección Elemental lntuitil;a, no podemos reprimir cierto en tipo de imprenta má.t pequeño, o en forma tal que el alumno de
temor a la crítica española, aunque sinceramente declaramos que muy tierno entendimiento pueda inconscientemente resbalar sobre
nos preocupo menos la simpatía de los crí(icos que la de los niños, ellos sin dificultad, mientras que el de mente máa madura pueda
para quienes ha sido pensada y escrita esta obrita, como lo fue la ahondar en ellos, recibiendo su interés y su belleza.
de «Elementos de Aritmética•.
De intento hemos omitido, ain embargo, las demostraciones di
Nuestros temores no pueden fundarse en la excelente acogida fíciles o contraproducentes, entre las cuales contamos muchas de
dispensada a esta última, acogida por la que estamos oioamente las relativa.s a posiciones de rectas y planos en el espacio, que aún
agradecidos, sino, de una parle, en la residencia que la inercia recordamos con terror de nuestros tiempos estudiantiles.
opone ineoitablemente a todo ensayo, y de otra, en loa excluelol1mos
Contamos con la ayuda y el buen criterio de cada profesor para
de los criterios extremistas.
distinguir el grado prudencial de eoidencia («sensible» o «lógica»)
Nos explicaremos mejor: los partidarios de la enseñanza intuifil)O susceptible de lograr en cada caso. La Geome(ría es, por su nata
( «intuitilJa» se ~ítala la Colección)· encontrarán quizá en el libro ra.leza Y haata por su abolengo histórico, la ciencia más indicada
demasiadas demostraciones; los partidarios de la enseñanza logís para este género de ensayos.
tica hallarán, sin duda, en él un exceso 'de desenfado inluitioo.
• • •
Conocida es la fórmula en la qae se deslindan los papeles de
la l6gica y de la intuición en la Matemática; la intuición e• el faro
El plan que hemos seguido, y que no se ajusta por completo
que nos gvía para descubrir las oerdades matemáticas, pero éstas
a nuestro primitioo deseo, requiere alguna obseroación.
deben luego cimen~arse sólidamente mediante el raciocinio puro.
Un libro de Geometría, aun de carácter totalmente intuitivo,
Una enseñanza matemática completa, debe, pues, cultioar a la
debe tener un esqueleto sobre el que pueda construirse un edificio
vez una y otra facultades del espíritu, en grado adecuado al dea
arrollo mental del alumno. Pero éste oaría tan considerablemente racional. La Geometrfa es~dia las propiedades intrínsecas de las
figuras, es decir, las que no alteran con el movimiento de las
de un año a otro, y aun de unos alumnos a otros, que no es
mismas. A cada clase de mooimientos corresponde una clase de
posible formular un sistema pedagógico determinado en este grado
propiedades y un instrumento que permite realizarlas. Problemas
de enseñanza, como no sea una política dé eclecticismo y de adap
imposibles o difíciles con ciertos instramentos, se hacen posibles o
iaci6n a cada caso particular.
fáciles con otros, Ceñirse a un grupo reducido de ellos es, pues,
Por estas y otras consideraciones hemos procurado hacer un limitar los recursos prácticos de la Geometría y hasta encerrar en
libro de carácter «marcadamente intuitioo» en el sentido de apelar pobres angosturas todo su alcance te6rico.
Así, Por ejemplo, el empleo del papel de calco tiene, además
INDIC E
de su eoiden1e utilidad prác(ica, un gran interés teórico, porque
permite efectuar .de una oen ciertos tipos de mooimiento, mientra•
DE LOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA
que con la regla y el compás es preciso efectuar para cada punto
una construcción especial, y no apal'ece en ella el concepto de
grupo, que es el fundamento de la Geometría elemental y de las
Geometrías superiores. Paginas
Este concepto ha sido nuestra gufa, y por esta causa hemoa Dos PALABRAS PARA LOS CHICOS .. . .. . . . . . .. V
CUATRO PALABRAS PARA LOS MAYORES ... .. . VI
aplazado, Por ejemplo, el uso del compás has~a llegar al grupo de
mooimienlos en los cuales es el instrumento natural.
PRIMERA PARTE.-CE.OMETil(A DEL PLANO
De todas· veras deseamos que los profesores españoles acojan con
simpatía este humilde ensayo, que se aparta algo de la sólida y CAPITIJLO PRJMERO.- Los segmentos y los ángulos
admirable arquitectura euclídea (a la que estamos tan habituados). Lección l.' -La recta y el plano ... 3
No es el primero que se hace desde que Klein lanzó la idea de 2.&- Los segmentos ...... 9
grupo en su famoso programa de Erlangen e indicó la conoeniencia 3.•-Medida de segmentos .. . 15
4."-Los ángulos ... ........ . 21
de tomarlo como base, aun en la enseñanza elemental.
5.ª- Medidas de ángulos ......... .. . 27
6. '-Líneas quebradas y polígonos . . . . .. 31
• • • Notas al capítulo primero . . . . . . . .. 35
CAPITIJLO 11.- Los mooimientos del plano
Inútil será repetir aquí cuánto agradeceremos todas laa indica
ciones que fiendan a corregir las numerosas imperfecciones de nues Lección 7.'"-Los movimientos y la igualdad de figuras 36
8.'-La simetría axial y la perpendicularidad .. . 42
tros libros.
9.•-La traslaci6n y el paralelismo. (Angulos) .. . 48
10.-La traslación y el paralelismo. (Segmentos) 53
Los originales de esta obrita han posado tambicfn por la censura
11.-La rotación, la simetría central y la circunfe-
p'reoia de dioersos alumnos antes de ir a manos del Úpógra/o. Nos rencia ... ............... ......... ......... 57
han ayudado en esta tarea las niñas Mcfndez, Canellada, lraoedra 12.- Propiedades de la circunferencia .. . . . . . .. . .• 63
Beltrán Sanclto y Noguera, y los niños Váldés y Sanz Alonso. 13.-Construcciones fundamentales con la regla y el
compás ........ . 69
Recordaremos siempre gratamente el entusiasmo que han puesto Notas al capítulo JI . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 74
en esta tarea.
CAPITULO 111.-Propiedades de los triángulos y polígonos
Madrid, septiembre de 1928.
Lecci6n 14.-Los triángulos ................................. 76
15.-Construcción de triángulos ... ... ... . ....... . 83
16.-Nuevas construcciones y lugares geométricos .. . 89
17.-Los cuadriláteros (el paralelogramo y el rectán-
gulo) •...................................... 96
18.-Los cuadriláteros (el rombo, el cuadrado Y' el
trapecio) ............ ... ..... . 108
19.-Los poHgonos regulares ......... 109
Notas al capítulo l!l ..• . .... .....• 114
.CAPÍTULO IV.-Las dreas P•gluas
Lección
20.-Noción de área ... ... .. . . ..
21.-Las áreas de los polígonos .. . 115
22.-EI. teorema de Pitágoras ... .. . 120
126
23.-Longitud de la circunferencia .. . . .. ... . ..
132
24.-Area del círculo y de las figuras circulares
137
Notas al capítulo IV ... ... ... ... . ........
141
CAPÍTULO V.-La :semejanza
Lección 25.-La proporcionalidad ele segmentos
143
26.-La semejanza de triángulos ... . ..
27.-La semejanza en general ... ..... . 148
1:54
28.-Relaciones métricas derivadas de la semejanza. PARTE PRIMERA
161
Notas al capítulo V .. . ... .. . ... ... .. .
165
CAP(TlJLo Vl.-Posiciones da recias y plano•
Lección 29.-Determinac.ión del plano ... ... ... .. . .. .
169
30.-Rectas y planos perpendicularea ......... 174 ·GEOMETRf A DEL PLANO
31.-Los ángulos diedros y la perpendicularidad en-
tre planos ............... ..... .
179
32.-La rotación y las simetrías ... ... . .. ... .. .
184
33.-La traslación y el paralelismo ... .. .......
189
34.-Paralcfümo de rectas y planos ... ... . ..
193
Notas al capítulo' VI ... ... ... ... . .. .. .
197
CAPfTULo VIL-Los poliedros y su deaarrollo
Lección 35.-Los ángulos triedros y poliedros... . ..
36.-Los prismas ... .. . ... .. . . .. 198
204
37.-Las pirámides ... ... ... ... ... .. .. ..
210
38.-Los polígonos regulares... . .. •.. ... .. .
215
Notas al capítulo VU . .. .. . .. . .. . ... .. .......
219
CAPÍTULO VIIl.-Las superficies y los cuerpos de revoluci6n
Lección 39.-EI cilindro de revolución ... ... . ..
220
40.-EI cono de revolución •.. .. . ... .. . ... ... .. . . ..
226
41.-La superficie esférica y la esfera ...............
231
42.-Figuras esféricas y área de la superficie esférica.
236
CAPÍTULO IX.- Los volúmenes
Lección 43.-Volúmenc$ de prismas y cilindros ............
241
44.-Volúmencs de pirámides, de conos y de figuras
esféricas ... ... .. . .. :
247
Notas al capítuJo IX ...
252
APt.NOJCE..-Noticia sobre las cónicas
253
¡
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-
CAPITULO PRIMERO
LOS SEGMENTOS Y LOS ÁNGULOS
Lección x."-La recta y el plano.
(INSTRUMENTO: LA REGI.A.} 1
x. Cuerpo, superficie, línea, punto.
'l'odos tenemos una noción de Jo que es un cuerpo, una
superficie, una línea, por el uso que de estas palabras ~e
hace en el lenguaje ordinario.
Decimos, por ~jemplo, que una mesa es un cuerpo, y
al l:acer una raya sobre ella, decimos
que se traza una Unea sobre la super
ficie de la mesa.
" Si, en lugar de hacer una raya, se
apoya simplemente un lápfa bien afi
lado, la huella que deja se suele llamar
punto.
Claro e~ que, por muy afil'ado que esté el lápiz, si se mira
dicha huella con una buena lente de aumento, parecerá un bo
rrón, pero la Geometría prescinde de esto, y fonna por abstrae..
cióo un concepto ideal de punto, imposible de definir de un modo
preciso.
......
. ---- - -
-5....:.....
•~ Superlicie plana y linea recta. 2.º) Medi~nte un hilo bien tirante como· procéden los
También, por él lenguaje corriente, tenemo8 una idea albañiles~• pintores, .etc., e.n sus trabajos.
de la aplicación de e5tos términos. ·Decimos-,· ppr ejempló,
que la superficie de .úna mesa. ,o de un ·tablero ea ~la.na,· y
qqe es recta la lín~ ·que trazalD.os sobre aquélla apoyando
el lápiz en el borde de una regla.
· Con . una buena :lente de aumento, dejaríamos, sin duda, de
' llamar línea al trazo del lápiz, y la superficie de la mesa ya no
nos parecerla plana. La Geometrí~ supone U'10S planos· y unas
rectas ideales que no pueden definirse más qi,ie de un· modo in-
<tirecto, ~bleciendo sus propiedades. ·
3• º) Mediante visuales, es decir, como proceden, por
En una Unéa recta podemos considerar tantos puntos ejemplo, los agrimensores y topógrafos al efectuar 'alinea
com~. queramos. Para.distiµguir A B e' ciones en el terreno.
unos puntos de otros se les suele . '
t l
designar por letras mayúsculas,. así: punto A, punto~• ..•
·'··············L·········r ········ .·:. .
3. Obtención de lineal rectas.
La regla es el instrumento utilizado por el dibujante
pata el trazado de lineas rectas. Para ello deb.e apoyarse. la
punta del lápiz en el borde de .la regla que está en·contacto
. con el papel, y no en ei
borde superiQr, ¡ior raz6n
que se desprende fAdhllen•
te de la figura. ·
También se obtienen en
Colocadas dos-estacas en dos puntos A y B, para.situar
la práctica lineas rectas :
otros puntos C, D, E, ... alineados con A y B, es decir; en
i.0) Doblando un pa l~ea recta con ellos, no hay más que colocarlos de modo
pel. El borde o doblez' ~ · que enfilahdo A y B media¡ite una visual, se vean todos.
una regla que se improvi
los puntos como uno solo.
sa muchas veces cuando se car~e de reglas de madera.
J .. La misma propiedad de las visuales puede utilizarse
También se doblan con frecuencia las·
tela$ cuando se quiere practicar en _ A p.a ra yér -sdi ·u. na retg la es .... :~~
buena, es eClr, rec. a.
~llas un corte rectilíneo. ~====:=:r"•
-6- - 7 --
+
La recta.. Dos pmitos determintin una recta que pasa_ por ellos.
Una ve.z trazada una línea recta· mediante una buena O de otro modo: Hay una recta y sólo una que contiene
regla, podemos correr a un lado la regla de modo que .su.
los dos puntos da.dos.
~orde coincid~ con una porción del trazo efectuado; si con
tinuamos dicho trazo hasta el extremo libre, diremos que Cuando digamos, pues, la recta AB se entenderá la
hemos prolongado la línea ·recta anterior. Si se hacen con recta que pasa por los punt?s A y B.
esmero sucesivas prolongaciones, se logra, con una peque
ña regla, trazar líneas rectas grandes. oue oueden compro
6. Aplicación.
l?arse coq una regla mayor.
Dados dos puntos, el dibujante puede.apoyar en ellos
el borde de la regla de muchos modos. Si la regla es recta
todas \a'S líneas que así puedan trazarse coincidirán.
A B
Podemos imaginar estas operaciones repetidas tautas
~§6 g@§§i.##4
':'eces como queramos a uno y otro lado de la posición p~i-
mera de la regla. ·
Una línea recta prolongada:.indefinidamente en los dos
sentidos se llama en Geometría simplemente recta. Si la
prolongación se efectúa sólo en un sentido, se obtiene una
semirrecta. Tódo punto de ~a recta divide a ésta. en dos
Si se obtiene alguna línea no coincidente debe desechar
semirrectas que llamamos opuestas. s~ da el nombre de
segmento a una porción cie recta limitada por dós puntos, se la regla.
que se llaman exfremos del segmento.
5. :Propiedad ·fundamen~ de Ja recta.
Hemos visto como, una vez fijados dos p4ntos, pode
mos decir, mediante t,ina vis~al, si otro punto cualquiera
está en línea recta con ellos; as{ se pueden colocar cuantos A B
puntos se qui.eta y se observa que si se .eligen ahora dos
de estos nuevo.s puntos, en vez de los ·primeros, para ali
7. El plano. Propiedad funaamental.
near los restantes, re5ulta ta misma recta. Así, para ver si
variOE> postes están bien alineados basta dirigir una visual Cuando una mesa plana resulta pequeña, puede ~m
por dos cualesquiera de ellos. bién prolongarse, mediante otra, es decir, puede colocarse
Esta experiencia se enuncia del siguiente modo 'abs otra mesa contigua de modo que ambas formen un mismo
tracto. plano. Para lograrlo colocaremos de canto una regla sufi- .
-8-
cientemente larga y calzaremos los pies de la segunda mesa
hasta que el cantó de la regla, apoyada en cualquier direc
ción coincida en toda su ex
~ensión ·con ambas mesa5. Leción 2."-Los segmentos.
'1f Lo mismo puede hacerse ! .. :... .. -------···-.....: ...
dirigiendo visuales desde A.
puntos tlel borde de una me (INSTRUMENTO: EL PORTASEGMENTOS.)
sa ·a los del borde de la otra.
8. Segmento.
Si se ve siempr~ .las superfi
mesas
cies de las dos coinci- En la lección anterior hemos definido el segmento como
. diendo con estas visuale~, di- trozo de recta limitado por dos puntos, que se llaman sus
remos que ambas super:ficies son f?lana.s, y ademá~ que am extremos. Por ejemplo, uno de los segmentos ·de la figura
bas e,5tán en un mismo f?lano. tiene por extremos los puntos
Podemos imaginar una superficie plana prolongada en B A y B, y lo designaremos así :
todas. di~ecciones tanto como queramos, y In llamaremos f segmento AB. Análogamente di
~
simplemente 1'lano. La operación que hemos descrito equi remos: segmento MN, segmen
vale a considerar como propiedad fundamental del plano to PQ, etc. No debe confundir
la sigui~te : · . se el seg1!iento AR con lá recta
AB, pues ésta contiene además
Si una re·cta tlene dos f?untos en un f?lano, está situada A p--Q
otros muchos segmentos.
en él, es decir, . tiene ·en dicho plano todos los dem<fs
Cuando 110 interesan los extremos se suelen designar
fJuntos.
también los segmentos por letras minúsculas, así: segmen
to a, segmento b, segmento c, etc. ..
EJERCICIOS
i.0 ¿Como ~líneas los soldaditos· de plomo sobre la mesa? Los segmentos, como las lineas, en general, no existen en la
¿Te ha1;e falta una regla para ello? realidad, Ya hemos dich<;> que son imágenes ideales y se fonnan
2.0 Empolva un cordel con tiza, y mientras lo mantienes ti observando ciertas cosas materiales, como los trazos efectQados
rante -contra el encerado, haz que tu compatlero lo pellizque sa en un papel con una regla, los punteros, bastones, al prescindir.
cudiéndolo contra dicho encerado. ¿Qué resulta? Repite la 'ope o sea, al hacer abstracción, 'del grueso, del color, del peso, etc.
ración varias veces hasta efectuarla tú solo. Con objeto de evitar repeticiones en lo sucesivo, dejaremos
3.º Ejercítate en trazar a pulso Hneas rectas sobre una cuar sentada, de· una vez para todas, esta advertencia general :
tilla. ¿Cómo puedes comprobarlas sin Ja regla? . Las figuras ,geométricas, es decir, las figuras cuyo estudio
4.º Allnea varios alfileres sobre la mesa, como se hace con constituye la ciencia llamada Geometrla, son imágenes abstrac
las estacas en el terreno. Pasa un hilo tirante por los extremos o tas, de perfección Ideal, que resultan de prescindir en los cuerpos
apoya una regla en éllos ¡ ¿qué ocurrirá?. corrientes ele ciertas cualidades materiales (peso, color, ...) , con
5·º Construye una regla de cartulina y comprueba si es bien siderando sólo aquellas que constituyen lo que en el lenguaje or.
recta como has ªP.rendido en esta lección. dinario ~ntendemo• con los n?mbres de /Mma y tamaño.
